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1、高中必修 4、5 公式定理及常见规律1.1.三角函数三角函数终边相同的角终边相同的角与k(kZ)表示终边相同的角度;终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;而与k(kZ)表示终边共线的角.|2k,kZ或者S|k 360,kZ终边相同的角的集合表示:S特殊位置的角的集合的表示特殊位置的角的集合的表示位置位置在角的集合角的集合x轴正半轴上x轴负半轴上在|2k,kZ|2k,kZ|k,k Z在x轴上在y轴上|k2,k Z在第一象限|2k 2k|2k2,kZ在第二象限2 2k,k Z3,kZ2在第三象限|2k 2k|2k在第四象限3 2k2,kZ2180度 53.7孤独之与角度制互化孤独之与角度
2、制互化1rad（弧度）扇形有关公式扇形有关公式弧长公式:l|R;扇形面积公式:S扇形11lR|R2(注注想象成三角形面积计算公式)22任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点的距离记为r,则sinyxy,cos,tanrrx.三角函数的同角关系三角函数的同角关系商数关系:sin tan,其中2k,kZ.cos2sin2cos21;平方和关系:三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式诱导公式（一）sin(诱导公式（二）sin(诱导公式（三）sin(2k)sin;cos(2k)cos;tan(
3、2k)tan;)sin;cos()cos;tan()tan;)sin;cos()cos;tan()tan;cos()cos;tan()tan;诱导公式（四）sin()sin;诱导公式（五）sin(诱导公式（六）sin()cos;cos()sin;22)cos;cos()sin;2245609012013515018027036023532346232133210-10222211230-101-22223-1003-33特殊的三角函数值特殊的三角函数值角度角度弧度弧度0030sincos 061232334222211tan0三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质函数函数y sin xy c
4、osxy tan x图像图像x x定义域定义域RRx xR,且x k,kZ2值域值域周期性周期性奇偶性奇偶性1,12奇函数1,12偶函数R奇函数单单调调性性2k2,2k232k2,2k22k,2k2k,2k(kk,k22(k,0)2无对称中心对称中心对称轴对称轴2.2.三角恒等变换三角恒等变换三角函数呵、差公式（三角函数呵、差公式（要记住要记住）C coscos sinsinC；Ssincos cossin(S)(k,0)2,0)x k2x kS sincos cossin(S)；Ttantan(T)；Ttan tan(T)1 tantan1 tantan三角函数二倍角公式（三角函数二倍角公式
5、（要记住要记住）sin 2 2sincos,S2；cos2 cos2sin2,C2；tan22tan,T221 tan三角函数降幂公式（三角函数降幂公式（要记住要记住）sincos11cos2sin2;sin222；cos21cos22三角函数半角公式（三角函数半角公式（要记住要记住）sin2 1cos2;cos2 1cos2;sin221cos22;cos221cos22;1cos 2sin22；1cos 2cos22;tan2 1cossin1cos1cos1cossin辅助角公式辅助角公式(也称化一公式也称化一公式)（会用会用）ab22asinbcosa b sincos a b sin
6、()2222a ba b22注注其中辅助角与点(a,b)在同一象限,且tanb;特殊情况:asincos2sin(),sin3cos 2sin()43三角函数求值常见公式变形（三角函数求值常见公式变形（会用会用）tan tan tan(a)(1 tantan)tan tan tan(a)(1 tantan)1 tan tan1 tan4sin cos21sin 2三角变换的一般方法三角变换的一般方法角的变换:包括角的分解和角的组合,如(),2,(),22224242等.三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式;常值代换:如“1”的活用.sin2cos21,tan451等.三角函数化简、求值
7、或证明的解题原则三角函数化简、求值或证明的解题原则基本原则基本原则:由繁到简、减名化角由繁到简、减名化角函数种类最少、项数最少、函数次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.3.3.解三角形解三角形正余弦定理正余弦定理正弦定理:abc 2R,（其中R为三角形 ABC外接圆的半径）sin Asin BsinC变式:a bsin Asin B,a:b:c sin A:sin BsinCa bsin Asin Bb2 c2 a2cos A 2222bca b c 2bccos A2a2 c2b222余弦定理:b a c 2accosB变形公式:cosB 2acc2 a2b
