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1、专题15等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意xeR,则x0 （x为正数）、x = 0或x0,b0=a + b0 ；a 0,ba + b 0,b 。= ab 6 ；aO,bab（）两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a0,babx2 0 , x = 0x2 = 0.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、ba-匕Ooab ； a-/?vOoab , a = b , a三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明 不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质对于B、C：因为所以a
2、 + l0.b b+ b(a + )-a(b + ) h-ah b+1所以-=-T-=-o.所以2丝:.故B正确，c错误;a a+ a(a + l) aa-a a + 对D：因为所以，一!=?0, cO,则痣B.若则D.若心0, cO,则痣A.若“，则. + 2C.若一:，则。0, ，所以。=0 ,b =0,2222所以b,故A正确;对选项 B, ab0 , 1,所以y/ab 4b因为=所以， ，即a ,故B正确;b yJb对选项C,令a = 2, b = 3 ,满足，1，不满足a0, /Z?0, c0 ,a a + c a(b + c-b(a + c c(a-b)八所以工一;一=1- = 7
3、7； 0,故 D 正确.b b + cb(b + c)b(b + c)故选：ABD7. (2022,江苏高一)已知夕=/一| , Q = 2x2-x ,则/ Q .(填“”或v”)【答案】v【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为P_Q =r _ 1 (2厂xj = x + x 1 = x 所以PQ.2) 4故答案为：aZ?0,求证：。. c-a c-b【答案】(1) 3x2-x+2+x-li(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求差法进行大小比较即可：(2)求差法去证明即可解决.【详解】(1)由(3/-x+1)-(2/ +x-1) = x2-2x+2 =(x-l)2 + l 0
4、.可得 3/-工+12/+4-1 .a b a(c-b)-b(c-a) (a-b)cc-a c-b (c-a)(c-Z?)(c-a)(c-b)cab0,c-a0, c-h0,.(i)J 0b) * c-a c-h9. (2022,全国高一课前预习)已知：、bwR： 且# b,比较与的大小.【答案】a,bhahba【解析】【分析】两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.【详解】。、bwR ，/沙0, abba0作商：察=分命=a6=铲(*)若公办0,则.1, a-b0,(令1,若公办0,则.1, a-b0,(令1,此时成立;(2)若 ba0,则 0 1, a-b 1 ,此时 a
5、ahb abha 成立.10-(2。22黑龙江哈师大附中高一阶段练习)已知,。，试比较霁与合的大小.【答案】a2 +b2 a + ba1 -b a-b【解析】【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】Qab0, :.a-b b2,a + b()a2 + b20,a + b 八0，a-b两数作商a2 +b2 a + ba2 +b2 a-b+x-b a-b (a + b)(a-h) a + ba +b22ab127i b , od,则 仇/B.若 a b ,则C.若ab,则D.若ab/?,所以由不等式的性质可得a-c-c,所以C正确，对于D,因为。人0,所以二，即所以D错误
6、, ab ab b a故选：c2. （2022四川省峨眉第二中学校高一期中（理）若一工|目B. a bC.D. a + bab【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断.【详解】，V、0同，A 错，B 错；2一少咱吟诗。错；a+b0ab, D 正确.故选：D.3. （2022江苏高一）如果av匕0B. acb2D. 7a b【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若 ab0,则。一 0,故 A 错误；若 ab0, c0 ,则故 B 错误；若则 a?/?，故C正确；若abb,则下列不等式成立的是（）a-b（）B. - b2ah【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质
