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1、第八章第八章 测量误差与平差测量误差与平差881 1 误差与精度误差与精度882 2 误差传播定律简介误差传播定律简介883 3 算术平均值与加权平均值算术平均值与加权平均值平差削平差异，消除不符削平差异，消除不符。由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除消除这些矛盾矛盾而求得求得观测量的最可靠结最可靠结果果并评定测量成果的精度评定测量成果的精度。测量平差采用的原理是“最
2、小二乘法最小二乘法”。测量平差是德国数学家高斯于18211823年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次提出并应用的。以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一。测量平差是测绘工程专业的主干课程，一般需要讲授70学时以上。平差分为简易平差和严密平差。严密平差又分为条件平差和间接平差。在高程测量一章中水准路线闭合差的计算与分配实际上就是一种简易平差工作（消除高差不符值）。简易平差的相关内容将结合具体的控制测量计算（如导线计算）加以介绍；对于严密平差方法，有兴趣的同学可自学。本章主要介绍测量误差的基本知识。目的是了解测量误差产生的原因和
3、评定精度的标准；掌握偶然误差的特性、误差传播定律及其在测量数据处理中的应用方法。881 1 误差与精度误差与精度一、测量误差的概念一、测量误差的概念误差是指由各种原因引起的观测值与真实值观测值与真实值，或真实真实值与其应有值值与其应有值之间存在的差异差异。比如：三角形的内角和为比如：三角形的内角和为180，观测值为，观测值为1800030；标尺刻划；标尺刻划间距的真实值为间距的真实值为0.97cm，其应有值即理论设计值为，其应有值即理论设计值为1cm。要点：要点：1.“要测量就会有误差”，即误差与测量同在。2.误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环境的影响。3.观测条件与误差的关系。与
4、误差的三个来源相对应的测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件观测条件。观测条件的好坏决定误差的大小。二二.误差的类型误差的类型测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。1.系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某类（或对某类数据进行同种处理），数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号，则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电测距中的加常数、剩余常数，传统的“五入”等。2.偶然误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对同类（或对同类数据进行同种处理），数据进行同种处理），如果观测结果包含的误差在大小及符号上均没有
5、表现出一致的倾向，即从表面看没有任何规律性，则这种误差叫偶然误差。比如：水准读数估读、照准偏左或偏右等。3.粗差：数值超出了某种规定范围的误差。如读错、记错等。粗差实际上是一种不太容易发现的错误，严格来讲，粗差不应属于测量误差的范畴。三三.偶然误差的特性偶然误差的特性系统误差具有倾向的一致性，即单向性、同一性，其影响具有积累性，对测量成果精度的影响很大，必须设法消除或减小，比如施加尺长改正、加常数改正、剩余常数改正、气象改正等。偶然误差是一种随机性误差，不能直接通过加改正数的方法来消除，在观测结果中总是不可避免地包含偶然误差，因此，偶然误差是测量误差理论的主要研究对象。偶然误差虽然从表面上看没
6、有规律，但实际上具有统计性规律，即特性。下面先给出真误差的定义，然后介绍偶然误差的四个特性。任何一个被观测量，客观上总存在一个能代表其真正大小的数值，称作“真值”。设某量的真值为X，已剔除了系统误差的观测值为l，则它们的差值叫做该观测值的真误差，简称误差，用表示，即：l X真误差仅指偶然误差。如果对某量作一系列的观测，得到n个观测值li(i=1,2,n)；则有n个真误差i(i=1,2,n)与之相对应。这种仅包含偶然误差的真误差具有以下四个特性：1.1.有界性有界性 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。定的限值。（这个限值不是固定
7、的，与观测条件有关）例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差和角真误差（即闭合差，三角之（即闭合差，三角之和与和与180180之差）之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后以d3为误差区间误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对个数（k/n，也称作频率，n358）。结果列于下表：2.趋向性趋向性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。误差分布的趋向性在统计表中十分明显。误差分布的趋向性在频率直方图中更易看出。偶然测量误差是随机变量，服从于标准正态分布。3.3.对称性对称性
8、绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。同样，误差分布的对称性可从统计表和直方图中得到验证。4.抵偿性抵偿性 偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋偶然误差的算术平均值将随着观测次数的无限增加而趋于零于零，即：在测量平差中，方括号 用来表示求和。第四个特性是由第三个特性即对称性导出的。必须指出，偶然误差的以上特性，尤其是后面的三个特性，只有当观测数目较多（一般n为20以上）时才会比较明显。四.四.精度及其衡量指标精度及其衡量指标（一）（一）.精度的含义精度的含义精度是指精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度一组观测误差分布的密集或离散的程度。若
9、分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。误差分布曲线一误差分布曲线二精度是一组观测成果质量高低的标志，它与观测条件的好坏密切相关。在相同的观测条件（观测者、仪器和外界环境）（观测者、仪器和外界环境）下进行的一组观测，叫做“同精度观测同精度观测”。所有的观测值对应着同一种误差分布，因此，对于组中的每一个观测值（即使是误差为零或误差很大的观测（即使是误差为零或误差很大的观测值），值），都称为“同（等）精度观测值”；反之，则称为“非等精度观测”。例如，同一个观测者同一天用同一台仪器对同一个三角形的内角和观测了10次，闭合
