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1、五.求导数举例习题课一.例题分析三.答案常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容常见函数展开式常见函数展开式1.1.思考练习题一思考练习题一4.4.5.5.61.1.解解思考练习题一解答思考练习题一解答根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散解解根据比
2、较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛解解从而有从而有原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散.解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛.解解两边逐项积分两边逐项积分4.4.解解5.5.解解6.解解例例1一、例题分析一、例题分析例例2 设设证证某邻域内的一阶某邻域内的一阶Taylor展开式为：展开式为：例例3 试讨论级数试讨论级数的收敛性。的收敛性。解解由莱布尼兹准则可知交错级数（由莱布尼兹准则可知交错级数（1）是收敛的；）是收敛的；其中其中是发散
3、的；是发散的；也是发散的，若不然，由（也是发散的，若不然，由（3）收敛及收敛及收敛）收敛及收敛及收敛的性质可知，级数的性质可知，级数是收敛的，从而级数是收敛的，从而级数且由正项级数且由正项级数比较审敛法的极限形式知，比较审敛法的极限形式知，也发散，与所设矛盾。也发散，与所设矛盾。所以收敛半径为所以收敛半径为3。原级数在点原级数在点处发散；处发散；所以该幂级数的收敛域为所以该幂级数的收敛域为-3，3）。）。因为因为二、目标测试题二、目标测试题（一）判别下列级数的敛散性，若不是正项级数，则（一）判别下列级数的敛散性，若不是正项级数，则指明是绝对收敛还是条件收敛？指明是绝对收敛还是条件收敛？三、测试题答案三、测试题答案（三）（三）1.利用极限存在准则利用极限存在准则 证明；证明；2.利用正项级数比较判别法证明利用正项级数比较判别法证明.