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1、弹塑性力学弹塑性力学 （土木工程学院硕士生学位课程）（土木工程学院硕士生学位课程）福州大学土木工程学院福州大学土木工程学院 卓卫东卓卫东 教授教授第三章 本构关系 本章学习要点：本章学习要点：u掌握各项同性材料的广义掌握各项同性材料的广义Hooke定律定律u掌握弹性应变能密度函数的概念及计算掌握弹性应变能密度函数的概念及计算u理理解解初初始始屈屈服服、后后继继屈屈服服以以及及加加卸卸载载的的概概念念u掌握几个常用的屈服条件掌握几个常用的屈服条件u理理解解弹弹塑塑性性材材料料的的增增量量和和全全量量本本构构关关系系的的基本概念基本概念2022/11/222第三章 本构关系 引言引言 平平衡衡关关
2、系系仅仅建建立立了了力力学学参参数数（应应力力、内内力力和和外外力力等等）之之间间的的联联系系，而而几几何何关关系系仅仅建建立立了了运运动动学学参参数数（位位移移、应应变变等等）之之间间的的联联系系，所所以以，平平衡衡关关系系与与几几何何关关系系是是完完全全相相互互独独立立的的，它它们们之之间间还还缺乏必要的联系。缺乏必要的联系。为为了了求求解解具具体体的的力力学学问问题题，还还必必须须引引进进一一些些关关系系式式，这这些些关关系系式式即即所所谓谓的的本本构构关关系系。本本构构关关系系反反映映可可变变形形体体材材料料的的固固有有特特性性，故故也也称称为为物物理理关关系系，它它实实际际上上是是一
3、一组组联联系系力力学学参参数数和和运运动动学学参参数数的的方程式，即所谓的本构方程。方程式，即所谓的本构方程。2022/11/223第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程一般线弹性体一般线弹性体 2022/11/224第三章 本构关系 一一、线线性性弹弹性性体体的的本本构构方方程程具具有有一一个个弹弹性性对对称称面面的的线线性弹性体性弹性体 2022/11/225第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程正交各向异性弹性体正交各向异性弹性体2022/11/226第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程正交各向异性弹性
4、体正交各向异性弹性体2022/11/227第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程横贯各向同性弹性体横贯各向同性弹性体2022/11/228第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程各向同性弹性体各向同性弹性体 由上式可见，在主应力空间里，各向同性弹性体独立的弹性由上式可见，在主应力空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有两个。其中，常数只有两个。其中，、分别分别称称为为Lam弹弹性常数性常数。2022/11/229第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程各向同性弹性体各向同性弹性体 在任意的坐标系里，各向同性弹性体的
5、本构方程在任意的坐标系里，各向同性弹性体的本构方程可以表示为如下的一般形式：可以表示为如下的一般形式：2022/11/2210第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程各向同性弹性体各向同性弹性体2022/11/2211第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程一、线性弹性体的本构方程各向同性弹性体各向同性弹性体2022/11/2212第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数 弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据势能也要产生变化。根据热力学第一定律热力学第一定
6、律，有，有 假设弹性体在外力作用下的变形过程是所谓谓的准静态加载假设弹性体在外力作用下的变形过程是所谓谓的准静态加载过程，而且假设弹性体的变形过程是绝热的，则有过程，而且假设弹性体的变形过程是绝热的，则有可见可见，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为之为弹性变形能弹性变形能或或弹性应变能弹性应变能。2022/11/2213第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数2022/11/2214第三章
7、本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数2022/11/2215第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数定义定义 2022/11/2216第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数 这这就就证证明明了了各各向向异异性性弹弹性性体体独独立立的的弹弹性性常常数数只只有有21个个。以以上上我我们们讨讨论论的的是是弹弹性性体体的的准准静静态态加加载载过过程程，如如果果弹弹性性体体在在外外力力作作用用下下处处于于运运动动状状态态，同同样样可可以以证证明明，弹弹性性应应变变能能密密度度函函数数仍仍具有式（具有式（3-39）所表示的形式。）所表示的形式
8、。2022/11/2217第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数2022/11/2218第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数2022/11/2219第三章 本构关系 二、弹性应变能密度函数二、弹性应变能密度函数2022/11/2220第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件基本概念基本概念常常温温静静载载下下典典型型一一维维应应力力-应应变曲线变曲线 2022/11/2221第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件基本概念基本概念应力应力 应力应力 屈服应力的定义屈服应力的定义 2022/11/2222第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服
