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1、第13章轴对称小结与复习一、教学目标（一）知识与技能：1 .总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识;2.培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3. 归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力.（二）过程与方法：使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题.（三）情感态度与价值观：培养学生的分析解答能力.二、教学重点、难点重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用.难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力.三、教学过程知识梳理一、轴对称相关定义和性质.定义如果一个图形沿一条
2、直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴.如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它的对称轴.1 .性质关于某直线对称的两个图形是全等图形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.二、线段垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三、平面直角坐标系中轴对称点（x,），）关于x轴对称
3、的点的坐标为（尤，-y）；点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-羽y）.四、等腰三角形的性质及判定.性质：两腰相等；轴对称图形，等腰三角形底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在的直线就是它 的对称轴；两个底角相等，简称“等边对等角”；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）.1 .判定有两边相等的三角形是等腰三角形；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.五、等边三角形的性质及判定.性质：等边三角形的三边相等.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60。.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.（
4、4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.1 .判定三边相等的三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.六、有关作图.作线段的垂直平分线.1 .过直线外的一点作该直线的垂线.2 .最短路径：（1）牧人饮马问题；（2）造桥选址问题.考点讲练考点一 轴对称及轴对称图形例1在以下“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速20”四个交通标志图中, 为轴对称图形的是（）ABCDABCD针对训练.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）个A.
5、 1 B. 2 C. 3D.4.如图，Z3 = 3O ,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， 那么击打白球时，必须保证N1的度数为.考点二关于坐标轴对称的点的坐标例2按要求完成作图：作AABC关于y轴对称的AiBiCi；在x轴上找出点P,使PA + PC最小，并直接写出P点的坐标.解：（1）如图，ZXA1B1C1为所求；如图，点P为所求，P点的坐标为（-3, 0）.针对训练3在直角坐标系中，点P（m 2）与点A（ 3, 关于x轴对 称，那么机的值分别为（）A. 3, -2 B. -3, -2 C. 3, 2 D. -3, 2考点三线段垂直平分线的性质和判定例3在AABC中，AD是高，在线段D
6、C上取一点E,使得BD = DE,AB+BD = DC.求证：点E在线段AC的垂宜平分线上.证明：*. AD是高，且BD二DEAB=AEAB+BD=DC, DC=CE+DE AB+BD=CE+DE又 BD二DEAB=CE，AE=CE点E在线段AC的垂直平分线上针对训练4.如图：AABC中，MN是AC的垂直平分线，假设CM=5cm, ABC的周长是22cm,那么AABN的周长是.方法总结线段的垂直平分线一般会与中点、90角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的 周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.考点四 等腰三角形的性质和判定例4如图，等边AABC中，D是AC的中点，E
7、是BC延长线上的一点，且CE=CD, DMBC,垂足为M.求证：M是BE的中点.证明：连接BD.AABC是等边三角形，且D是AC的中点，ZACB=60 , ZDBC=- ZABC=1 X60 =30 22.* CE=CD NE=NCDENACB=NE+NCDEZE= ZACB=30，ZDBC=ZE=30 DB=DE又; DMBC M是BE的中点例5等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.解：设该等腰三角形中，小角的度数为尤，那么大角的度数为2r当x为底角时，户户2户180,解得产45,那么2户90当x为顶角时，x+2x+2x=180,解得产36答：该等腰三角形顶角的
8、度数为90。或36。.方法总结在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：（1）在求角度时，未指明底 角和顶角；（2）在求三角形周长时，未指明底边和腰；（3）未给定图形时，有时需分锐角三角 形和钝角三角形两种情况进行讨论.针对训练.如图，在AABC中，ZA=36 , AB=AC, BD平分NABC, DE/7BC,那么图中的等腰三角形共 有一个.5 .如图，在AABC 中，AB=AC=10, ZBAC=120 , AD 是AABC 的中线，AE 是NBAD 的平分 线，DFAB交AE的延长线于点F,那么DF的长是.如图，在AABC中，AD是角平分线，AC=AB+BI).求证：ZB =
9、2ZC.证明：在AC上截取AE二AB,连接DE.AD是角平分线，NEAD=NBAD 又 AD=AD, AEADABAD (SAS)DE=DB, ZAED=ZB.* AOAB+BD=AE+DE=AE+EC EOED, J NONCDE NAED=NC+NCDE=2NCJ ZB=2ZC 8.如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线 于点 E, EF=FD.求证：AD=CE.证明：作 DGBC 交 AC 于 G, Z. ZDGF=ZECF/DGF=/ECF在DFG 和4EFC 中， ZDFG = ZEFCFD = EF：.ADFGAEFC (AAS).GD
10、=CEAABC 是等边三角形， NA=NB=NACB=60。DG/BC, J ZADG=ZB, NAGD二NACB ZA=ZADG=ZAGD ZXADG是等边三角形 AD=GD AD = CE 9.在aABC中，AB=AC, D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作aADE,使AE=AD,ZDAE=ZBAC,连接 CE,设NBAC= % ZDCE= P.(1)如图，点D在线段BC上移动时，角。与8之间的数量关系是，请说明 理由；解: Q +8=180。理由：NDAE=NBAC二 ZDAE- ZDAC= ZBAC- ZDAC,即 ZCAE=ZBAD 又 AB=AC, AD=AE AABDA
11、ACE (SAS) NABD=NACEZBAC+ZABD+ZACB=180 ZBAC+ZACE+ZACB=180 ZBAC+ZBCE=180 ， BP a + 3=180如图，点D在线段BC的延长线上移动时，角a与B之间的数量关系是，请 说明理由；解：理由：ZDAE=ZBAC Z DAE+ Z DAC= Z BAC+ Z DAC,即 NCAE= N BADXV AB=AC, AD=AE AABDAACE (SAS) NABD=NACE丁 NACD=NABC+NBAC=NACE+NDCE，NBAONDCE即a二B当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图中画出完整图形并猜测角a与B之 间的数量关系是 解：（3）如下图.猜测：Q二B