8、22abcosCa2b2c2cosC 2ab余弦定理的常见结论:C 60 c2 a2b2ab;C 120 c2 a2b2 ab判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为角角关系.若c为最大边,a2b2 c2 ABC为锐角三角形;a2b2 c2 ABC是直角三角形;a2b2 c2 ABC为钝角三角形;注注ABC中,若sin2Asin2B,可以得出2A 2B或2A2B;而cos2A cos2B,可以得出2A 2B,即A B1111ah,SABCabsinC acsin B bcsin A、C2222三角形面积公式三角形
9、面积公式SABC三角形中常见规律三角形中常见规律三角形中的射影定理:在ABC中,b acos AccosC;在ABC中,角A、B、C成等差数列B 60;ABC为正三角形角A、B、C成等差数列,边a、b、c成等比数列.三角形中的边角关系三角形中的边角关系角的关系:A B C 180边的关系:a b c.a b c边角关系:大边对大角、大角对大边4.4.平面向量平面向量向量共线与垂直的坐标表示向量共线与垂直的坐标表示设a x1,y1,b x2,y2,则a则a/b b ab x1x2 y1y2 0;x1y2 x2y1 0;a b非零向量非零向量a、b的夹角的夹角的计算公式的计算公式 cos5.5.数
10、列数列ab|a|b|x1x2 y1y2x y x y21212222数列通项数列通项an与前与前n项和项和SnS1,n 1anS S,n 2n1n等差数列等差数列定义法:即证明an1通项公式法:an等差数列等差数列an d(d是常数,n N*);knb(k,b是常数);an an2(n N*);判定方法判定方法中项公式法:即证明2an1前n项和公式法:Snan An2 Bn(A,B是常数)a1(n1)d dn a1d knb;am(nm)d;变形d 通项公式通项公式ananamnm增减性增减性d 0 递增;d 0 递减;d 0 常数列Sna A Bn(a1 an)n(n1)dd na1d n2
11、a1n An2 Bn1.2222d 2A前前n项和项和an 0当a1 0,d 0时,Sn有最大值;通过解可得Sn取最大值时n的取值范围;a 0n1当a1an 0 0,d 0时,Sn有最小值;通过解可得Sn取最小值时n的取值范围an1 0等差中项等差中项A为a、b的等差中项 2A ab;2an an1 an1(n 2)an为等差数列an为等差数列an为等差数列,若an knb可用一次函数来研究an;Sn An2 Bn可用二次函数来研究Sn;mn pq,则am an ap aq;2p,则am an 2ap;Sm,S3m S2m,仍为等差数列.性质性质an为等差数列,若mnan为等差数列,则Sm,S
12、2man为等差数列,则aan是等比数列;等比数列等比数列定义法:即证明等比数列等比数列an1 q(q是常数,nN*);an通项公式法:an a1qn1 cqn(v,均是不为0的常数，nN*);2判定方法判定方法中项公式法:即证明an1 anan2(anan1an2 0,n N*);前n项和公式法:Sna1naaq 1 kqnk(k 1是常数,q 0,q 1)q 1q 1q 1an a1qn1 kqn;amqnma1 0a1 0或时,数列an是递增数列;q 10 q 1通项公式通项公式an当增减性增减性当a1 0或1时,数列an是递减数列;q 10 q 1当q 1时,数列an是常数列;当q 0时
13、,数列an是摆动数列.a 0na1,q 1.前前n项和项和Sna1anqa1(1qn)1q1q,q 1等比中项等比中项2 an1an1(n 2)G为a、b的等差中项 G2 ab;anan为等比数列an为等比数列,且qan为等比数列,若an kqn可用指数函数来研究an;性质性质1 Sn bqnc,b c 0;mn pq,则aman apaq;an为等比数列,若m n 2p,则aman a2p;Sm,S3m S2m,仍为等比数列.an为等比数列,则Sm,S2man为等比数列,则logaan是等差数列;6.6.不等式不等式一元二次不等式一元二次不等式ax bx c 0(a 0)的解集的解集一元一元
14、二次二次不等不等式的式的解集解集一元二次方程一元二次方程判别式判别式2 b24ac 0 0 0二次函数二次函数y ax2bx c(a 0)的图像的图像有两个不相等的实根有两个不相等的实根x1、x2b b2 4ac2ax1 x2有两个相等的实根有两个相等的实根ax2bxc 0(a 0)x1 x2-b2a没有实数根没有实数根不等于不等于-ax2bxc 0a 0b的所有实的所有实2a数数x x x 或x x21全体实数全体实数（实数集（实数集R）b x xR且x 2aax2bxc 0a 0 xx1 x x2空集空集空集空集x ax b 0型和型和xa 0型不等式的解法型不等式的解法xbx ax b
15、0型不等式的解法：x ax b 0 xa 0或x a 0;x ax b 0 x a 0或x a 0.xb 0 x b0 x b0 x b 0这样，就将一个医院二次不等式问题归化为一个一元一次不等式组问题.xa 0型不等式的解法xbxaxa 0与x ax b 0同解;0与x ax b 0同解.xbxb基本不等式基本不等式ab a b(a 0,b 0)2不等式不等式重要不等式重要不等式内容内容等号成立条件等号成立条件a2b2 2ab(a,bR)a b时,取a b(a 0,b 0)2极值定理极值定理“一正二定三项等,和定积最大,积定和最小.”已知x、y都是正数:基本不等式基本不等式ab a b时,取若xy是定值若x p,则当x y时,x y有最小值2 p;1y是定值s,则当x y时,xy有最大值s2.4不等式与线性规划不等式与线性规划线性规划问题的解题方法与步骤设未知数,列出约束条件,建立目标函数;画出可行域（或不等式组所表示的平面区域）;作平行线,使直线与可行域有交点;求出最优解,并作答.