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1、绪论一、本课程在测绘科学与技术中的作用与地位一、本课程在测绘科学与技术中的作用与地位二、测量误差与测量平差二、测量误差与测量平差v误差与测量误差v测量误差的来源v测量误差的分类v测量误差与多余观测带来的问题v测量平差的诞生三、本课程的体系结构三、本课程的体系结构v误差理论v平差方法四、测量平差的目的和意义四、测量平差的目的和意义第四讲平差数学模型与最小二乘原理一、概述误差理论：研究观测值与观测误差的随机特性、分布情况、数字特征、误差的传播规律。用一个公式表示即（1）（2）测量平差：就是按一定的平差原则处理一个几何物理关系模型中由于观测误差引起的不闭合问题，估计关系模型中观测值和未知量的值，评价
2、它们的精度平差原则和任务平差原则和任务平差的原则平差的原则：估计的无偏性、有效性、一致性；最大概率原则；最小二乘法则。平平差差的的任任务务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验，按一定的准则最小二乘原理，求出数学模型中待定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。第四讲平差数学模型与最小二乘原理第四章平差数学模型与最小二乘原理处理方法：建立平差问题的几何物理关系模型（函数模型）建立观测值的随机模型（先验方差）应用最小二乘原理第四讲平差数学模型与最小二乘原理根据函数模型给出的方式不同，平差方法分为四个基本类型条件平差r个条件（r个多余观测r=n-t）间接平差引入t个未知数（独立）附有参数的条件
3、平差引入u个未知数产生r+u个条件附有限制条件的间接平差选定ut个未知数，u个未知数产生u-t个条件第四讲平差数学模型与最小二乘原理二、参数点估计与平差原则 观测量的统计性质 数理统计学：运用概率的基本观点，对研究对象的客观规律性作出合理的估计和推断。母体：在测量工作中，某项观测所有可能取得的观测值的全体。子样：某观测组的几个观测值。第四讲平差数学模型与最小二乘原理参数估计：对平差模型中未知数及其方差、协方差的估计函数模型rn个未知量如何确定，只有对平差数学模型附加某种约束，才可获得唯一解，于是提出一个准则-最小二乘原理第四讲平差数学模型与最小二乘原理 参数估计分类：平差的实质是对随机变量（观
4、测量）的估值问题。第四讲平差数学模型与最小二乘原理参数估计的最优性质例对一个两进行同性质独立的几次观测，我们用作为这个量的真值的估值例三角形闭合差问题把作为的真值估计用观测值来估计参数的真值的国策怀念感叫参数估计，参数估计有多种方法，如何取得最佳估值是测量平差追求的目标。第四讲平差数学模型与最小二乘原理参数估计的优劣进行评价是按以下三个方面来进行的(1)无无偏偏性性：设为参数的估计量，若，则为的无偏估计。第四讲平差数学模型与最小二乘原理 (2)一致性：一致性：为任意小正数。严格致性：第四讲平差数学模型与最小二乘原理有效性：有效性：若 的无偏估计量不唯一，若 则 比 有效，若 则 为 的最有效估
5、计量称为最优无偏估计量 在测量平差中，参数的最佳估值要求是最优无偏估计量 最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计，因为他们的估计原则是使 的估计量V第四讲平差数学模型与最小二乘原理二、参数估计方法二、参数估计方法（1）矩矩法法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样函数的估计。子样均值是母体数学期望的最优无偏估计，它是子样的一阶原点矩。矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。第四讲平差数学模型与最小二乘原理（2）最最大大似似然然法法：使子样出现的概率为最大时的未知参数估计方法。设母体的分布函数为f（x;），为未知参数，对抽 得 到 的 子 样 为（x1，x2，xn），则 落 在 i（1
6、in）邻域dx上的概率为f（xi;）dx，因子样观测值互相独立，所以子样观测值同时出现的概率为第四讲平差数学模型与最小二乘原理(dx)n对于不同的为常量，要使P最大，则需可以得到的最大似然估值。最大似然法的特点是，估计时必须知道母体的分布类型，确定f（）。第四讲平差数学模型与最小二乘原理（3）最小二乘原理）最小二乘原理：可以从两个方面来说明这样的估计值是最优估计值最小二乘法：观测值对于估计值偏离量的平方和最小，用作为的估计极大似然值：观测值应使L的联合密度函数取极大值第四讲平差数学模型与最小二乘原理最小二乘法：最小二乘法：有物理模型（位置时间模型）Y表示匀速运动质点在时刻的位置，为其速度y=+
7、即在时刻有一组观测值（i=1,2,n)现在要对进行估计是最佳拟合观测点。按照最小二乘原理的要求，就是应使观测点到拟合直线的平方和达到最小第四讲平差数学模型与最小二乘原理所谓最小二乘原理，即是要在满足条件下求解估值上式也可写成第四讲平差数学模型与最小二乘原理最小二乘法的特点：只要是线性关系（或可线性化）的参数估计问题；则不论观测列的分布如何，均可按最小二乘法进行参数的估计，它是一种可以不考虑任何统计特性的估计方法。这是与最大似然法所不同的。第四讲平差数学模型与最小二乘原理极大似然法作为的估值，它是L的一切可能取值中选出的使样本观测值L出现概率为最大的值（当然L在的概率是最大的）即第四讲平差方法条
8、件平差一、基本概念一、基本概念1、必要观测为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数，称为必要观测。2、多余观测实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测。3、闭合差举例说明4、条件平差及其目的第四讲平差方法条件平差二、条件平差原理二、条件平差原理条件平差：以条件方程的形式来建立函数模型，根据最小二乘原理解一组条件方程的极值问题（拉格朗日乘数法）从而获取观测量的最佳估值的平差方法在平差问题中，有n个观测值L，其协方差阵为，由于存在r=n-t个多余观测，就使存在r个限制（也就是必须满足平差问题的r个几何关系）我们要求的估值应有r个条件，由此组成条件方程组。r个条件方程现在要求（的估值）第