7、对选项逐一分析【详解】对于A, ah=a-b0,故A正确C, D均不成立，可举反例，取。=1, b = -2故选：A（2022江苏高一）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把作为等号使用，后 来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响 深远，若a, b, ceR,则下列用不等号表示的真命题是（）A.。工0且则一B.若则/ a bC.若 a b U ,则D.若 ccbva , ac 0 ,则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A,当。=-2力=1,不等式不成立，故错误；对于B,取 =/=!人0,所以ab+aa
8、b+b,即。出+ 1） 伙 + 1）,两边同时除以。（。+1）得空2 ,故正确：对丁 D,当。=0,不等式不成立，故错误.故选：C.5. （2022广东珠海高一期末）对于任意实数a,c,，给定下列命题正确的是（）A.若 a b, IliJ ac heB.若 ab,cd , |lij a-cb-dC.若 ac2 be* 则D.若 a b-d 不成立, 故B错误；对于C：若ac? bc,则0，所以，故C正确；对于D：若。=一1,8=1满足。，但是一二，故D错误； a b故选：C（多选题）7. （2022江苏高一）已知，c满足且acvO,则下列选项一定成立的是（）八 c b八 b - a 仆厂 b，
9、 a?a-c A. -0C.D. 0a acc cac【答案】ABD【解析】【分析】分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断【详解】cba,且ac v0,可得c 0r I）对于A, c0,故一一，A正确a ah a对于B, ba,c0, B正确c对于C, 的符号不确定，无法比较，故C错误对于D, c0,c0,故已00c,则（）A. ac beB. c-a c2D. ac bc【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质或反例可得正确的选项.【详解】因为aZ?Oc, acbe,故 A 错误，而-a v-b ,故c-aZ?Oc, （H ab bc2A. a+cb+cD. (a+b)(a-b)0
10、D. (a+b)(a-b)0C. 0 a-b【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.【详解】对于 A,因b, cR, ab,则 ”+cb+c, A 正确：对于 B，c20, ab,则 actbc2, B 正确：2对于C,当c=0时，=0, C不正确； a-b对于 D,当 o=D b=-,满足 ab,但(a+b)(a-b)=0, D 不正确.故选：AB10. (2022江苏高一)对于实数a, A c判断以下命题的真假(1)若 a )，则 ac V Z?c ；()(2 )若 ad bc，则 a ) ；()(3)若 a /；()(4)若则同四；()(5
11、)若则a00v。.()a b【答案】 假命题真命题真命题真命题真命题【解析】【分析】根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.【详解】(1)中，因为。的符号不定，所以无法判定的和尻的大小，故原命题为假命题；(2)中，因为4c2c、2,所以cwO,可得/0,故原命题为真命题；ab, a尸，a0Z?面片，故原命题为真命题.(4)中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题.(5)中，因为且，:,所以一0且，一0, a ba bb 一 0所以力一a(),可得力，所以a0力0,故原命题为真命题.题型四：利用不等式的性质证明不等式I. (2022湖南高一课时练习)证
12、明不等式：(1)若 a v。v 0, c v d Z?d ；(2)若ab0, c J 0,则crcb2d .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析;【解析】【分析】(1)利用不等式的性质可证得结论；(2)由。力0,知利用cd。，即可证得结论；(1) Qab0,两边同乘以 c0 , Wbe又cdZ?d即 ac bd(2) vZ?0,两边同乘以a 0,得两边同乘以0,得所以同以从0乂c0,则a2cb2c0, 乂cd 0 ,则/cb2d ,即 a2c b2d(2022湖南高一课时练习)利用不等式的性质证明下列不等式:(1)若a/?, c0；(2)若6/0 , -1 /?0,则a ab2 ab.【
13、答案】(I)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)可知而c。2()一,而ab,：.a-b0,又 evO,：.(a - b)c 0 ；证明：.,一10, /.0/?2 b 0Z1 乂 a 0 ,a ah ah .2. (2022全国高一)(1)试比较(x+l)(x+5)与(x+3的大小；(2)已知-0 . a b【答案】(1) (x+l)(x+5)(x+3)2； (2)证明见解析.【解析】【分析】(1) (x+l)(x+5)与(x+3)2作差，判断差的正负即可得出结论；(2)结合不等式的性质分析即可证出结论.【详解】(I)由题意，(x+l)(x+5)-(x+3)-=x2 + 6.r+5