9、条件基本概念基本概念应力和应变之间不存在弹性阶段那样的单值关系应力和应变之间不存在弹性阶段那样的单值关系（进入塑性阶段后）（进入塑性阶段后）2022/11/2223第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件屈服函数与屈服曲面屈服函数与屈服曲面 简单应力状态下：简单应力状态下：复杂应力状态下：复杂应力状态下：2022/11/2224第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件屈服函数与屈服曲面屈服函数与屈服曲面 两个基本假定：两个基本假定：（1）材料是初始各向同性的。）材料是初始各向同性的。（2）平均应力（静水应力）不影响塑性状态。）平均应力（静水应力）不影响塑性状态。2022/11/2225第三
10、章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件屈服函数与屈服曲面屈服函数与屈服曲面 主应力空间中的屈服曲面主应力空间中的屈服曲面2022/11/2226第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件屈服函数与屈服曲面屈服函数与屈服曲面 平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线2022/11/2227第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 1、Tresca屈服条件（屈服条件（1864年提出）年提出）在三个主应力的大小未知时：在三个主应力的大小未知时：2022/11/2228第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 1、Tresca屈服条件（屈服条件（1864年提
11、出）年提出）在三个主应力的大小未知时：在三个主应力的大小未知时：以上表达式太复杂了，在一般情况下都不使用！以上表达式太复杂了，在一般情况下都不使用！2022/11/2229第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 1、Tresca屈服条件（屈服条件（1864年提出年提出）2022/11/2230第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 1、Tresca屈服条件（屈服条件（1864年提出）年提出）（a）平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线 （b）平面应力状态下的屈服曲线）平面应力状态下的屈服曲线2022/11/2231第三章 本构关系 三、屈服条件
12、三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 2、Mises屈服条件（屈服条件（1913年提出）年提出）2022/11/2232第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 2、Mises屈服条件（屈服条件（1913年提出）年提出）（a）平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线 （b）平面应力状态下的屈服曲线）平面应力状态下的屈服曲线2022/11/2233第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 2022/11/2234第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 3、Mohr-Coulomb屈服条件（屈服条件（1900年提出）年提出）2
13、022/11/2235第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 3、Mohr-Coulomb屈服条件（屈服条件（1900年提出）年提出）设设主主应应力的大小次序力的大小次序为为 2022/11/2236第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 3、Mohr-Coulomb屈服条件（屈服条件（1900年提出）年提出）2022/11/2237第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 Mohr-Coulomb不不 等等 边边六六边边形形随随静静水水应应力力的的变变化化2022/11/2238第三章 本构关系 三、屈服条件三
14、、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 4、Drucker-Prager屈服条件屈服条件（1952年提出）年提出）2022/11/2239第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 2022/11/2240第三章 本构关系 三、屈服条件三、屈服条件常用常用屈服条件屈服条件 2022/11/2241第三章 本构关系 四、加载条件四、加载条件加载函数加载函数 在复杂应力状态下，确定材料在复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态后继弹性状态的界限的准则称为的界限的准则称为后继屈服条件后继屈服条件，又称为，又称为加载条件加载条件。一般情况下，加载条件可以表示。一般情况下，加载条件可以表
