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1、专题15等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意XW/?,则x0（X为正数）、4 = 0或x0,b0=a + b0 ；a0,ba + b 0,b 0 = ab 0 ；a 0,bub（）两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a0J）ab x2 0 , x = 0 x2 = 0.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数“、 4 b ： a-0oab； a b = 0a = b.对于任意实数。、b , ab，a = b,三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明 不等式与解不等式的主要依据.知
2、识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：abbb, bcac(3)可力口性：4O4 + C + C(CWR)ac be(4)可乘性：ab, - c = 0= ac = bec acb,cd =a+ cb + d.(2)可乘法贝ij： ab,cd 0=a cb-d 0(3)可乘方性：a00,eN=b0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式。、b,可以作差-人后比较与。的关系，进一步比较。与/，的大小. a-/?0oab； vOoavb； a b = 0oa = b.作商法：任意两个值为
3、正的代数式可以作商4 后比较与1的关系，进一步比较与的大小. b 9 1 = 4 力； bg 1 = a v Z?； h(3) = I = /?. b中间量法:若ab且bc,则。c （实质是不等式的传递性）.一般选择。或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法、作商法比较两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系（2022江苏高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之
4、和不超过Mem. 设携带品外部尺寸长、宽、高分别为、机。（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）A. a + b + c M C. a + b + c MD. a + b+ c M（2022天津河北高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、 宽、高之和不超过130.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为。力,。（单位：cm）,这个规定用数学关系 式表示为（）.A. a+b+c30C. tz + /? + c 100x100AB 200y + z240 200y + z100x 100CD200y + z240, 200 y + z300B. 80+20/73
5、00D. 80+20（/2-1）3003. （2022河南范县第一中学高一阶段练习）完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人 需付工资7（X）元，现工人工资预算为20000元，设请木工X人，瓦工V人，则X,）满足的关系式是（ ） A. 8.r + 7y2（X） B. 8犬 + 7），之 200 C. 8x + 7y = 200 D. 8x + 7y0B. ac D. a l,且彳=&+1 8, y= 4c Vc-1 则x，y之间的大小关系是A. xyB. x=yC. xNC.M=ND.不能确定（多选题）5. （2022.江苏.高一）ab,则下列不等式一定成立的是（）b b-卜b
6、 b+-b b+仁1 1A.- B.- D.-b, IjllJ a B.若 abU ,则C.若贝 iJa0, b 0 , c0 ,则a bb b+c（2022江苏高一）已知 P = K-1 , Q = 2x （2022四川省峨眉第二中学校高一期中（理）若,:|/?|B. a bC. D. a+bab7. （2022江苏高一）已知 P = K-1 , Q = 2x （2022四川省峨眉第二中学校高一期中（理）若,:|/?|B. a bC. D. a+bab （2022江苏高一）如果a力0B. acb2D. b,则下列不等式成立的是（）A. a-b0B. -同D. a2b2a b （2022江苏高
7、一）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“V”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响 深远，若a, b, ceR,则下列用不等号表示的真命题是（）-x ,则0 Q .（填域“v”）（2022江苏高一）（I）比较3/-X+1与2/+X1的大小；（2）已知求证：a .c-a c-b（2022全国高一课前预习）己知：“、beR； 且# ，比较必与a为的大小.8. （2022黑龙江哈师大附中高一阶段练习）已知试比较空耳与半的大小. a -b a-b题型三：利用不等式的性质判断命题真假1. （2022江苏高一）若。力,c,
8、deR,则下列说法正确的是（）A.若 ab, cd,则B.若 ab,则 a/。/C.若ab ,贝lj 一c/?-cD.若a0,贝a bA.出?工。且则B.若0/?0,贝D.若 ccbva，ac0, WO cb2 b,则cbcB.若ab,cd ,则 a-c/?-dC.若 ac? bc，则D.若 a b ,则a b(多选题)7. (2022江苏高一)已知。，b,。满足且acvO,则下列选项一定成立的是()a c b宜 b-a 八_ lr a2、 a-c 八A. 0C. v D. 00c,则()A. acbcB. ca c2D. axclfxc(多选题)9. (2022江苏无锡市第一中学高一期末)若
9、a, b, ceR,且公功，则下列不等式一定成立的是( )A. a+ch+cB. acbc22C. -0D. (a+b)(a-b)0a-h10. (2022江苏高一)对于实数小b, c判断以下命题的真假(1)若 a b ,则 acb/，则()(3)若 a v。 ab A；()(4)若网；()(5)若 a J L 则 a0,/?v。.()a b题型四：利用不等式的性质证明不等式(2022.湖南高一课时练习)证明不等式：(1)若a v0, cd bd ；(2)若ab0, cd0,则ereb2d.1. (2022湖南高一课时练习)利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若。力，c0；(2)若 avO,
10、 -b0, 5M a ab2 h,0 . a b3. (2022全国高一单元测试)(1)若bc*0, bd3求证：半与*； b d(2)已知 cab0,求证：。 b ；c-a c-b(3)观察以下运算：Ix5 + 3x6lx64-3x5,Ix5 + 3x6+4x7lx6+3x5+4x7lx7+3x6+4x5.若两组数/, 42与历，岳，且a/%2,为夕2则。血+。2b2之。而2+。2加是否成立,试证明;若两组数20,求证:(1) 4a 4b :(2) a ab b.5. (2022.江苏.高一课时练习)证明下面的结论：(1)如果a60, c4,且c0,那么ac加/；(2)如果a0, cd /?
