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1、线性代数综合练习题线性代数综合练习题时间：时间：120120 分钟分钟一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）:1设 A 是三阶矩阵，将 A 的第一列与第二列交换得 B，再把 B 的第二列加到第三列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为（）。010010；（B）101；100（A）101001010011；（D）100。100（C）0110012设 A、B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（）。（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C）A 的行向量组线性相关，B 的行
2、向量组线性相关；（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。3下列向量集按 Rn的加法和数乘构成 R 上一个线性空间的是（）。（A）Rn中，坐标满足 x1+x2+xn=0 的所有向量；（B）Rn中，坐标是整数的所有向量；（C）Rn中，坐标满足 x1+x2+xn=1 的所有向量；（D）Rn中，坐标满足 x1=1，x2，xn可取任意实数的所有向量。14设=2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵（A2）-1有一个特征值等于3（）。4311（A）；（B）；（C）；（D）。34245任一个 n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。（A）合同；（B）相似；（C）等价；（D）以上都不对。二、填空题
3、（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）210，矩阵 B 满足：ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩1201设矩阵 A=001阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|=。1 x1112x3无解，则a=。23a22已知线性方程组2 21a x30第 1 页 共 7 页1a0213若 A=b0为正交矩阵，则a=，b=。20014设 A 为 n 阶矩阵，且|A|0，A*为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A有特征值，则（A*）2+E 必有特征值。5若二次型 f=2x12+x22+x32+2 x1x2+t x2x3是正定的，则 t 的取值范围是。三、三、（
4、1515 分）分）x2(1a)x12x1(2a)x2设有齐次线性方程组：3x13x24x14x2四、四、（1010 分）分）x32x3(3a)x3x42x43x4 0 0 0 04x3(4a)x4试问a取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。设 R3的两组基为：1(1,0,1)T,2(1,1,0)T,3(0,1,1)T和1(1,1,1)T,2(1,1,2)T,3(1,2,1)T，向量=（2，3，3）T（1）求基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵；（2）求关于这两组基的坐标。五、五、（1515 分）分）设三阶实对称矩阵 A 的特征值为1=-2，2=1（2 重），1=（1，1，1
5、）T是属于1=-2 的特征向量。试求：（1）属于2=1（2 重）的特征向量；（2）A 的伴随矩阵 A*。六、六、（1010 分）分）设二次型f x1 x2 x32ax1x22x1x32bx2x3 x1 y122通过正交变换x2 Py2化为：f y22y3，求a、b。xy33七、七、（1010 分）分）222已知 A，B 为 n 阶可逆方阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。并求出（A-2E）-1=？第 2 页 共 7 页八、八、（1010 分）分）设A为n阶矩阵，且r(A)n 1,A11 A22 Ann1，其中Aii是A中元素aii的代数余子式（
6、i=1，2，n）。试证：A的伴随矩阵A*的特征值是 0 和 1，并说明各个特征值的重数。第 3 页 共 7 页线性代数综合练习参考答案线性代数综合练习参考答案一、选择题：1（D）；2（A）；3（A）；4（B）；5C）；二、填空题：111|A|1；2-1；3，；4 1；5-2 t 29222111 1 a1 a22 a 2a22行三、解：A=33a33 a34444 a 4a111a00 B0a000a（1）当a=0 时，r(A)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+x4=0 由此得一基础解系为：y1(1,1,0,0)Ty2(1,0,1,0)T，故全部解为：X C1
7、y1C2y2C3y3y3(1,0,0,1)T（其中C1,C2,C3为任意常数）（7 分）1 a 2（2）当a0 时，B 3 4111a 10 2100 3010001 4000100010001当a=-10 时，r（A）=34，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：2x1x23x14x1 x3 x4 0 0，解之，可得一个基础解系为：0y=（1，2，3，4）T，故全部解为：X=ky（其中 k 为任意常数）（15 分）备注：此题也可另解|A|=（a+10）a3当|A|=0 时，即a=0 或a=-10 时，齐次线性方程组有无穷解。110111，C=（112011四、解：（1）记 B=（1,2
8、,3）=）=,123101121第 4 页 共 7 页11001021101111则有：011112 0100121011211001112从而，由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为：11021-1A=B C=（5分）0121112（2）设关于基1,2,3的坐标为（y1,y2,y3）即：y11 y22 y33 0y2y3y1y22y3由此可得：y1y 2y y231 2 3，解之得：y1 0,y21,y31，3故关于基1,2,3的坐标为（0，1，1），110012 x1 y1 1又x2 Ay2=01112 xy33112112即关于基1,2,3的坐标为（1，1，2）（10 分）五、解：（1
9、）设 A 的属于特征值2=1（2 重）的特征向量为（x1，x2，x3）T，则A 是实对称矩阵，1=0，1（x1，x2，x3）T与1正交，即有：（x1，x2，x3）1也即：x1+x2+x3=0，解之：2=（-1，1，0）T3=（-1，0，1）T第 5 页 共 7 页A 的属于2=1 的全部特征向量为：k12+k23（k1，k2不同时为 0）（5 分）（2）A*=|A|A-1A*的特征值为：|A|（-又|A|=-2A*的特征值为：1，-2（2 重）（10 分）1*A（1，2，3）=（1，2，3）2 2001（，）-10 20A*=（1，2，3）1230 2000111 1 0 21100=0 21
10、01 0111110101 11），|A|1（2 重）200111 1=110 020 02101 022111 20=30 2111 13331213331123331133 1312113333331123111111=（15 分）111六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：1a1000A a1b和B 0101b1002于是，A、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|E-A|=|E-B|（5分）第 6 页 共 7 页也即：3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比较上式等号两边的(a b)2 0各幂次项系数有：222a b 2a 0（10 分）b 0七、证明：2A-1B=B-4E左乘 A，得：2B=AB-4A（5 分）即：AB-2B-4A=0（A-2E）（B-4E）=8E故 A-2E 可逆，1且（A-2E）-1=（B-4E）（10 分）8八、证明：r（A）=n-1r（A*）=1（2 分）又齐次线性方程组（0E-A*）X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量，0 是 A*的特征值，其重数不小于n-1（5 分）另外，tr（A）=A11+A22+Ann*=1+2+n-1+n=1（8 分）故有：1 是 A*的单特征值；0 是 A*的 n-1 重特征值。（10 分）第 7 页 共 7 页