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1、4-4 4-4 麦克斯麦克斯韦韦速率分布律速率分布律 热力学系统中热力学系统中分子数量多分子数量多，分子速度的大小、分子速度的大小、方向方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有无千变万化，分子的速度分布、速率分布有无规律规律?单单个分子的速率无个分子的速率无规则规则，但从大量分子的，但从大量分子的整体来看，在平衡状整体来看，在平衡状态态下，分子的速率分布遵下，分子的速率分布遵循一定的循一定的统计规统计规律。律。例例伽尔顿板实验中伽尔顿板实验中,设粒子总数为设粒子总数为N，i为小槽为小槽的序号，的序号，Ni为落入第为落入第i个小槽的粒子数个小槽的粒子数每个槽内的钢球数与总数之比：每个槽内的钢球数
2、与总数之比：1）与狭槽的与狭槽的宽度宽度有关有关2）与狭槽的与狭槽的位置位置有关有关是位置的函数是位置的函数概率分布函数表示随概率分布函数表示随机变量机变量x处单位区间内处单位区间内的概率，所以概率分的概率，所以概率分布函数又称为布函数又称为概率密概率密度。度。称为称为概率分布函数概率分布函数一、一、速率分布函数速率分布函数 把速率分成很多相等的间隔把速率分成很多相等的间隔 +o 统计出每个统计出每个 间隔内的分子数间隔内的分子数 N +间隔内分子数与分子总数间隔内分子数与分子总数N之比之比某某 处单处单位速率位速率间间隔内分子数与隔内分子数与总总数之比数之比只与速率只与速率v有关，只是有关，
3、只是v 的函数。的函数。速率分布函数速率分布函数说明了理想气体分子速率大小的分布是说明了理想气体分子速率大小的分布是有规律有规律的的，这一结论由麦克斯韦，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明年用概率论证明.二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线表示分子速率在表示分子速率在vv+dv间隔内的分子数占总分子间隔内的分子数占总分子数的百分比。数的百分比。表示分子速率在表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。1）f(v)的意义的意义讨论讨论2）f(v)dv的意义的意义f(v)为速
4、率分布图上的一条为速率分布图上的一条竖线竖线 f(v)dv为速率分布图上的一个为速率分布图上的一个窄条面积窄条面积 面积面积面积面积是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率是速率分布曲线下的一个有限面积，表示速率在在v1v2范围内分子数与总分子数之比。范围内分子数与总分子数之比。4）的意义的意义是速率分布曲线下的总面积是速率分布曲线下的总面积.称为归一化条件称为归一化条件3）的意义的意义表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内的内的分子数。分子数。例例1表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。表示分布在单位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间
5、 内内的分子数。的分子数。三、气体的三种统计速率三、气体的三种统计速率速率分布函数速率分布函数 中的极大值对应的分子速率中的极大值对应的分子速率极值条件极值条件(1)最概然速率最概然速率:平衡态下的理想气体平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最在一定温度下分布在最概然速率概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子附近单位速率间隔内的相对分子数最多。数最多。气体分子速率的算术平均值。气体分子速率的算术平均值。(2)平均速率：平均速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。气体分子速率平方的平均值的平方根。(3)方均根速率：方均根速率：或由或由得出得出三种速率均与三种速率均与 成成正比正比,与与 成成反
6、比反比，但三者，但三者有一个确定的比例关系有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的三种速率使用于不同的场合。场合。三种速率比较三种速率比较vp-用于用于讨论讨论速率分布速率分布-用于用于计计算分子的平均平算分子的平均平动动动动能能-用于用于讨论讨论分子碰撞分子碰撞三种速率使用于不同的场合三种速率使用于不同的场合 地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但但很多很多H2分子和分子和He原子的方均根速率超过了地球表面原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球，故现今地球大气大气中已中已没有氢没有氢和氦和氦了。了。N2和和
7、O2分子的方均根速率只有逃逸速率的分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球故地球大气大气中有中有大量的氮气大量的氮气(占大气质量的占大气质量的76%)和和氧气氧气(占大气质量的占大气质量的23%)。温度越高，速率温度越高，速率大的分子数越多大的分子数越多同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率分子质量越小，速率大的分子数越多。大的分子数越多。例例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知如图所示，已知在曲线上标出温度在曲线上标出温度例例2 同一温
8、度下两种气体同一温度下两种气体 和和 的速率分布曲线如图所示，在曲线上标明气的速率分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。体。解：解：分子速率在最概然速率分子速率在最概然速率 vp附近附近dv 速率区间的速率区间的概率为概率为f(vp)dv，在方均根速率在方均根速率 附近附近 dv速率区间速率区间的概率为的概率为 。利用。利用v2p=2kT/m，麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布函数分布函数 f(v)可写为可写为 例例3 3 试求分子在最概然速率试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速附近与在方均根速率率 附近出现的概率之比。附近出现的概率之比。在上式中取在上式中取v=vp ,得得 取取 ，并注意到，并注意到 概率之比为概率之比为