11、d；(3)如果cd0,那么,Z?0, cd 0, e0 ,那么上b2.6. (2022新疆阜康市第一中学高一阶段练习) 比较？ = (a+3)(a-5)与y = .+2)(a-4)的大小 (2)已知a0,cvd.求证：a-cb-d(2022.福建永安市第三中学高中校高一阶段练习)(1)求证：(。+ 1建+ 5)0,求证： 乎&一;b d, , n n(2) ab0, ccl 0, n (2022全国高一专题练习)若 ab0, cc/ 0, e0 ,求证：-,题型五：利用不等式的性质比较大小L (2。22山西吕梁高一开学考试)已知“卜。，则下列结论正确的是()A. abB. a+bbD. abb
12、2A. a+bcB. ab c2,c 1 1 2C. a-c cbD. + c,则下列不等式一定成立的是（3. （2022重庆巴蜀中学高一期末）若。人0,则下列不等式一定成立的是（）b a门 b b + A. -B.-a ba 4-11 , 11 1C a-rh-aD.花飞（多选题）4. （2022河北保定高一期末）己知则（）aA. b B. 1I2C. aD. ci + b ba（多选题）5. （2022黑龙江齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺 智石一书中首先把作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“”符号，并逐渐被数学 界接受，不等号的引入对不等式
13、的发展影响深远.若，b, ceR,则下列命题正确的是（） （2022湖南高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例.（1 汝口果。一。一0,那么。 c, h0, Plij a b（3）若 ac be ,则 a ；（4）若 a 8, c d,则 acZ?-d. （2022.全国高一课时练习）下列命题正确的是（）8. （2022湖南高一课时练习）如果力a0 ,则一 a bC.若 a b , c d,则 a + cZ?+d(多选题)6. (2022广东揭阳高-期末)B.若ab ,则 acbeD.若 ac2 be2，则 a已知ac0,下列结论正确的是（）A. 2ab+cB
14、. a(b-c)ba-c)C. a-c b-c（多选题）7. （2022.辽宁丹东高一期末）D. (?-c)3 (Z?-c)3如果a, b, c, deR,那么()A.若a，则一 b , c d, PPJ ac hclB.若ac, be?,则D.若 ab, c d,则 a + cZ? + d(1) - a-b ；(2) -ab而后;(4) -1.A. a b,cac2 be2 B. a & bM.ca + cb + dD. ab=a2 b11. （2022全国高一课时练习）若则q 填V或“=”）题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（2022江苏高一）已知0xv4, 0vy6,则2x-
15、y的取值范围是1. （2022江苏高一）已知则的取值范围为（2022吉林延边.高一期末）已知-1844,则一给的取值范围是（）A. -7a-2/?4B. -6a-2b9C. 6a-2b9D. -2a-2bS（多选题）4. （2022黑龙江.大庆外国语学校高一阶段练习）设x, y为实数，满足14”4, 0”2,则F列结论正确的是（）A. x+y6 B. x-y2 C. 0xy2（2022全国高一）已知一1 /?2 ,则。一方的取值范围是.5. （2022全国高一）若实数x, V满足-2 y 1,则）上的取值范围是.6. （2022全国高一）已知勖“-，则的取值范围为 b（2022江苏高一）设 2a7, b2,求 a + 3b, 2a-b ,，的范围. b （2022.江苏.高一）已知-g殁必尸g,求生吆的取值范围.2237. （2022江苏高一）设 2a7, b2,求 a + 3b, 2a-b ,，的范围. b （2022.江苏.高一）已知-g殁必尸g,求生吆的取值范围.223 （2022江苏高一）（1）试比较（x+l）（x+5）与（x+3的大小 （2）已知一2工工4一1,24），43,求x一儿土的取值范围.