9、四讲平差方法条件平差原理：1、条件方程：在一个平差问题中，由于存在r个多余观测，使得n个之间存在的r个几何物理关系模型多一个L就需多一个，就多一个限制条件（几何关系）令（即在L的基础上加改正数获得平差值）第四讲平差方法条件平差r个条件不能直接求取n个平差值2、利用最小二乘原理可以确定的最优估值，这就是求条件极值问题的极值（引入系数K）求偏导得极值点（利用）第四讲平差方法条件平差3、将V代入条件方程AV+W=0得4、5、第四讲平差方法条件平差于是的最优估值即得此时既符合最小二乘原理，又满足几何关系（条件方程）观测量的平差值，观测量的估值，最或是值，最优估值解题步骤：列出r个条件方程AV+W=0组
10、成法方程解法方程，求系数K求改正数第四讲平差方法条件平差（续）举例举例 水准网如右图：观测值及其权阵如下：第四讲平差方法条件平差（续）误差方程法方程法方程的解第四讲平差方法条件平差（续）按（5）求改正数V：求观测值的平差值：检核：第四讲平差方法条件平差（续）四、条件平差的求解步骤四、条件平差的求解步骤（1）根据具体问题列条件方程（1）式；（2）组成法方程（4）式；（3）解法方程；（4）按（5）式求改正数V；（5）求观测值的平差值；（6）检核。第四讲平差方法条件平差（续）五、条件方程的列立五、条件方程的列立在平差问题中，n个观测值中存在r个多余观测，使平差值应满足r条件方程，这r个条件方程应是线
11、性无关的，即每个条件均是独立的条件。若列出的条件方程可由这r个线性无关的条件方程作线性组合，也就是说其中有一个条件方程可由其余的条件方程运算得到，则这个条件方程实际上是无效条件，平差过程将无法进行（方程数不够）。第四讲平差方法条件平差（续）以上条件方程实际只有2个有效的条件方程，2个线性无关的条件方程，因此，条件方程的建立，一定要找出r个线性无关的条件。为此，应从图形的n个单元分别建立，并考虑条件方程的形式而使易于立列。第四讲平差方法条件平差（续）列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简水准网的条件方程1、水准网的分类及水准网的基准、水准网的分类及水准网的基准有已知点和无已知点两类。要确
12、定各点的高程，需要1个高程基准。2、水准网中必要观测数、水准网中必要观测数t的确定的确定（保证足数）有已知点：t等于待定点的个数无已知点：t等于总点数减一3、水准网中条件方程的分类、水准网中条件方程的分类附合条件和闭合条件两类已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件已知点个数小于等于1：只有闭合条件第四讲平差方法条件平差（续）4、水准网中条件方程的列立方法、水准网中条件方程的列立方法（保证独立）（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一(3)、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件在水准网条件平
13、差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。第四讲平差方法条件平差（续）条件方程分别沿不同的路线列，涉及最少的平差值两点之间沿不同路线有相同的高差两已知点间的高差应等于其间路线上高差的累计闭合环的高差为0第四讲平差方法条件平差（续）5、水准网条件方程列立举例、水准网条件方程列立举例第四讲平差方法条件平差（续）第四讲平差方法条件平差（续）第四讲平差方法条件平差（续）GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程1、GPS基线向量网的观测值：基线向量网的观测值：一条基线三个观测值，他们是,n=3s，s是基线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数基线向量
14、网三维无约束平差的基准及必要观测数t三个坐标基准。必要观测数为，m为总点数。所以条件方程的个数为：r=3（s-m）+33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。第四讲平差方法条件平差（续）4、GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例图1图2图1中r=3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。第四讲平差方法条件平差（续）4、GPS基线向量
15、网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n=3*22=66，t=3*（9-1）=24，r=3（22-9）+3=42第四讲平差方法条件平差（续）三角网(测角网)的条件方程1、三角网的观测值、三角网的观测值三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用、三角网的作用确定待定点的平面坐标。3、三角网的类型、三角网的类型单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三角网的基准数据、三角网的基准数据在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系。在平面坐标系中，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平
16、面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准2个（任意一点的坐标）、方位基准 1个（任意一条边的方位角）以及长度基准1个（任意一条边的边长）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。第四讲平差方法条件平差（续）5、三角网中必要观测数、三角网中必要观测数 t 的规律的规律 有两个或两个以上已知坐标点时，确定一个未知点的坐标需要2个必要观测值，确定m个未知点的坐标时需要2m个必要观测。即有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数；有一个或无已知点，确定m个未知点组成的三角网的形状，三角网总点数m：t=（m-2）*2。若还要确定三角网的大小，则需要一个边长观测，t