14、-x2 -6x-9 = -40，所以(x+l)(x+5)v(x+3)2.(2)证明：因为所以，一!0,即?，所以则a().得证.3. (2022全国高一单元测试)(1)若加一。企0, bd0,求证：孚5二幺； b d(2)已知 ca60,求证： : c-a c-b(3)观察以下运算：1x5 + 3x6”6+3x5,1x5 + 3x6+4x71x6+3x5+4x7”7+3x6+4x5.若两组数a/,与/,且右飞2, b/（）,所以0, bd又 be -ad 0.即 ad ,所以二之7，所以=+I2： + I, BP0,c- a be、i c-a c-b所以c-a c-b（3）解：成立，证明如下：
15、*.* a1bi+a2b2（a1b2+a?bD=a i（b 】一b2）+a 2（b?-b i）=（a/-a2）（b岳）, 又b/人0,求证：（1）/a fb ；（2） a fab b.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）结合冢函数），=五的单调性，即得证（2）由&0,右0,框0,结合不等式的性质，即得证【详解】（1）由塞函数），=正在。+8）单调递增，且4/?0,故即得证；（2）由（I）, 衽 0,80由不等式的性质，a4b又 ya （）,甚 0不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：对称性：abobva(2)传递性：ab, hc=ac(3)可力口性
16、：ahoa + c6 + c(cR)c 0 = 4Cbe(4)可乘性：ah, c = 0= ac = bec acb,c cl a + cb + d.(2)可乘法则：abO,c d 0= a ch d0(3)可乘方性：aO(),eN* =，/) 0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、8,可以作差后比较a-8与0的关系，进一步比较与的大小. a-。0oab ； a-0oab综上：a fab b 即得证(2022江苏高一课时练习)证明下面的结论：(1)如果cd,且c0,那么(2)如果。力0, cd bd ；(3)如果。匕0, cd
17、0,那么 匕0, cd 0, e0 ,那么巴 b,c (),/. ac he , ：cd,b (),./x? bd ,则有 ac bd ：(2) ,：a b,cbe , -cd,b bd ,则有acbd；(3) ,/?(),.-/?() , -= -0 ,0 ；b a abb a八j r 11。 “c1 1八c d 0,cd 0 ,= 0 , 0 ；d c cdd c那么上V1bd(4)由(3)可得，0,那么且ac baac bd(2022,江苏,高一课时练习)已知求证：a2b2.【答案】证明见解析【解析】【分析】利不等式的性质证明即可【详解】因为。V6 0 , ab b 0.所以2从(202
18、2新疆阜康市第一中学高一阶段练习)(I)比较x = (a+3)(a5)与y = (a + 2)(4)的大小 (2)已知尻求证：a-cb-d【答案】(1)x);(2)见解析.【解析】【分析】(1)利用作差法即可得出答案；(2)利用不等式的性质即可证明结论.【详解】(1)解：x-y = (a+3)(a5)( + 2)(。-4) =/一加一 15一(/一2。-8)= 70,所以xb,c,所以a+(-c)ia-cb-d.6. (2022福建永安市第三中学高中校高一阶段练习)(1)求证：(a + l)(a+5)v(a + 3)2；(2)求证：+ 3.2卜/+。-1).【答案】(1)证明见解析；(2)证明
19、见解析.【解析】【分析】(I)利用作差法即证；(2)利用作差法即证.【详解】：+ 1)3 + 5) (a+ 3)2 =(/ +6 + 5)(2 +6 + 9)= -40,( +1)(。+ 5) ；,/ a2 +/-2( + -1) = (4-2 + 1) + 伊-2力+1)= (a-l)2+(/?-l)2.O,当且仅当。=。=1时等号成立，cC +b.+b.7. (2022湖北武汉市育才高级中学高一阶段练习)(1)若庆一次/20, bd0,求证：孚邛 b d,、 (2) ab0, cd ()t n 0,所以所以c + d a + b b(c + d)-d(a + b)bdbc+bd-ad-bd
20、bd所以所以a + b c + d(2)因为c4一d0,因为。人0,所以一d0, 所以(a c)2g d)20,所以1 1 n 所以西。,因为 vO,nii所以(-d)2 V(-C)2，即(a-c)2 (b - d)28. (2022全国高一专题练习)若4/?0, cvdvO, evO,求证：,、2 人 工(-c)(b-d)【答案】证明见解析【解析】【分析】先根据不等式性质判断4-C,-4的大小关系，然后结合不等式性质可判断厂的大小关系，由 (a-c) (b-d)此即可证明 的大小关系.(a-c) (b-d)【详解】证明：Qc-d0.乂abU , :.a-cb-d0 .则(a-c)2S-d)2
21、0,即(a-c)2 (b-d)2 乂 e 0, 0 / 7772 (a-c)(b-d)题型五：利用不等式的性质比较大小1.（2022山西吕梁高一开学考试）已知,?（）,则下列结论正确的是（） a bA. a bB. a + b tD. abb-【答案】B【解析】【分析】结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】因为！?（）,所以。0,故A错误： a b因为所以。+ /?0 ,所以+/?同不成立，故C错误;ab-b2=b（a-b）,因为0,即，力-从=（。-6）c,则下列不等式一定成立的是（）,1 1 2A. a+bcB. ab c2C. a-cc-b D. + 2c,
