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1、第一讲实数一、实数的相关概念：一、实数的相关概念：1.1.实数的分类：实数的分类：正整数整数零负整数有尽小数或无尽循环小数有理数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数2.2.偶数：偶数：2n(n为自然数）奇数：奇数：2n1(n为自然数）3.3.相反数相反数只有符号不相同的两个数（“0”的相反数是“0”）表示：表示一个数的相反数，就是在这个数的前面加“”号a；ab（ab）=ba如：a性质特征：互为相反数的两个数，和为零。4.4.倒数倒数乘积为“1”的两个数（“0”没有倒数）相反数相反数表示：a倒数1a特征：互为倒数的两个数积为“1”（若 a 与 b 互为倒数，则 ab=1）5.
2、5.绝对值绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.(互为相反数的两个数绝对值相等)a=a；ab=ba|a|b|(a,b同号)aa 0a 0ab|a|b|(a,b异号)a=0aa 00(a或b为零)6.6.平方根、算术平方根、立方根：平方根、算术平方根、立方根：(1)一个正数x的平方等于a,即x2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.(记作a).(2)一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.(3)正数有两个平方根（a），它们互为相反数；其中正的平方根（a0）是它的算术平方根.(4)“0”的平方根只有一个，就是“0”;负数没有平方根.(5)完全平方数平方根是整数的数如：0，1，4，9，
3、16，(6)立方根（3a）,正数的立方根是正数;“0”的立方根是“0”;负数的立方根是负数二、数轴二、数轴:1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,但数轴上的任意一个点不一定有一个有理数与之对应.(无理数点)三、科学记数法、近似数及有效数字：三、科学记数法、近似数及有效数字：1科学记数法：a101 a 10n精确度：（1）保留几位有效数字；（2）精确到那一位2近似数：用四舍五入精确到某一位的数3有效数字：四、实数的运算：四、实数的运算：1.实数运算法则：2.实数大小的比较利用数轴进行比较；作差法；作商法；平方法.a1 a(b
4、 0)bbna4.乘方a aa 3.除法n个典型例题一典型例题一例例 0101下面命题中，正确的是（）A不带根号的数一定是有理数B有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数C任何实数的绝对值都是正数D无理数一定是无限小数分析分析圆周率是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题 A 不正确.实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a，都不如a 1大），导致不存在绝对值最大的数，所以 B 是假命题；实数 0 的绝对值不是正数，可见命题C 也不正确.解答解答D说明说明考查实数的意义.典型例题二典型例题二例例
5、0202下列说法中正确的是（）A无理数是开方开不尽的数B无限小数不能化成分数C无限不循环小数是无理数D一个负数的立方根是无理数分析分析实数可分为无理数和有理数.有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数.开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如，任何有理数都枳经成分数形成.所以 A、B、D 都是错的.C 正确.解答解答C说明说明考查实数的分类及定义无理数主要有 3 种表现形式：开方开不尽的数；一些常数，如、e 等；无限不循环小数，如 0.1010010001典型例题三典型例题三例例 0303实数 2，16，3.1416，(721)，9，0.2020020002（
6、每两个232 之间多一个零）中，无理数的个数有（）A2 个B3 个C4 个D5 个分析分析其中无理数有：2，0.202002解答解答B说明说明考查无理数的定义及有关的数都是无理数.典型例题四典型例题四例例 0404点 A 在数轴上和原点相距7个单位，点 B 在数轴上和原点相距 2 个单位，则A，B 两点间的距离是_.分析分析在数轴上和原点相距7个单位的点 A 有两个，即 7和7两个点.点 B 和原点相距 2 个单位，则点 B 的坐标 2或 2.如图所示.所示 A、B 两点间距离是：A1B1 7 2，A1B2 2 7，A2B1 2 7，A2B2 7 2.故AB 解答解答7 2或2 7.7 2或2
