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1、平面向量基本定理: 一向量 a 有且只有一对实数 、 使21共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不1e2ea = + 2e211e示这一平面内所有向量的一组基底我们把不共线的向量 、 叫做表1e2e1平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？复习回顾复习回顾 AOBab则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 2.什么是向量的夹角什么是向量的夹角?)1800(OAa Bb注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的ba3.向
2、量的分解向量的分解121 12212,e eeee e 一个平面向量用一组基底表示成 的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。4.向量的坐标表示向量的坐标表示 在直角坐标系内，取两个坐标轴上的单位向量在直角坐标系内，取两个坐标轴上的单位向量 为一组基底，任作一个向量为一组基底，任作一个向量 ，由平面向量，由平面向量的基本定理得，有且只有一对实数的基本定理得，有且只有一对实数 x, y，使得使得 ，我们把，我们把(x,y)叫做向量叫做向量 的（直角）的（直角）坐标，记作坐标，记作 。式子。式子 叫做向量叫做向量 的坐标表示的坐标表示 与与 相等的向量的坐标也是相等的向量
3、的坐标也是 (x,y)j j, ,i ia aj jy yi ix xa aa ay y) )( (x x, ,a a y y) )( (x x, ,a a a aOxyaj ji iA(x, y)a注：注：向量坐标与点坐标关系向量坐标与点坐标关系),(yxOAa ),(yxA2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算结论结论1:两个向量和与差的坐标分别等于这两向量两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差相应坐标的和与差.1.已知已知 a ， b ，求，求a+b，a-b),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i + j
4、 ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB 1122y,xy,x ),(1212yyxx 结论结论2:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标的坐标减去始点的坐标 结论结论3:实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向实数与向量的积的坐标等
5、于这个实数乘原来的向量的相应坐标量的相应坐标),(yx a3.2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算例例1已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），），求求a+b， a-b，3a+4b的坐标的坐标解：解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例2 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、
6、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得，得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的坐标为（的坐标为（顶点顶点22DOyxABCD2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示2.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题问题:如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)?设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得),(11yxa ),(22yxb ba0,b22, yx01221yxyx .b
7、a,bba: 使使唯唯一一一一个个实实数数当当且且仅仅当当有有共共线线与与向向量量引引入入0 .bb,a,yxyx:共线共线向量向量时时当且仅当当且仅当结论结论0041221 注注: 向量平行向量平行(共线共线) 的两种形式的两种形式:2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba)例题分析例题分析: :1. 已知已知ybayba求且,/), 6(),2 , 4(2. 已知已知 求证求证: A、B、C 三点共线。三点共线。),5 ,2(),3 , 1(),1, 1(CBA3. 若向量若向量 与与 共线且共线且 方向相同方向相同, 求求 x .), 1(xa)2 ,( xb2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示