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1、和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即 1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标
2、准量，再算出其它相关数量。涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下 3 组：和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。和（倍数+1）=小数；小数倍数=大数。差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差（倍数-1）=小数；小数倍数=大数。和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。（和+差）2=大数；（和-差）2=小数。在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题，本册教材 奥赛天天练用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题：第 7 讲 和倍问题、第 8 讲 差倍问题、第 9 讲和差问题、第 10 讲复杂的倍数问题。奥赛天天练第 7 讲，模仿训练，练
3、习 1【题目】：一个长方形的周长是 36 厘米，长是宽的 2 倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】：先求出长方形长和宽的和：362=18（厘米）；把长方形的宽看作 1 份，长就是 2 份，长和宽的和对应的就是 3 份，所以长方形的宽是：18（2+1）=6（厘米）；长是：62=12（厘米）；这个长方形的面积是：126=72（平方厘米）。奥赛天天练第 7 讲，模仿训练，练习 2【题目】：北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300 朵。已知红花的朵数比黄花的 2 倍少 30 朵。问两种花各有多少朵？【解析】：我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再
4、添上30 朵，正好对应了 3 份。所以黄花朵数为：（300+30）（1+2）=110（朵）。红花朵数为：300-110=190（朵）。奥赛天天练第 7 讲，巩固训练，习题 1【题目】：被除数、除数、商 3 个数的和是 212。已知商是 2，被除数和除数各是多少？【解析】：由商是 2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的 2 倍。把除数看着 1 份，两数和对应的份数是 3 份，除数为：210（2+1）=70；被除数为：702=140。奥赛天天练第 7 讲，拓展提高，习题 1【题目】：5 箱苹果和 5 箱葡萄共重 75 千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2 倍。每箱苹果和每箱葡
5、萄各重多少千克？【解析】：5 箱苹果和 5 箱葡萄共重 75 千克，平均分成 5 份，1 箱苹果与 1 箱葡萄重量和为：755=15（千克）。把 1 箱葡萄的重量看作一份，重量为：15（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：52=10（千克）。奥赛天天练第 7 讲，拓展提高，习题 2【题目】：甲、乙、丙 3 数之和是 183，乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3 倍多 7，求甲、乙、丙三数各是多少？【解析】：我们把丙数看作一份，画出线段图如下：假如我们给乙数添上 4 凑成 2 份，甲数减去 7 凑成 3 份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，
6、一份数即丙数为：1806=30；乙数为：302-4=56；甲数为：303+7=97。1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 120，而减数是差的 3 倍，那么差等于多少？分析：这是一个和倍问题。减数是差的 3 倍，那么被减数就是差的 4 倍，所以被减数、减数与差的和就是差的 8 倍，应该等于 120，所以差120815。解：120（1312）15 答：差等于 15。2、甲、乙、丙共有 100 本课外书。甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是 5，余数也都是 1。那么乙有多少本书？分析：这是和倍问题。可以这样理解，“甲、乙、丙 3 个数是 100，甲是乙的 5 倍多 1，丙是
7、甲的 5 倍多 1，求甲、乙、丙各是几？”。即：乙是 1 倍；甲是乙的 5 倍多 1；丙是乙的（55）倍多（151）6。那么 100 减去（16）的差对应（1555）倍，这样可求出乙是多少。解：1001（151）（115155）91313（本）答：乙有 3 本书。3、用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车马2，炮车4，炮马56，那么“车马炮”等于多少？分析：这是一个差倍问题。依题有，马是 1 倍，车是马的 2 倍，炮是车的 4 倍，所以炮与马的倍数差是（241）7 倍，而炮与马的两数差是 56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。解：56（81）8马；8216车 164
8、64炮 8166488车马炮 答：车、马、炮的和是 88 4、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学 6 天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、乙原计划每天自学多少分钟？分析：差倍问题。原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（3030）60 分钟，现在的差数差是（61）5 倍，这样可求出现乙每天自学的时间，加上 30 分钟，可得原计划每天自学时间。解：（3030）（61）30123042（分钟）答：原计划每天自学 42 分钟。5、.三个小组共有 180 人，一、二两个小组人数之和比第三小组多 20 人，第一小组
