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1、(一）函数一）函数 利用已知条件，求函数的表达式利用已知条件，求函数的表达式第一讲：第一讲：函数、极限和连续函数、极限和连续例例1（04040404年江苏省竞赛题年江苏省竞赛题年江苏省竞赛题年江苏省竞赛题）简答简答因奇函数，则当因奇函数，则当 时，时，因周期函数，则当因周期函数，则当 时，时，设函数设函数在在上有定义，在区间上有定义，在区间上，上，若对任意的，若对任意的都满足都满足，（1）写出写出在在表达式；表达式；在在 处，处，是否可导？是否可导？（2）判断判断上的上的练习题练习题（94949494年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题）简答简答例例2（91919191年北
2、京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题）设设 是可是可导导的函数，的函数，对对于任意于任意实实数数，有，有，且 ，求求的表达式。的表达式。求求满满足方程足方程的的表达式，其中表达式，其中，为为任意任意实实数，且已知数，且已知。简答简答课下练习课下练习（2010年校竞赛年校竞赛）例例3设设，求求，。，简答简答 函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性单调性判断函数在内有界：常利用在内连续，且，存在，则有界。有界性有界性例例4A A奇偶性奇偶性单调性单调性周期性周期性(二）极限二）极限 补充重要的结论补充重要的结论例例5（0606考研
3、考研）提示提示 求极限的几种重要方法求极限的几种重要方法1 1、利用四则运算法则、利用四则运算法则例例6（9898北京市竞赛题，北京市竞赛题，1010天津市竞赛题天津市竞赛题）提示提示练习练习（9393南京大学竞赛题南京大学竞赛题）提示提示思考题思考题（98江苏省竞赛题）江苏省竞赛题）答案答案 1例例7（00北京市竞赛题）北京市竞赛题）2、利用两个重要极限公式、利用两个重要极限公式例例例例8 8例例9（0202考研考研）设设常数常数，则则_简答简答简答简答例例10 （0909年全国竞赛题）年全国竞赛题），其中是给定的正整数。简答简答思考题思考题（95南京大学竞赛题）南京大学竞赛题）答案答案 e
4、23、利用等价无穷小代换简化计算、利用等价无穷小代换简化计算例例例例1111简答简答常用的等价无穷小常用的等价无穷小注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换例例1212 （国外高校竞赛题国外高校竞赛题）简答简答 （04年考研题年考研题）例例1313简答简答4、利用洛必达法则、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换等价无穷小代换（3）求极限的式子中，含有极限存在且不为求极限的式子中，含有极限存在且不为0的因式，应用的因式，应用极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外（1 1）先考虑
5、对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑结合（结合（2）和）和（3）应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算思考题思考题答案答案 e2例例15（0808考研考研）求极限求极限例例14(9797考研考研)求极限求极限简答简答简答简答5、利用夹逼准则、利用夹逼准则例例16：设设 为为正数，求正数，求思考题：思考题：1.设设 则则 (08(08考研）考研）答案：答案：1 1简答简答6、利用单调有界准则、利用单调有界准则例例18：（：（0606年考研题年考研题）设设数列数列 满满足足（1）证明
6、：）证明：存在，并求该极限；存在，并求该极限；（2）计算）计算（1 1）用归纳法证明单调下降且有下界）用归纳法证明单调下降且有下界（2 2）用重要极限和洛必达法则）用重要极限和洛必达法则提示提示证明极限存在并求极限证明极限存在并求极限，.例例17:例例20（04天津市竞赛）天津市竞赛）练习：（练习：（1010天津市试题天津市试题）设设，证明：，证明：存在并求其值。存在并求其值。例例19（00北京市竞赛题）北京市竞赛题）练习题练习题：（8888北京市竞赛题北京市竞赛题）设求证存在，并求其值7、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限 例例21：（0808江苏省竞赛题江苏省竞赛题）设求证存在，并
7、求其值8、利用泰勒公式、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）（复习公式及展到哪一项的确定）练习：练习：思考思考题题：（：（国外高校竞赛题国外高校竞赛题）特点：特点：用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用关键：关键：展开到含展开到含xn项，或者不相互抵消的那一项止项，或者不相互抵消的那一项止要熟记常用的展开式要熟记常用的展开式例例23：例例22(10年天津市)9、利用中值定理、利用中值定理例例24：练习题练习题：思考思考题题：例例25：答案答案 2答案答案 ln210、利用导数的定义、利用导数的定义 例例27（9696南京大学竞赛题南京大学竞赛题）例例
8、26：11、利用连续的定义、利用连续的定义练习题练习题 设设在点在点处连续处连续，且，且，求，求。答案答案 212、利用定积分的定义、利用定积分的定义（略讲）（略讲）例例28：求求练习练习：求求例例29：求求练习练习：求求 （09天津市竞赛）天津市竞赛）14、利用函数极限与数列极限的关系求极限、利用函数极限与数列极限的关系求极限练习题练习题：（9999年北京市竞赛年北京市竞赛）例例31：求求15、利用左、右极限、利用左、右极限练习题练习题例例32 (08江江苏苏省省竞赛题竞赛题)13、利用定积分性质和积分中值定理、利用定积分性质和积分中值定理（略讲）（略讲）例例30：（：（9393北京市竞赛北
9、京市竞赛）练习题练习题（0000北京市竞赛北京市竞赛）_16、要注意变量代换的应用、要注意变量代换的应用17、利用级数收敛的必要条件（、利用级数收敛的必要条件（11章）（略）章）（略）无穷小阶的比较无穷小阶的比较例例33：（：（0101考研考研）设设当当时时，是比是比高高阶阶无无穷穷小，而小，而是比是比高高阶阶的无的无穷穷小，小，则则正整数正整数等于（等于（）例例34（0808江苏省竞赛题江苏省竞赛题）思考思考题题（0303天津市竞赛题天津市竞赛题）D D已知极限，来确定未知的东西已知极限，来确定未知的东西例例35：（：（0808考研考研）已知已知连续连续，且，且，则则_例例36：（：（060
10、6考研考研）试试确定确定值值，使得，使得其中其中是当是当时时，比，比高高阶阶的无的无穷穷小。小。例例37：（：（0101考研考研）已知已知在在内可内可导导，且，且，求，求的的值值。答案答案 2答案答案 1/2设,若 则a,b的值.（11天津）天津）-2,-4例例38：（：（9494考研考研），其中，其中，则则必有（必有（）例例39：设设在在的某的某邻邻域内二域内二阶阶可可导导，且，且求求，及及D D设设是是连续连续函数，且函数，且，则则.1111天津市竞赛题天津市竞赛题思考题：思考题：(三）连续三）连续 判定函数在一点的连续性判定函数在一点的连续性例例40：（：（03考研）考研）设函数设函数问
11、：问：a为何值时，为何值时，在在 处连续，处连续，a为何值时，为何值时，是是 的可去间断点。的可去间断点。例例41：设设 连续，求连续，求a,b.函数的间断点及其类型函数的间断点及其类型（找的方法及类型的判别）（找的方法及类型的判别）第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点.例例43：（：（0101考研考研）求极限求极限 ，记此极，记此极限为限为 ，求函数，求函数 的间断点并指出其类型。的间断点并指出其类型。例例44：（：（0707考研考研）函数函数 在在 上上第一类间断点是第一类间断点是x=()(A)0 (B)1 (C)(D)例例42 关于闭区间上连续函数的性质的证明题关于闭区间上连续函数的性质的证明题（放到中值定理部分）（放到中值定理部分）