7、 7.说明说明点 A 在数轴上的坐标为xA，点 B 的坐标xB，则 A，B 两点的距离是AB xA xB.典型例题五典型例题五例例 0505若实数 a 和 b 互为相反数，则a b _；若实数 a，b 互为倒数，则ab _；3 33 _.8分析分析因为 a、b 互为相反数，则a b 0.若a,b互为倒数，则ab 1.又因3 33273333 3 ,故 3 3 .882822解答解答0；1；3.2典型例题六典型例题六例例 0606判断下列说法是否正确，并简单说明理由（1）实数不是有理数就是无理数.（2）无理数都是无限小数.（3）有理数都是有限小数.（4）不带根号的数都是有理数.（5）带根号的数都
8、是无理数.（6）数轴上的任何一点都可以表示实数.解答解答（1）实数不是有理数就是无理数.正确.因为实数就是由有理数和无理数组成的，二者必居其一.（2）无理数都是无限小数.正确.无理数都是无限不循环小数当然都是无限小数.（3）有理数都是有限小数.不正确.有理数中也有无限小数，例如1是有理数，但它却3，是无限循环小数.是0.3（4）不带根号的数都是有理数.不正确.这个数不带根号，我们都知道它是无理数.（5）带根号的数都是无理数.不正确.4是一个带根号的数，可是它是一个有理数.（6）数轴上的任何一点.都可以表示实数.正确.数轴上的点与实数是一一对应的.说明说明有理数和无理数统称为实数，无限不循环小数
9、是无理数，有了无理数才使数轴上的点与实数一一对应，这些是我们判断某些说法是否正确的依据.不要去试图确立无理数的其他定义或标准，只有紧扣无限不循环小数是无理数这个定义，才能避免错误.典型例题七典型例题七例例 0707计算（精确到 0.01）114 0.145；（2）5 (4.375)373解答解答（1）原式 3.142 3.162 0.333 0.145（1）10 6.116 6.12.（2）原式 2.236 0.143 4.735 1.333 0.663 0.66.说明说明在实数运算中，有理数中的运算法则和运算定律同样适用，在无理数运算中，常用其近似值去代替无理数.典型例题八典型例题八例例 0
10、808化简1 2 2 3 3 2解答解答1 2 0，2 3 0，3 0，1 2 1 2 2 1，2 3 3 2，3 2 2 3，2 3 3 2 (2 1)(3 2)(2 3)2 1 3 2 2 3 1说明说明关键在于根据绝对值的定义，正确地去掉绝对值的符号，以便进行运算，运算中还要注意防止发生符号错误.典型例题九典型例题九例例 0909比较a与1的大小.a分析分析若a b，则a b 0；a b，则a b 0；若a b，则a b 0，反之亦1a2 1(a 1)(a 1)解答解答a aaa然.11 0，即a ；aa11当a 1时，a 0，即a ；aa11当0 a 1时，a 0，即a ；aa11当
11、1 a 0时，a 0，即a ；aa11当a 1时，a 0，即a ；aa当a 1时，显然，a 11 0，即a .aa11综上，当a 1和 1 a 0时，a ；当a 1时，a ；当0 a 1和a 1aa1时a .a当a 1时，a 典型例题十典型例题十2例例 1010设 x，y 是有理数，并且x，y 满足等式x 2y y 2 17 4 2，求x y的值.分析分析利用实数等于零的条件，即有理数和无理数部分分别是零.2解答解答x 2y y 2 17 4 22(x 2y 17)(y 4)2 0又x，y 都是有理数.x 2y 17和y 4都是有理数.而由于 0 是有理数，(y 4)2必为有理数.2 x2 2
12、y 17 0 x 5 y 4 y 4 0当x 5时，x y 1；当x 5时，x y 9.典型例题十一典型例题十一例例 1111怎样运用作图的方法，在数轴上找出表示 10的点.分析分析我们可以借助勾股定理来找出表示10的线段长.如果一个直角三角形的两条直角边长分别是 1 和和，那么它的斜边长就是10.解答解答如图，作一个直解边分别是 3 和 1 的直角三角形，以原点 O 为圆心，三角形斜边 长 为 半 径 画 弧，它 与 数 轴 负 半 轴 的 交 点C即 为 表 示 10的 点.（AB 1,BO 3,OC OA.）说明说明这个直角三角形也可以作在其他地方，但必须使它 1 个单位长度与数轴所取的
13、单位长度一致.另外与学习有理数时相同数轴上原点右边的点表示正数，故 10在原点左边.典型例题十二典型例题十二例例 1212化简下列各式（1）2 1.4;（2）x x 4(x 4);（3）x2 4x 5;（4）a b b c c a(a b c)解答解答（1）2 1.4141.4 02 1.41.4 22 1.4（2）x x 4(x 4)2x 4(2 x 4)x(4 x)2x 4 4 2x(x 2)（3）x 4x 5 (x 2)1 (x 2)1（4）a b ca b 0,b c 0,c a 0原式=(b a)(c b)(c a)222 b a c b c a 0.说明说明要化简带绝对值符号的式子