9、比第二小组少 2 人，求第一小组的人数。分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题。解：（18020）2100（人）第一，二小组的人数 （1002）249（人）第一小组的人数 答：第一小组的人数是 49 人。6有 50 名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差 2 个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同 7 个男生握过手。问这些学生中有多少名男生？分析：这是和差问题。我们可
10、以这样想：如果这个班再多 6 个女生的话，最后一个女生就应该只与 1 个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（71）6 个人！解：（506）228（人）。答：男生人数 28 人。涉及 4 个或 4 个以上对象数量关系的复杂和差倍问题。7、有货物 108 件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的 2 倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少 2，比第四堆的件数多 2问每堆各存放多少件？分析：如果我们把第一堆看成 1 倍，那么可以算出第二堆就是（22）4 倍，第三堆是 2倍多 2 件，第四堆是 2 倍少 2 件，那么一共就刚好是 14229 倍（第三堆和第四堆刚好一个多 2 件一
11、个少 2 件正好抵消），那么 1 倍就是 108912 件，第二堆就是 12448 件，第三堆就是 122226 件，第四堆就是 122222 件。解：（10822）（12222）108912（件）第一堆 122248（件）第二堆；122226（件）第三堆；122222（件）第四堆；答：每堆各有 12 件、48 件、26 件、22 件。8、四年级有 4 个班，不算甲班其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班其余三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，问这四个班共有多少人？解答：用 131134265，这是 1 个甲、丁和 2 个乙、丙的总和，因为乙、丙
12、两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，所以用 2651264 就刚好是 3 个乙、丙的和，264388，就是说乙丙的和是 88，那么甲丁和是 88189，所以四个班的和是 8889177 人。甲厂人数比乙厂少540 人，若从两厂各调走600 人，乙厂人数恰好是甲厂人数的 4 倍，求甲厂原来有多少人？【解析】：“两厂各调走 600 人”，因调走人数相同，调人前后两厂的人数差没有发生变化。把调走 600 人后，甲厂人数看作 1 份，乙厂人数看作 4 份，两厂人数差还是540 人，此时甲厂人数为：540（4-1）=180（人）。甲厂原有人数：180+600=780（人）。奥赛天天练第 8 讲，
13、巩固训练，习题 1【题目】：有 A、B、C 三根绳子，A、C 的长度之和是 B 的 2 倍。如果把 C 剪去 6 分米，那么 A 的长度就是 B、C 长度之和的一半。A 与 B 相比，比长分米。【解析】：这一题因为与 A、B 比较的标准不同，分别是（A+C）和（B+C）,所以 A 和 B的长短无法直接比出。解题的关键是制造出相同的比较标准，再通过等量代换，得出结论。由题意可得：A+C=2B,即：A+B+C=3B；B+C-6=2A,即：A+B+C-6=3A。即：3B-3A=6（分米），B-A=2(分米)。所以：A 与 B 相比，B 比 A 长 2 分米。奥赛天天练第 8 讲，巩固训练，习题 2【
14、题目】：在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了 1980。这个数是多少？【解析】：把原来的数看作 1 份，原数末尾加两个“0”即扩大了 100 倍，得到的新数也就是 100 份，它们的差就是增加的 1980。所以原来这个数为:1980（100-1）=20。奥赛天天练第 8 讲，拓展提高，习题 1【题目】：食堂里有 94 千克面粉，138 千克大米，每天用掉面粉和大米各9 千克，几天后剩下的大米是面粉的 3 倍？【解析】：因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。我们把几天后剩下的面粉重量看作 1 份，大米重量
15、也就是 3 份，则几天后剩下面粉：44（3-1）=22（千克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）9=8（天）。奥赛天天练第 8 讲，拓展提高，习题 2【题目】：有 A、B、C 三辆车，C 车装的货物是 B 车的一半，B 车比 A 车少 160 千克，A车装的是 C 车的 4 倍，A、B、C 三辆车共装货物多少千克？【解析】：根据题中的三个条件，C 车装的货物最少，我们把 C 车装的货物看作一份，画出线段图如下：从图中可以看出 B 车货物就是 2 份，A 车货物就是 4 份，B 车比 A 车少的 160 千克对应的份数是 2。所以 1 份数即 C 车装货物为：
16、160（4-2）=80（千克）。三辆车共装货物：80（1+2+4）=560（千克）。奥赛天天练第 9 讲，巩固训练，习题 1【题目】：小王和小张共买了 20 本书，如果小王给小张 6 本书，那么小王就比小张少2 本书。问小王、小张各买了多少本书？【解析】：我们以小王给小张 6 本书之后，剩下的本数作为标准，画出线段图如下：解法一：先求出小王现有本数。小王给小张 6 本书之后，两人书的总本数不变。以小王现有本数为较小数，小张现有本数为较大数，两数和为 20，两数差为 2，则小王现有数：（20-2）2=9（本）。所以，小王买书：9+6=15（本）；小张买书：20-15=5（本）。解法二：直接先求小
