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1、高等数学下（高等数学下（B）复习课）复习课2012-5-18第一部分第一部分第一部分第一部分 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学考点概览：1、二元函数（定义域、函数关系）2、二元函数偏导数3、二元函数的全微分求法4、二元函数的二阶偏导数5、二元函数的全微分6、多元复合函数的求导法则7、隐函数的偏导数和全微分8、几个重要关系 9、二元函数极值（1 1）定义域）定义域例例1 1：（2）函数关系）函数关系例例2 2：解：直接代入法解：直接代入法（2）函数关系）函数关系例例3 3：解：解：解解练习练习1：7（2）函数关系）函数关系练习练习2 2：解：换元法解：换元法82、二元函数
2、的偏导数二元函数的偏导数3、二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法附：一元函数的求导公式（须熟记）：附：一元函数的求导公式（须熟记）：小结：小结：函数表达式比较复杂，求具体点的偏导数，函数表达式比较复杂，求具体点的偏导数，化成一元函数的求导化成一元函数的求导.例例例例例例求偏导函数求偏导函数4、二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数例例5、二元函数的全微分二元函数的全微分例例例例6、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则回忆：一元复合函数的求导法则回忆：一元复合函数的求导法则链式法则链式法则推广推广?变量树图变量树图uv解解例例解解例例uv练习：练习：练习：练习：答案：答案：答案
3、：答案：7、隐函数的偏导数和全微分、隐函数的偏导数和全微分-解：解：例例8、几个重要关系、几个重要关系偏导数存在偏导数存在9、二元函数极值、二元函数极值的某邻域内连续的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)有极值有极值,有极大值有极大值,有极小值有极小值;(2)没有极值没有极值;(3)可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:第一步第一步解方程组解方程组求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值第
4、三步第三步 定出定出的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.例例 求函数求函数的极值。的极值。解解求解方程组：求解方程组：得驻点得驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点第二部分第二部分第二部分第二部分 二重积分二重积分二重积分二重积分考点概览：1、二重积分的概念几何意义2、二重积分的简单性质3、二重积分的定限4、直角坐标系下交换积分次序5、在直角坐标系下计算二重积分6、在极坐标系下计算二重积分曲顶柱体体积曲顶柱体体积=引例曲顶柱体的体积引例曲顶柱体的体积D曲顶柱体曲顶柱体 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为
5、准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在D上连续上连续).1 1 1 1、二重积分的概念及几何意义、二重积分的概念及几何意义、二重积分的概念及几何意义、二重积分的概念及几何意义二重积分的几何意义二重积分的几何意义性质性质 线性线性(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)2.二重积分的性质二重积分的性质性质性质2对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.性质性质3 若若 为为D的面积的面积 例：设例：设D由直线由直线 解：解：练习：练习：P4 四、四、2设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为
6、偶函数函数.oxyD1性质性质4 4则则D1为为D在第在第 一象一象限中的部分限中的部分,坐标坐标y为奇函数为奇函数则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,设设D为圆域为圆域(如图如图)00D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域 练习：练习：P4 四、四、3，4性质性质5(5(比较性质比较性质)设设
7、 则则C 例：比较例：比较的大小的大小,则则()练习：练习：P5 四、四、6，7(1)积分区域积分区域为：为：其中函数其中函数 X型型在区间在区间 上连续上连续.3.利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分.(2)积分区域积分区域为：为：Y型型先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.练习：熟练掌握练习册上相应习题练习：熟练掌握练习册上相应习题在直角坐标系下计算二重积分（在直角坐标系下计算二重积分（1个解答题）个解答题）注：注：4.交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤
8、 (1)将已给的二次积分的积分限得出相将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;例例 交换积分次序：交换积分次序：解解原式原式=练练例例4、利用极坐标系计算二重积分、利用极坐标系计算二重积分极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素（1）极坐标系下的积分定限）极坐标系下的积分定限53（2）极坐标系下计算二重积分）极坐标系下计算二重积分例例第三部分第三部分第三部分第三部分 微分方程微分方程微分方程微分方程考点概览：考点概览：1、微分方程的基本概念、微分方程的基本概念 阶数（判断题
9、）；会判断三种一阶方程的类型（判断阶数（判断题）；会判断三种一阶方程的类型（判断题，选择题）题，选择题）2、求简单微分方程的通解、特解或积分曲线、求简单微分方程的通解、特解或积分曲线（选择、填空题）（选择、填空题）3、会求解可分离变量方程和一阶线性方程、会求解可分离变量方程和一阶线性方程 （2个解答题：个解答题：2个可分离变量方程或个可分离变量方程或1个可分离变量个可分离变量方程方程1个一阶线性方程）个一阶线性方程）1、微分方程的基本概念、微分方程的基本概念如如未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数方程中所出现的导数(或微分或微分)的最高阶数称的最高阶数称微分方
10、程微分方程:常微分方程常微分方程(ODE);(ODE);微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶一阶一阶二阶二阶代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数微分方程的解微分方程的解:微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)通解通解 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程通解通解特解特解通常通常 用来确定任意常数的条件为：用来确定任意常数的条件为：初值条件初值条件解的图象解的图象通解的图象通解的图象微
11、分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线;一阶一阶几何意义几何意义例例2、一阶微分方程、一阶微分方程考点：辨别三类一阶微分方程 可分离变量的方程可分离变量的方程或或如果可以写成如下形式如果可以写成如下形式或或（1）可分离变量方程一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为如如线性的线性的;齐次齐次的的;非齐次非齐次的的.一阶一阶（2）一阶线性微分方程）一阶线性微分方程非线性的非线性的;（3）齐次方程）齐次方程如果一阶微分方程可以写成如下形式如果一阶微分方程可以写成如下形式齐次方程齐次方程.则称之为则称之为微分方程微分方程是是变变量可分离微分方程量可分离微分方程.【答案：正确答案：正确】3、三类一阶微分方程的解法、三类一阶微分方程的解法解微分方程：解微分方程：