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1、内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯第69讲线性和非线性回归模型的建立【知识要点】一、建立线性回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y bx a）；按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等二、建立非线性回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预
2、报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；消去新元，得到非线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等三、检查数据模型拟合效果的好坏，一般有三种方法方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适方法二：通过残差平方和分析，如果残差的平方和越小，则说
3、明选用的模型比较合适，反之，不合适 方法三：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是：5 y）R2 1 75 y）il2其中yi y二真实值-预报值二残差，R2值越大，说明残差的平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好方法讲评】题型一线性回归模型的建立确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；解题步骤 由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方 程y bxa）；按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常若存在异常，则检查数据是否有
4、误，或模型是否合适等【例1】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每日期温差x(C)发芽数y（颗）100颗种子中的发芽数，得到如下资料:12月4日122612月5日81612月1日102312月2日12月3日11251330该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求岀y关 于x的线性回归
5、方程y bx a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性 回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?xiyi nx y注:ilnil22 Xi(xi x)(yi y)2n,a.y bx)(xi x)ilnx4 3所以P（A）1.故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是10 5433）当x=10时同样，当x=8时，.y?10 3 22,|22-231 2；.y?8 3 17,|17 16|28所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.nn2点评】求回归直线的方程时，最好先计算好公式的基本量広、y、nxy、nx x Xi yi
6、、Xi,再代入公il i 1式求解.这样一是节省试卷的空间，另外是可以把握住得分点，整个题目就一分都没有了千万不要一次性计算，如果一个地方出了错，反馈检测1】经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（o J5X15X15X5 4 4高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第69讲：线性和非线性回归模型的建立参考答案反馈检测1答案】(I)y?l45x 18.7；(II)预测当x 3时，销售利润z取得最大值.【反馈检测2答案】(I)由散点图可以判断，y c d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；(II)y关于x的回归方程为二100.6+68:(III)(i)当x=49时，年销售
7、量y的预报值y 576.6,年利润z的预报值Z66.32；(ii)当x=46.24时，年利润的预报值最大.【反馈检测2详细解析】(I)由散点图可以判断，y c d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归 方程类型；(II)令w x,先建立y关于w的线性回归方程，由于d1081668,1.6c y dw 563-68 x 6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68 w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68 x,(III)(i)由(II)知，当x二49时，年销售量y的预报值y二100.6+68 49=576.6,年利润z的预报值z=576.6X0.2 49=66.32,(ii)根据(II)的结果可知，年利润z的预报值z=0.2(100.6+68 x)-x=x+13.6 x+20.12,当x=13-6=6.8,即x=46.24千元时，年利润的预报值最大.2