22、可判断C【详解】选项A,令=-1, = -1,。= -2 , a+b = c,不成立，A错误；选项B,令=-1, = -1,。= -2, ab c, bc,可得 a + /?2c ,故a-cc-b, C 正确；1 ?选项 D,令a = 1,/）= l,c = -2, - + 不成立，D 错误.a b c故选：C3. （2022重庆巴蜀中学高一期末）若则下列不等式一定成立的是（）a b a A. a b【答案】D【解析】 【分析】c b b+T_1,111B. C. a bD. f= a 67 + 1ba7 b利用不等式的性质可判断ABD,取特殊值可判断C选项.【详解】选项 A：因为所以-0 a
23、2 b2 0 ab所以32,故a错误： b a选项B：因为。b0,则而0,所以a + c心必，即4（1+）（1+4）,又寻用0,所以不等式。（1+8）（1+4）两侧同时乘以白不，则2,故B错误；选项C：当a = = ；时，此时ab0,a-=-3 b 25, 11 n 5=,b = 2 =, 2a 33a一; 折0,则白3，故D正确.故选：D.（多选题）4. （2022河北保定高一期末）已知则（）aA. b12B. alC. aD. a + ba【答案】BCD【解析】【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.【详解】|Iia = 2, b = -,满足条件，故A错误；4一
24、。=2 = 4,故B正确；由人一0得；,故C正 3aab”一，2确；由 ；有 + 6一，故D正确.吟故选：BCD(多选题)5. (2022黑龙江齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺 智石一书中首先把“=作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学 界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。，b, ceR,则下列命题正确的是()A. ba(), WO B.若a力，则 aca hC.若 a b , c d,则 a + cZ? + 4D.若 仪，则【答案】ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中c为0的情况.【详解】
25、选项A：.在不等式ja两边同除以必得一,A正确；a b选项B：当c=O时，ac = be , B错误；选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；选项D： .所2雨，两边同除以不得，D正确.故选：ACD.(多选题)6. (2022广东揭阳高一期末)己知下列结论正确的是()A. 2ab+cB. a(h-c)b(a-c)C. -D. (-c)3a-c b-c7【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质逐项分析即得.【详解】*.* Z? c 0,2ab+c,故 A 正确；取a = 3b = 2c=l0,则a(/2-c) = 36c0可知，一!一 Vy!，（-C）3 （Z?-C）3 ,故 C 错
26、误，D 正确。.a-c b-c 故选：AD.（多选题）7. （2022辽宁丹东高一期末）如果。，瓦c, dwR,那么（）A.若，则B.若ac? bd ,则 a bC.若 a b, c d,贝 ljac8dD.若 ab, c d,则 a +【答案】BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A、C,根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.【详解】A：令 =1, b = -,满足但:,故A错误： a bB：因为ac? / 0，所以a，故B正确；C：令/? =1, c = 1 d =,满足a，c d,但ac = bd,故C错误；D：因为），cd,由不等式的性质，得a + c0+,故D正确.故选：BD
27、（2022湖南高一课时练习）如果则有（用“”或填空）：（1） /；（2） -a b（3）ab ;（4） 1.a 【答案】 【解析】【分析】根据不等式的性质求解.【详解】（1）由 a 0 ；（2） Q。/?0,ci,；abab ab a bQavbvO , ：d b? 0,：.后)后；（3） Qabb- = ,即色1. b b b故答案为：；.9. (2022湖南高一课时练习)下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例. 如果那么c, b0,则。f ： b(3)若acbe ,则ab-(4)若a，c d, a-cb-d .【答案】(I)成立，理由见解析；(2)成立，理由见解析；(3
28、)不成立，理由见解析；(4)不成立，理由见解析；【解析】【分析】由不等式的性质判断(1) (2)成立，取特殊值判断(3) (4)不成立.(1) c-ac-ba b,:.ac, Z?0,即， b取。=1,力=2,C = -1时，满足ac Ac ,但是a不成立.(3) 取。=1, = 0 = 3 = -1,满足a，c d,但是一d 不成立.10. (2022全国高一课时练习)下列命题正确的是()A. a b、cwU = ac1 be1B. a b = a bca + cb + d D. a b = a? b【答案】A【解析】【详解】对于选项A, ,chO,1.c?,。，又ab ,：.ac2 be成
