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1、平面向量的坐标运算共线的坐标表示修复平面向量的坐标运算共线的坐标表示修复的的不共线的平面向量不共线的平面向量 叫做这一平叫做这一平面内所有向量的一组基底面内所有向量的一组基底.向量的基底向量的基底:如果如果 是同一平面内的两个不共线是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向的向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1,2 使得使得平面向量基本定理平面向量基本定理:复习回顾复习回顾第1页/共24页向量的夹角向量的夹角:OAB两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ，,则则叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角夹角的范围：夹角的范围：与与 反向反向
2、OAB 与与 同向同向OAB记作记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的第2页/共24页平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图，是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。第3页/共24页平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量
3、的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？探究：探究：如何计算？如何计算？（1）已知）已知 =(x1,y1),=(x2,y2)，求求 +,.（2）已知）已知 =(x1,y1)和实数和实数 ，求求 的坐标的坐标.第4页/共24页向量的坐标运算第5页/共24页说明说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。坐标的积。第6页/共24页第7页/共24页例例1.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量求向量 的坐的坐标标.解：解：=(
4、x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)。说明：一个向量的坐标等于说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐向量终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标。第8页/共24页例例2.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段求线段AB中点的坐标。中点的坐标。解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的中点，则的中点，则 例例3得到的公式，得到的公式，叫做线段中点的叫做线段中点的坐标公式，简称坐标公式，简称中点公式。中点公式。第9页/共24页 例例3.已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，求顶点，求顶点D的坐
5、标。的坐标。解：解：=(2,1)+(3,4)(1,3)=(2,2)所以所以D点的坐标是点的坐标是(2,2).Oxy11D(x,y)C(3,4)A(-2,1)A(-1,3)第10页/共24页第11页/共24页练习练习1.设向量设向量a=(1,3)，b=(2,4)，c=(1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量向量d为为 .解：解：4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以所以d=6a4b+4c=(2,6).第12页/共24页2.设点设点P在平面上做匀速直线运动在平面上做匀速直线运动,速度向量速度向量
6、,设起始设起始P(10,10),则则5秒钟后点秒钟后点P的坐标为的坐标为().解：解：5秒种后，秒种后，P点坐标为点坐标为 (10,10)+5(4,3)=(10,5).第13页/共24页3.设设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足满足(1)为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限,求求的范围的范围.解解:(1)设设P(x,y)，则，则 (x2,y3)=(3,1)+(5,7),所以所以x=5+5，y=7+4.解得解得=(2)由已知由已知5+50,7+40,所以所以1.第14页/共24页课时小结课时小结:2 加、减法法则加、减法法则.a +b=
7、(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)3 向量数乘的运算法则向量数乘的运算法则.a=(xi+yj)=xi+yj=(x,y)4 向量坐标向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)1 向量坐标定义向量坐标定义.则=(x2-x1,y2 y1)a -b=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)第16页/共24页2.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示2.如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的等价条件的等价条件?会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论?1.向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的等价条件是有且的等价条件是有且 只有一个实数只有一个实数 ,使得使得设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0,则由则由 得得这就是说这就是说:的等价条件是的等价条件是 第17页/共24页3.向量平行向量平行(共线共线)等价条件的两种形式等价条件的两种形式:第18页/共24页1.已知已知2.已知已知 求证求证:A、B、C 三点共线。三点共线。举例举例第19页/共24页课本例课本例8第20页/共24页第21页/共24页第22页/共24页向量平行(共线)等价条件的两种形式 小结小结第23页/共24页