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1、20192019 年中考初三数学专题系列年中考初三数学专题系列辅助圆辅助圆模型一：模型一：“隐形圆”解点的存在性“隐形圆”解点的存在性模型分析模型分析“定边、定角”圆上找“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上角顶点在两段弧上.1.如图，已知线段 AB.（1）请你在图中画出使APB90的所有满足条件的点 P；（2）请你在图中画出使APB60的所有满足条件的点 P；（3）请你在图中画出使APB45的所有满足条件的点 P.2.（1）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC5.请你在图中矩形 ABCD 的边上画出使
2、BPC90的点 P；（2）如图，在矩形ABCD 中，AB2，BC.请你在图中矩形 ABCD 的边上画出使BPC60的点 P；（3）如图，在正方形ABCD 中，AB2，BC.请你在图正方形 ABCD 的边上画出使BPC45的点 P.3.如图，线段 AB 和动点 C 构成ABC，AB2，ACB120，则ABC 周长的最大值为_.模型二：“隐形圆”解角的最值模型二：“隐形圆”解角的最值模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角.如图，BDE；如图，FBG.4.如图，线段AB 是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b 上，在直线b 上是否存在一点 P，使
3、得球员在 P 点射门更易进球若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由.5.如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点.（1）使APB30的点 P 有_个；（2）若点 P 在 y 轴上，且APB30，求满足条件的点 P 的坐标；（3）当点 P 在 y 轴上移动时，APB 是否有最大值若有，求点 P 的坐标，并说明此时APB 最大的理由；若没有，请说明理由.模型三：“隐形圆”解线段的最值模型三：“隐形圆”解线段的最值模型分析平面内一定点 D 和O 上动点 E 的连线中，当连线过圆心 O 时，线段 DE 有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论
4、（规定 ODd，O 半径为 r）：第一种：当点 D 在O 外时，dr，如图、：当 D，E，O 三点共线时，线段 DE 出现最值，DE 的最大值为（dr），DE 的最小值为（dr）；第二种：当点 D 在圆上时，dr，如图：当D，E，O 三点共线时，线段DE 出现最值，DE 的最大值为 dr2r（即为O 的直径），DE 的最小值为 dr0（点 D，E 重合）；第三种：当点 D 在O 内时，dr，如图、：当 D、E、O 三点共线时，线段 DE 出现最值，DE 的最大值为 dr，DE 的最小值为 rd.6.如图，已知O 及其圆外一点 C，请在O 上找一点 P，使其到点 C 的距离最近.7.如图，已知正
5、方形 ABCD 的边长为 4.点 M 和 N 分别从 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CD 方向向终点 C 和 D 运动.连接 AM 和 BN，交于点 P，则 PC 长的最小值为_（请在图中画出点 P 的运动路径）8.如图，在边长为2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 上一个动点，将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 AMN，连接 AC，则 AC 的最小值为_.（请在图中画出点 A的运动路径）9.如图，AOB45，边 OA，OB 上分别有两个动点 C，D，连接 CD，以 CD 为直角边作等腰直角CDE，当 CD 长保持不变且等于 2 cm 时，则 O
6、E 的最大值为_.模型四：“隐形圆”解面积的最值模型四：“隐形圆”解面积的最值模型分析三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大，此时该三角形为等腰三角形.例：如图，AB2，APB90，要求 SAPB 的最大值，当且仅当 POAB 时，APB的面积最大.10.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BDDC，若 AD2，BC4，则四边形 ABCD 面积的最大值是_.11.如图，已知在四边形ABCD 中，ABAD，BAD60，BCD30，AC4，则四边形 ABCD 面积的最小值是_.12.如
7、图，在ABC 中，AB2，ACB45，分别以AC，BC 为边向外作正方形 ACED，正方形 CBMN，连接 EN，则ECN 面积的最大值为.13.如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A.B.C.D.13.如图,在RtABC中,B=60,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将DBE沿DE折叠到DBE的位置,连接AB,则线段AB的最小值为：_.14.如图,O的直径为 4,C为O上一个定点,ABC=30,动
8、点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。(1)在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_.(2)在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为_.15.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+3 与x轴交于点A,与y轴交于点 B.点Q在直线AB上,点P在x轴上,且OQP=90.(1)当点P与点A重合时，点Q的坐标为_；(2)设点P的横坐标为a，则a的取值范围是_.3416.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C(0,2)，连接
9、AC、BC.(1)求抛物线解析式；(2)BC的垂直平分线交抛物线于 D.E两点，求直线DE的解析式；(3)若点P在抛物线的对称轴上，且CPB=CAB，求出所有满足条件的P点坐标。17.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点 E.F，连接EF.(1)如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；(2)将三角板从(1)中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：PEF的大小是否发生变化请说明理由；在旋转中，当点F与BC边中点重合时，求四边形AEFP的面积；直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长。