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1、线 性 代 数 综 合 练 习 题一、 填 空 题 1、设方程组有无穷多解，则a=（ ）。 2、设，则A的n个特征值为（ ）。3、设A=（ ）。4、设=A, B=( )。5、若方程组无解，则a=（ ）。6、设（ ）。7、设四阶方程A与B相似，A的特征值为（ ）。8、设（ ）。9、（ ）。10、设D=（ ），其中。11、向量组， 记 。12、设（ ）。13、设（）。14、设 （ ）。15、二次型的秩（ ）。二、 选 择 题1、 设n阶方阵A与B有相同的特征值，且都有n个线性无关的特征向量，则（ ）。(A)A =B (B) (C)A与B相似 (D)2、 设则（ ）。（A）; (B); (C); (
2、D)3、的根的个数为（ ）。 （A）1 (B)2 (C)3 (D)44、 设则（ ）。（A） ( B ) ( C ) ( D) 5、 设A、B为n阶方阵，且相似，则（ ）。 （A） (B) A与B有相同的特征值与特征向量 （C）A与B都相似于一个对角阵 （D）对任意常数t，tE-A与tE-B相似6、 设n维列向量线性无关，则n维列向量线性无关的充分必要条件是（ ）。 （A） (B)可由； （C）与等价；（D）矩阵A=（）与矩阵B=()等价。 7、设是四元解齐次线性方程组AX=B的三个解向量，则AX=B的通解为（ ），C为任意常数。 （A） (B) ; (C) ; (D) ; 8、A为n阶实矩阵
3、，方程组必有（ ）。 （A）的解是的解，的解也是的解； （B）的解是的解，但的解不是的解； （C）的解不是的解，的解也不是的解； （D）的解是的阶，但的解不是的解。 9、 设A、B分别为;则（ ）。 (A) r(C)=r(A) (B) r(C)=r(B) (C) 若r(A)=r(B)=r，则r(C)=r (D) r(C)不小于r(A)或r(B)10、若（ ）。 （A）0 (B)-12 (C)12 (D)111、设A是三阶方阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（ ）。 (A) (B) (C) (D) 12、设A、B为满足AB=0的任意两个非
4、零矩阵，则必有（ ）。（A） A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（B） A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；（C） A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（D） A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。13、设A与B等价，则必有（ ）。（A） 当时，（B） 当时，（C） 当时， （D）当时， 14、设的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系（ ）。（A） 不存在，（B）仅含一个非零解向量,(C) 含有两个线性无关的解向量, (D)含有三个线性无关的解向量三、 计 算 题1、 设有一特征值，属于的一个特征向量为，求及.2、 设（1） p为何值时，该向量
5、组线性无关？并在此时将向量用线性表示？（2） p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。3、 设，且，求.4、 设，问取何值时，存在可逆阵，使为对角阵？并求及相应的对角阵。5、 设，且.求.6、 设，求解方程.7、 设与 有相同的秩且可由线性表示，求.8、 设，.问当满足什么条件时，(1)可由唯一线性表示？(2)不能由线性表示？(3)可由线性表示，但表示不唯一？并求出一般表示式。9、 设，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆阵，使得为对角阵。10、 设有齐次线性方程组 ,试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。11、 设的特征方程有一个二重根，求
6、的值，并讨论是否可相似对角化。12、 ，, 试讨论当为何值时（1） 可由唯一线性表示，并求出表示式（2） 不能由线性表示？（3） 可由线性表示，但表示不唯一？并求出一般表示式。13、设矩阵(1)求的特征值和特征向量, (2)求可逆阵，使得为对角阵。14、设已知是方程组的一个 解，求(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)方程组满足的全部解.15、设三阶实对称阵的秩为2，是的二重特征值，若，都是的属于特征值6的特征向量(1) 求的另一特征值和对应的特征向量；(2) 求矩阵.四、 证 明 题 1、均为维列向量，为阶正定阵且有（1）（2）（3）与每一个正交，证明 2、设均为维列向量，且线性无关，与分别正交，(1) 试问，是否线性无关？(2) 证明你的结论 3、设为阶正定阵，证明：为正定阵的充分必要条件是. 4、设。证明当时，正定。 5、设，它的个行向量是某个元齐次方程组的一组基础解系，又为一阶可逆方阵，证明：的行向量组也构成该齐次线性方程组的一组基础解系。 6、设为n阶可逆的反对称矩阵，为n元列向量，证明：. 7、设为n阶反对称矩阵，为n元列向量，求证：，其中. 8、设为n阶方阵，证明：. 9、证明AB与BA有相同的特征值。. 10、设为n阶方阵，是的伴随矩阵且，证明存在数使.8