15、示为如下的函数形式：为如下的函数形式：2022/11/2242第三章 本构关系 四、加载条件四、加载条件 等向强化模型等向强化模型2022/11/2243第三章 本构关系 四、加载条件四、加载条件 随动强化模型随动强化模型2022/11/2244第三章 本构关系 四、加载和卸载准则四、加载和卸载准则理想塑性材料理想塑性材料（弹性状态）（弹性状态）加载加载 卸载卸载 2022/11/2245第三章 本构关系 四、加载和卸载准则四、加载和卸载准则强化材料强化材料（弹性状态）（弹性状态）加载加载 卸载卸载 中性变载中性变载 2022/11/2246第三章 本构关系 四、加载和卸载准则四、加载和卸载准
16、则强化材料强化材料(a)理想塑性材料理想塑性材料 (b)强化材料强化材料加载和卸载准则加载和卸载准则2022/11/2247第三章 本构关系 五、五、Drucker公设公设 定义：定义：如如果果某某一一种种材材料料，当当应应力力的的单单调调变变化化会会引引起起应应变变同同号号的的单单调调变变化化，或或者者当当应应变变的的单单调调变变化化会会引引起起应应力力同同号号的的单单调调变变化化，就就称称这这种种材料为材料为稳定材料稳定材料或或强化材料强化材料；否则称为；否则称为不稳定材料不稳定材料或或软化材料软化材料。2022/11/2248第三章 本构关系 五、五、Drucker公设（公设（1950年
17、提出）年提出）设设在在外外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的材材料料单单元元体体上上，施施加加某某种种附附加加外外力力，使使单单元元体体的的应应力力加加载载，然然后后移移去去附附加加外外力力，使使单单元元体体的的应应力力卸卸载载到到原原来来的的应应力力状状态态。如如果果材材料满足下面的两个条件：料满足下面的两个条件：在加载过程中，附加应力所做的功恒为正；在加载过程中，附加应力所做的功恒为正；在在整整个个加加载载和和卸卸载载的的循循环环过过程程中中，附附加加应应力力所所做做的功不小于零的功不小于零。则称这种材料为则称这种材料为强化材料强化材料。2022/11/2249第三章 本构关系
18、五、五、Drucker公设公设 利用利用Drucker公设考察的一个应力循环过程公设考察的一个应力循环过程2022/11/2250第三章 本构关系 五、五、Drucker公设公设(a)加载面是外凸的加载面是外凸的 (b)加载面不是外凸的加载面不是外凸的强化材料加载面外凸性的证明强化材料加载面外凸性的证明2022/11/2251第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系增量理论增量理论 1、Levy-Mises理论（理论（1871年）年）2022/11/2252第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系增量理论增量理论 2、Prandtl-Reuss理论（理论（1924年）年）2
19、022/11/2253第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系增量理论增量理论 3、塑性势理论（、塑性势理论（1928年）年）Von Mises类类比比弹弹性性势势函函数数的的上上述述概概念念，于于1928年年提提出出了了塑塑性性势势理理论论。他他假假定定在在塑塑性性状状态态下下可可引引进进一一个个塑塑性性势势函函数数g，由由于于塑塑性性变变形形的的特特点点，函函数数g不不仅仅与与应应力力状状态态有有关关，而而且且还还与与加加载载历历史史有有关关，因此它表示为因此它表示为2022/11/2254第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系增量理论增量理论 3、塑性势理论、塑性势
20、理论：与与Mises屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则 2022/11/2255第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系增量理论增量理论 3、塑性势理论：、塑性势理论：与与Tresca屈服条件相关连的流动法则屈服条件相关连的流动法则 2022/11/2256第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系增量理论增量理论 (a)Mises屈服条件屈服条件 (b)Tresca屈服条件屈服条件塑性应变增量矢量方向塑性应变增量矢量方向2022/11/2257第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系全量理论全量理论 1、依留申理论、依留申理论（1943年）年）强化材
21、料满足的全强化材料满足的全量本构方程量本构方程 2022/11/2258第三章 本构关系 六、塑性本构关系六、塑性本构关系全量理论全量理论 2、简单加载定理、简单加载定理 简简单单加加载载（或或比比例例加加载载）定定义义为为：在在加加载载过过程程中中，固固体体内内任任一一点点的的应应力力张张量量各各分分量量都都按按比比例例增增长长。按按照照这这个个定定义义，在在简简单单加加载载时时，固固体体内内同同一一点点的的各各应应力力分分量量之之间间的的比比值值保保持持不不变变，按按同同一一参参数数单单调调增长增长，用数学形式可表示为用数学形式可表示为 2022/11/2259第三章 本构关系 六、塑性本
22、构关系六、塑性本构关系全量理论全量理论 2、简单加载定理、简单加载定理 依依留留申申指指出出，只只要要满满足足下下列列四四个个条条件件，固固体体内内各各点点均均处处于于简简单单加载过程：加载过程：小变形；小变形；荷荷载载按按比比例例单单调调增增加加，如如有有位位移移边边界界条条件件，则则只只能能是是零零位位移移边界条件；边界条件；材料是不可压缩的，即泊松比材料是不可压缩的，即泊松比=1/2；应力强度与应变强度之间存在幂函数的关系。应力强度与应变强度之间存在幂函数的关系。这就是这就是简单加载定理简单加载定理。2022/11/2260第三章 本构关系 附录附录3B 屈服条件的几何解释屈服条件的几何解释 应力主轴基矢量在平面上的投影长度应力主轴基矢量在平面上的投影长度2022/11/2261第三章 本构关系 附录附录3B 屈服条件的几何解释屈服条件的几何解释 2022/11/2262