14、，首先按绝对值定义，将绝对值符号去掉，再去括号，合并同类项，或进行数的运算.典型例题十三典型例题十三例例 1313下列说法是否正确？为什么？（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）有理数都是有限小数；（4）不带根号的数都是有理数；（5）实数与数轴上的点一一对应；（6）实数有正实数与负实数两种解答解答：（1）不正确，因为只有无限不循环小数方是无理数，而无限循环小数是有理数，如0.333 0.31是有理数3（2）正确，因为无理数是无限不循环小数；（3）不正确，因为无限循环小数是有理数，因此有理数不一定是有限小数，如1 0.333；3（4）不正确，如不带号，但是无理数；（5）正确，
15、因为每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示（6）不正确，因为实数除了有正实数和负实数外，还包括0说明说明：要理解无理数、实数的概念，掌握实数的分类，分类要有统一标准，分类后不漏不多.典型例题十四典型例题十四例例 1414下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.5，3.14，8，38，2 17，1000，25，16，036分析分析：判定一个数是不是无理数，不能只看它的形式，还要看算出的结果，应先将含有根号的数化简，然后再根据无理数的定义进行判断解答解答：8 2 2，38 2，1000 10 10，255，16 4；366有理数有：0.5，3.1
16、4，38，25，16，0；36无理数有：，8，2 17，1000典型例题十五典型例题十五例例 1515计算：（1）2 3（精确到 0.01）；（2）2 5 0.9（保留三个有效数字）解答解答：（1）2 3 3.1421.4141.732 3.46；（2）2 5 0.9 5 2 0.9 2.2361.4140.99991.82说明说明：近似值的计算过程中，所取近似值的小数位，必须比题目要求的精确度多取一位进行计算，最后结果按题目要求取近似值典型例题十六典型例题十六例例 1616比较下列数的大小：（1）和 3.1415；（2）22和73分析分析：比较大小首先判断数的正负，再比较数的绝对值的大小.解
17、答解答：（1）|3.1415926，|3.1415|3.1415 3.1415，3.1415（2）22833641117，而7 7，则7799992273说明说明：比较无理数和有理数的大小，一种是将无理数转化为近似值的有理数比较，另一种采用算术平方根的比较法，即被开方数间比较大小.典型例题十七典型例题十七例例 1717求下列各式的 x：（1）|x|3；（2）|x25|4分析分析：根据绝对值的概念：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，把绝对值符号内的数看作整体求解.解答解答：（1）|x|23,x 32（2）|x 5|4，x 5 4，即x 5 4或x 5 4当x 5 4时，x 9，
18、x 3；2222当x 5 4时，x 1，x 1.22选择题选择题1 1选择题选择题（1）下列说法正确是A无限小数都是无理数B带根号的数是无理数C无理数是无限小数D无理数是开不尽方的数（2）和数轴上的点一一对应的数集是A整数集B有理数集C无理数集D实数集（3）38，3，11，0.131131113这六个数中，无理数的个数是，0.67A2 个B3 个C4 个D6 个（4）下面关于 0 的判断正确的是A0 是小数B0 是整数C0 是无理数D0 是质数（5）实数中算术平方根最小的数是A1B0C非负数D不存在2 2选择题选择题（1）若x7有算术平方根，则x的取值范围是Ax 0Bx 7Cx 7D一切实数3
19、（2）根式1 x有意义，x的取值范围是3A一切实数Bx 111Cx Dx 333（3）下列语句中正确的是A带根号的数都是无理数B不带根号的数一定是有理数C无理数一定是无限不循环小数D无限小数是无理数（4）a是有理整数，a是A有理数B负的实数C完全平方数D完全平方数的相反数（5）实数ab的平方的算术平方根是AabBab2C(a b)Dab（6）下面式子成立的是A5 5B3 33C3 2 23D0 3273 3选择题选择题（1）若a与它的绝对值之和为 0，则(a1)2a2的值是A1B1C2a1D12a（2）若实数a满足2a 2 a，则(a1)2等于Aa1B1aC(a1)D13（3）使x 1有意义的
20、x的取值范围是x2Ax 0Bx 2Cx 2Dx 0且x 2（4）下列语句中正确的是A任何实数都有两个互为相反数的平方根B零的立方根就是零C带根号的数就是无理数D9 的平方根是34 4选择题选择题（1）下列命题中：带有根号的数是无理数；无理数是开方开不尽的数；无论x取何实数，x21都有意义；绝对值最小的实数是零.正确的命题有（）A1 个B2 个C3 个D4 个（2）已知a、b为实数，下列命题中正确的是（）Aa b，则a bBa b，则a bCa b,则a bDa b，则a b参考答案参考答案：1 1（1）C（2）D（3）A（4）B（5）B2 2（1）C（2）A（3）C（4）D（5）D（6）C3（
