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1、绝密启用前 2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1若zC，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则z = .2已
2、知向量和的夹角为120，且|=2，|=5，则（2） = . 3方程log3(123x)=2x+1的解x= .4若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .5在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则= .6已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 .7在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用
3、数值表示）8曲线（t为参数）的焦点坐标是 .9若A、B两点的极坐标为A（4，）、B（6，0），则AB中点的极坐标是 .（极角用反三角函数表示）10设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是 .11若数列中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an= .12已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a，且f (x)x（xD）的充要条件是y=f -1(x)满足 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须
4、把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）（A）z|z|=1, argz,zC ； （B）z|z|1, argz,zC （C）z|z|=1, Imz,zC ； （D）z|z|1, Imz,zC14已知直线、m，平面、，且，m.给出下列四个命题：（1）若，则m ；（2）若m，则；（3）若，则m；（4）若，则，其中正确命题的个数是（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个15函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）16一般地，家庭用电量（千瓦
5、时）与气温（）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）（A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。17（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABOA/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OPBD，求OP与底面AOB所成
6、角的大小.（结果用反三角函数值表示）18（本题满分12分）已知点A（，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x2交于D、E两点.求线段DE的长.19（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。已知函数f (x)=x2+2xtan1，x1，其中（，）.（1）当= 时，求函数y=f (x)的最大值与最小值；（2）求的取值范围，使y=f (x)在区间1，上是单调函数.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消
7、费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200，400）400，500）500，700）700，900）获得奖券的金额（元）3060100130根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=，试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
8、满分6分。已知函数f (x)=abx的图象过点A（4，）和B（5，1）.（1）求函数f (x)的解析式；（2）记an =log2f (n)，n是正整数，Sn是数列的前n项和，解关于n的不等式anSn0；（3）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列 anSn 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.22（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。规定=，其中xR，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且mn）的一种推广.（1）求的值；（2）组合数的两个性质：=；+=.是否都能推广到（xR，m是正整数）的情况？若能推广，
9、则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当xZ，m是正整数时，Z.2002年全国普通高等学校招生统一考试理科数学参考答案（上海卷）一、1.3i; 2.13; 3.1; 4.30； 5. ； 6. ； 7.； 8.（0，1）； 9.（，arctan）； 10. 或 11. 12.f -1(0)=a,且f -1 (x)x (xA)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0，a).二、DBCC三、17. 解法一如图,以点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有 设，则 因为 因为平面AOB 是OP与底面AOB所成的角解法二取中点E，连结
10、DE、BE，则 平面是BD在平面内的射影。又因为由三垂线定理的逆定理，得在矩形中，易得得（以下同解法一）POB=arctan.18. 解 设点C（x,y），则根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线由故点C的轨迹方程是由，得因为，所以直线与双曲线有两个交点。设、，则故19. 解 （1）当时 时，的值最小为； 当x = - 1 时，的值最大为 （2）函数图像的对称轴为。 在区间上是单调递增函数， 或，即 或因此，的取值范围是20. 解 （1）（2）设商品的标价为x元则，消费额：由已知得（I）或（II）不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为因此，当顾客购买标价在625，750元内的商品时，可得到不小于的优惠率。21. 解 （1）由，得故（2）由题意由得，即故（3），当时，当时，因此，96不是数列中的项。22. 解 （1） （2）性质不能推广。例如取x=；有意义，但无意义；性质能推广，它的推广形式是，m是正整数，事实上，当m = 1时，有当 时， =（3）当时，组合数Z 。当时，= 0Z 。 当时，