17、张买书本数。小张增加 6 本之后比小王现有本数多2 本，则小张买书本数比小王现有本数少（6-2=）4 本，所以小张买书本数比小王买书本数少（4+6=）10 本。所以小张买书本数为：（20-10）2=5（本）；小王买书：20-5=5（本）。第一种解法思路比较简单。奥赛天天练第 9 讲，巩固训练，习题 2【题目】：四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多 14 张，小华得到的选票比小玲多 8 张。如果这 3 人共得选票 54 张，那么他们各得选票多少张？【解析】：小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：可以先求出小玲获票张数，再求出另外两个人的获票张数。观察线段图，把
18、小玲获票张数看作 1 份，把小华获票张数去掉 8 张，把小明获票张数去掉（8+14）张，都凑成 1 份，总张数减少为：54-8-（8+14）=24（张）。所以小玲获票张数为：243=8（张）；小华获票张数为：8+8=16（张）；小明获票张数为：16+14=30（张）。这题也可以把小华获票张数或小明获票张数作为标准，先求出来，再求出另外两个人的获票张数。奥赛天天练第 9 讲，拓展提高，习题 1【题目】：一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟。在同样的风速下，逆风跑 70 米也用了 10 秒钟。问在无风的时候他跑 80 米要用多少秒？【解析】：解题之前要明确一点：如果我们以无风时少年跑
19、步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。解法一：先求出无风时少年速度：（9010+7010）2=8（米）。再求出无风的时候该少年跑 80 米需要的时间：808=10（秒）。解法二：以 10 秒跑步路程为标准，该少年无风时 10 秒跑步路程为：（90+70）2=80（米）。所以，在无风的时候该跑 80 米要用 10 秒。第二种解法解答这一题比较简便，但不宜推广，第一种解法是基本解法。如下图，4 个一样大的长方形和 1 个小正方形拼成了 1 个大正方形。大正方形的面积是 64 平方分米，
20、小正方形的面积是 4 平方分米，问长方形的宽是几分米？【解析】：对 64 和 4 分解因数：64=88；4=22。所以，大正方形的边长为 8，即长方形长与宽的和为 8；小正方形的边长为 2，即长方形长和宽的差为 2。所以，长方形的宽为：（8-2）2=3（分米）。奥赛天天练第 10 讲，模仿训练，练习 1【题目】：姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48 分钟，比妹妹做英语练习多用 42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44 分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？【解析】：“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48 分钟，比妹妹做英语练习多用42 分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用
21、时间：48-42=6（分钟）。所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）2=25（分钟）。奥赛天天练第 10 讲，模仿训练，练习 2【题目】：用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车马=2，炮车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少？【解析】：车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下：把马表示的数看作 1 份，车表示的数就是 2 份，炮表示的数就是 4 个 2 份，所以，马表示的数为：56（24-1）=8。“车+马+炮”等于：8（1+2+24）=88。奥赛天天练第 10 讲，巩固训练，习题 2【题目】：两组学生参加义务劳动，甲组学生人
22、数是乙组的 3 倍，而乙组的学生人数比甲组的 3 倍少 40 人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】：把乙组学生人数看作 1 份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3 倍，则甲组学生人数的 3 倍就是乙组人数的（33=）9 倍。所以，乙组人数为：40（9-1）=5（人）；参加义务劳动的学生共有：5（1+3）=20（人）。奥赛天天练第 10 讲，拓展提高，习题 1【题目】：某镇上有东西两个公交车站，东站有客车 84 辆，西站有客车 56 辆，每天从东站到西站有 7 辆车，从西站到东站有 11 辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？【解析】：“每天从东站到西站有 7 辆车，从西站到东
23、站有 11 辆车”，则每天东站增加（11-7=）4 辆车，西站减少 4 辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的 4 倍，西站只能有车辆：140（4+1）=28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28）4=7（天）。所以，7 天后，东站车辆是西站的 4 倍。奥赛天天练第 10 讲，拓展提高，习题 2【题目】：甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的 2 倍和乙校学生人数减去 3 人与丙校学生人数加上 4 人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？【解析】：把甲校学生人数作为标准，画出线段图：把甲校人数看作 1 份，乙校人数就是 2 份多 3，丙校就是 2 份少 4。我们把乙校人数减去 3，丙校人数加上 4，都凑成 2 份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。所以甲校人数为：2000（1+2+2）=400（人）；乙校人数为：4002+3=803（人）；丙校人数为：4002-4=796（人）。