17、=（m-2）*2-1。再要确定三角网大小和位置，则需有两个已知点，见具体分析。第四讲平差方法条件平差（续）6、三角网中条件方程的列法、三角网中条件方程的列法图形条件（内角和条件）：图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度；圆周条件（水平条件）：圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度；极条件（边长条件）正弦定律：极条件（边长条件）正弦定律：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。第四讲平差方法条件平差（续）对极条件线性化（在观测值处线性化）第四讲平差方法条件平差（续）第四讲平差方法条件平差（续）7、三角网中条件方程的列立举例、三角网中条件方程的列立举例图1中，n=3，t=2，r=1，即
18、一个图形条件。图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。第四讲平差方法条件平差（续）图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只有中点多边形才有全部的三类条件。第四讲平差方法条件平差（续）用一般符号列出图4的条件方程：n=33第四讲平差方法条件平差（续）三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测值、三边网的观测值三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。2、三边网的作用、三边网的作用也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型、三边网的类型单三边形、大地四边形、中
19、点多边形、组合图形4、三边网的基准数据、三边网的基准数据三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准2个（任意一点的坐标）、方位基准 1个（任意一条边的方位角），即三个基准。第四讲平差方法条件平差（续）5、三边网中必要观测数、三边网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数；无足够的基准数据：t=2z-3,z为三角网中的总点数。单三角形：t=23 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0大地四边形：t=24 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1中点N边形：t=2（N
20、+1）3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。以上各式表明：在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。第四讲平差方法条件平差（续）6、三边网中条件方程的列立、三边网中条件方程的列立可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。利用观测边长求出网中的内角，列出角度满足的条件，然后以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。边角关系、余弦定理建立边长改正数与角度改正数的关系 第四讲平差方法条件平差（续）以坐标为观测值的条件方程用数字化仪、扫描仪对地面两点坐标数字化得出的值
21、是机械坐标系统的坐标，经变换可得到地面坐标系统中的坐标值，由于数字化过程有误差，使观测坐标不闭合，应与平差1、直角与直线的条件方程设观测三点j、k、h的坐标为已知与间夹角为由此可通过角度建立坐标间的条件方程第四讲平差方法条件平差（续）即线性化得2、距离计算的条件方程第四讲平差方法条件平差（续）单一附合导线的条件方程1、导线的观测值、导线的观测值导线的观测值由角度和边长两类观测值组成。2、单一附合导线的形状、单一附合导线的形状3、单一附合导线的必要观测数、单一附合导线的必要观测数t=2m，m为待定点点数。第四讲平差方法条件平差（续）4、单一附合导线的条件方程个数、单一附合导线的条件方程个数观测值
22、的个数：角度m+2个；边长m+1个；观测值总数 n=2m+3个。条件方程个数：r=n-t=2m+3-2m=3即不论待定点点数m为多少，单一附合导线的条件方程个数固定为3。5、单一附合导线的条件方程、单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件第四讲平差方法条件平差（续）GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件方程1、观测值、观测值观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2N。2、必要观测个数、必要观测个数 t=N+13、多余观测个数、多余观测个数 r=n-t=2N-N-1=N-14、条件方程的类型、条件方程的类型 N-1个直角条件。第四讲平差方法条件平差（续）六、非线性条件方程的线
23、性化六、非线性条件方程的线性化1、问题的提出由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非非线性条件方程的线性化。线性条件方程的线性化。2、线性化的方法将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。第四讲平差方法条件平差（续）设非线性条件方程为：为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即：于是，有令第四讲平差方法条件平差（续）于是，非线性条件方程的线性形式为：3、几种非线性条件方程的线性形式极条件：极条件：在图5-4中，极条件为线性化得：第四讲平差方法条件平差（续）两边同乘，得化简后的线性形式为：单一附合导线的坐标条件单一附合导线的坐标条件：第四讲平差方法条件平差（续）上图的纵坐标条件为：式中是方位角平差值和边长平差值的函数，即将上式按台劳级数展开，略去二阶以上各项，得由于故第四讲平差方法条件平差（续）所以纵坐标条件方程为：因为所以纵坐标条件方程的最终形式为：第四讲平差方法条件平差（续）同理可得横坐标条件方程的最终形式为：式中一般地，单一附合导线的坐标条件方程的最终形式为：式中