21、1）B（2）B（3）D（4）B4（1）B（2）B2233222222填空题填空题1 1填空题填空题（1）3 _.（2）1.06的相反数为_.3（3）127的倒数为_.（4）绝对值最小的数为_.（5）若x 7，则x _.（6）23的倒数的绝对数为_.（7）绝对值为35的数为_.（8）15的平方为_.（9）比较大小：0.75_0.75；3_3.14.（10）数轴上表示38的点与原点距离是_.参考答案参考答案：（1）3（2）1.06（3）3（4）0（5）7（6）328）15（9）,（10）38填空题填空题1 1填空题填空题（1）327的相反数为_.（2）2 1 _.（3）比较大小：2 15_3 6（
22、4）3x1有意义，则x的取值范围是_.（5）平方根等于本身的数为_.（6）x2 5，则x _.（7）314x有意义，则x取值范围是_.（8）若x21，则3x _.（9）比6小且比2大的整数为_.7）35（10）3 3 3 _.参考答案参考答案：（1）3（2）2 1（3）（4）x 1（5）0（6）25（7）全体实数3（8）1（9）2（10）9填空题填空题1 1填空题填空题（1）若0 a a，则a的取值范围是_.（2）若0 a 4，则a的范围是_.（3）当x_时，5 xx 2有意义.（4）当a 0，b_时，ab在实数范围内有意义.（5）若a 7,b 3,ab 0，则ab _.（6）当x _时，9x
23、2有最大值是_.（7）计算：122 _.（保留三个有效数字）（8）若x1 3，则x _.（9）比较大小797913_12.（10）x25 4，则x的算术平方根为_.参考答案：参考答案：（1）0 a 1（2）0 0 a a 2 2（3）0 x 5且x 42（6）0（7）1.23（8）4 或2（9）（10）1 或3 3填空题填空题1 1填空题填空题（1）小于40的所有正整数为_.4）05）（2）2 5 _.（3）8 2.1的相反数为_.（4）比较大小：5_2 11.（5）若x3有算术平方根，则x的取值范围是_.（6）若(x x 2 2)2727 0 0，则x _.（7）某数的立方根的绝对值为5，则
24、这个数为_.（8）若a a，则a的取值范围是_.（9）大于 17的负整数为_.（10）化简9a212ab4b2_.参考答案参考答案：（1）1，2，3，4，5，6，（2）5 2（3）2.18（4）（5）x 3（6）5（7）125（8）0 a 1（9）4，3，2，1（10）3a2b3 33解答题解答题1 1计算题（精确到计算题（精确到0.01）（1）8 2 1.534（2）2 3 15 2 7（3）2.8513（4）3 35 3.0737（5）5 3 0.145（6）36 22 2计算题（精确到计算题（精确到0.01）（1）139 3.14332（2）50 3358 0.125820 320 71
25、11（4）4327 1050100（3）（5）53 14（6）33136353 3已知已知y x 3，且，且y的算术平方根是的算术平方根是 4 4，求，求x的值的值.4 4化简化简3（1）12 2 3 3 2（2）3a1 2a1（11 a）32（3）ab bc ca（a b c）（4）x22x1（x 0）5 5求求x的值的值3（1）()343（2）27(x1)8 0 x43（3）(3x2)1361（4）x 3 1646 6已知已知a 2b 3,4a2b 4，求，求ab的值的值.7 7已知等式已知等式(x1)2x y y x z 0成立，求成立，求x、y、z的值的值42，求求r的值的值（.取取3
26、.14，精确到精确到0.01）r）39有边长为有边长为5cm的正方形和长为的正方形和长为8cm，宽为，宽为18cm的矩形，要作一个面积为这两个图的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，求边长应为多少形的面积之和的正方形，求边长应为多少cm？1210已知实数已知实数a、b、c满足满足2a1 2bc c c 0，求，求abc的值的值.48 球的半径球的半径r，球的体积球的体积500cm，（V球3参考答案参考答案：1（1）0.12（2）5.70（3）4.40（4）0.37（5）4.11（6）2.742（1）2.17（2）0.10（3）0.03（4）5.97（5）0.13（6）0.0332.6684（1）1（2）2a（3）2c2a（4）x15（1）2 28（2）11（3）（4）(3 1)3463提示：a2b 9,4a2b 16,a 5,b 27x 1,y 1,z 284.92cm91310114