29、立.,故A选项正确；对广选项B,当0时，结论明显错误；对于选项C,当a = 4, = 3,c = l,d = 2时，a + c = b + d ,所以结论错误；对于选项D,当。=1/=-2时，a2b2,所以结论错误.11. （2022全国高一课时练习）若人则占.填或“=）【答案】77 【解析】 【详解】an b故答案为：v题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（2022江苏高一）己知0x4, 06,则21-），的取值范围是【答案】-62A-y8【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：因为0%4, 0 y 6 ,所以02x8, -6-y 0,所以-62x-y8,1. （20
30、22江苏高一）已知2。3.-2一1,贝I 2一人的取值范围为【答案】52a-b8【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】2 3,-2-1,故42。6, -b2,得52。-匕82. （2022,吉林延边高一期末）已知-1。“，则。一力的取值范围是（）A. -7-2/?4B. -6a-2b9C. 6a-2b9D. -2tz-2/?8【答案】A【解析】【分析】先求-幼的范围，再根据不等式的性质，求加的范围.【详解】因为-14bW4,所以一8七一北三2,由得一7工一给4.故选：A.（多选题）4. （2022黑龙江大庆外国语学校高一阶段练习）设x, y为实数，满足lxW4, 0y2,则 下列结论正确的
31、是（）A. 1 x + 6 B. x- y 2C. 0 xy 8D. 2）【答案】AC【解析】【分析】根据x,歹的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.【详解】对于 A, 0+ix+y2 + 4, gpix+y6,故 A 正确；对于 B, -2-y0,则 1 2Kx-yv4 + （）,即一lKx-y4,故 B 错误；对于 C, 0xl.q，K4x2, gp0xy8,故 C 正确；对于D,由题知，之：，则土21x： =:，故D错误；故选：AC5. （2022,全国高一）已知一1。4, b2,则Q-b的取值范围是.【答案】-3a-bbRbc,则”c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间
32、量.【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法、作商法比较两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系（2022江苏高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mem. 设携带品外部尺寸长、宽、高分别为。、和。（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）A. a + b + c MC. a + b + cD. a + b+ c M【答案】A【解析】【分析】根据长、宽、高的和
33、不超过Mem可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mem,:.a+b + c M.故选：A.1. （2022天津河北高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、 宽、高之和不超过130a.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为，力工（单位：。），这个规定用数学关系 式表示为（）.A. a+b + c 130C. a+b+c 130【答案】C【解析】根据长、宽、高的和不超过130。可更接得到关系式.【详解】因为一la4, 1 b2 ,则一2/?一1,所以一1 2 a/?4 1,即ttb的取值范围是3ci-b3.6. （2022全国高一）若实数x,满足lvxv2,
34、 -2yl,则）彳的取值范围是【答案】-4y-x2【解析】由可得然后相加便可得到的取值范围.【详解】因为一lvxv2,所以-2-xvl,又因为一24），41,所以-2+（-2）一工1 + 1,即Tvy-xv2 .到，容易错解为T，2.7. （2022全国高一）已知处vav-，则的取值范围为.b【答案】-172【解析】【分析】由如一/九可得。0,再将2/?“一方同乘:可得答案. b【详解】因为2/7Vav-，所以给所以0, 7vavT，同乘以， bn. b a 2b 口门，a , 则一一 一,gp-l 2.b b bb故答案为 b【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生的推理能力,属于基础题.8. （2022江苏高一）设 2。7, lb2,求 a + 36, 2a-b , 的范围. b【答案】5va +劝V13, 22-/?13, 17 b【解析】【分析】根据不等式的基本性质，