10、差w有+8的，有-2的，也有为0的。w=0 并不意味着高精度，w=8也不表示低精度，所有的观测结果应认为是相同精度的。只有在不同的观测条件下所作的观测，才可以看作精度不同。（二）（二）.衡量精度的指标衡量精度的指标除了用误差分布图表示观测精度之外，还可用简明的数字来作为衡量精度的指标。精度的高低虽然不能用观测列中的某个误差的大小来判别，但与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低的指标。此处的“平均大小平均大小”并非简单的算术平均大小，而是指均方差均方差。测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：1.1.中误差中误差（在概率统计学中叫标准差在概率统
11、计学中叫标准差）在一定的观测条件下，同精度观测列中在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值各真误差平方的平均值的极限的极限叫做叫做中误差中误差m的平方的平方，即：式中：开平方后得：上式是中误差的极限表达式极限表达式。在实际工作中，观测次数不可能为无穷大，所以中误差通常用其估值表达式估值表达式计算：l中误差的大小反映出一组观测值误差的集中与离散的程度。l右图中，m1较小,误差分布比较集中，说明相应的观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，则观测值精度较低。数学期望(均)方差2.极限误差极限误差极限误差也叫容许误差，即观测中可能出现的最大误差值，用容表示。由偶然误差的有界性知：在
12、一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。由概率论知，在误差群中，绝对值大于2m的真误差个数只占误差总个数的5，大于3m的个数仅0.3。由此可见，绝对值大于2m或3m的真误差实际上不可能出现。因此一般用两倍或三倍中误差作为偶然误差的极限值，即：容2m，或容3m3.相对误差相对误差真误差和中误差都是绝对误差。有时，仅用绝对误差还不能完全表达观测精度的高低。例如，分别丈量了1000米和10米的两段距离，观测值的中误差均为0.01米，虽然从表面上看，两者的观测精度相同，但就“单位长度”而言，两者的精度并不相同（且实现的难度也不相同），（且实现的难度也不相同），显然前者
13、的相对精度比后者要高。为此，通常又采用另一种衡量精度的指标，即“相对相对中误差中误差”，它是中误差（绝对值）与相应的观测值之比，为一“不名数”，无量纲，常用分子为1的分式表示：相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指相对误差仅可用作线量（即长度）观测精度的衡量指标，在角度测量中没有意义。标，在角度测量中没有意义。882 2 误差传播定律简介误差传播定律简介在实际工作中经常会遇到这样的情况：某一个量的大小并不是直接测定，而是由一个或一系列的观测量通过一定的函数关系间接计算出来的（比如EDM测高）。很显然，观测值误差必然会“传递传递”给函数给函数，使其函数也包含误差。阐述观测量函数的中误差与
14、观测量本身的中误差之间阐述观测量函数的中误差与观测量本身的中误差之间关系的定律，叫关系的定律，叫误差传播定律误差传播定律。独立观测值的概念 设x、y为两个观测值，如果它们之间没有任何联系，并且都是直接观测量，则称它们是“独立观测值”，它们之间是“互相独立”的。比如，三角高程测量中的斜距和垂直角，三角形中的两个内角等。与此对应，若两个观测值之间存在一定的联系，或包含同一因素，则它们就不是“互相独立”的。如方向观测法中各方向的归零方向值（零方向相同）。一般函数形式的误差传播定律一般函数形式的误差传播定律：设有一般函数:式中，x1、x2、xn为互相独立的观测值，相应的中误差分别为mx1、mx2、mx
15、n；Z是各观测值的函数。经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：是函数Z对各观测值（变量）的偏导数，它们都是观测值的函数，将观测值代入后便都是常数。例如，h=Ssin，则1、和差函数:2、倍乘函数：函数表达式：函数中误差为：函数中误差为：函数表达式：上述一般函数形式的误差传播定律可以用于各种函数。几种常用函数形式的误差传播律3、线性函数：函数表达式：根据误差传播律有：求观测值函数中误差的步骤求观测值函数中误差的步骤(1).(1).列出函数式；(2).(2).对函数式求全微分；(3).(3).套用误差传播定律，写出函数中误差公式；(4).(4).计算各偏导数之值；(5).(5).将偏导数
16、值和观测值中误差之值代入公式计算函数的中误差。例例:对一个三角形，观测了A、B两个角：A=642106 8.0，B=703540 6.0。试求第三个角C及其中误差。C=45o 03 1410 解：解：由题意可得:A+B+C=180 于是：C=180 A B=450314 根据误差传播定律，有:关于误差传播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函数中误差计算式”，它是“通式通式”。需要指出的是，当函数与观测值的量纲不一致时，应注意量纲的统一。例如函数h=Ssin，h与的量纲不同，按误差传播定律求h的中误差时，需注意各误差的单位：关键是角度中误差平方这一项须除以除以2 2。206265883 3 算术
17、平均值与加权平均值算术平均值与加权平均值一、算术平均值及其中误差一、算术平均值及其中误差1.算术平均值 设对某未知量进行了n次等精度独立观测。n个观测值为：其算术平均值为：2.观测值中误差计算式设观测量的真值为X，各观测值的真误差为：由于真值X一般未知，故i亦为未知，无法直接采用81中介绍的估值式求中误差，必须寻找别的途径。对n个真误差计算式求和，然后取平均，有：于是：对上式左右两边取极限：由此可见，当n为无穷大时，n个观测值的算术平均值趋向于其真值。当n为有限时，算术平均值是一个接近于真值的近似值。测量中将接近于真值的近似值称为观测量的最可靠值最可靠值或最或然值最或然值。为了介绍观测值中误差
18、计算式，有必要引入“观测值改正数”的概念。某个观测量的最或然值与其观测值之差最或然值与其观测值之差叫做观测值的改观测值的改正数正数，用V表示。显然，有n个观测值就有n个改正数。改正数V又叫做“最或然误差最或然误差”。由上可知，对某量的n次等精度观测的算术平均值x是该量的最或然值，故x与各观测值l之差就是相应的观测值改正数V，共有n个：在在等精度等精度观测观测条件下，所有条件下，所有观测观测值改正数的总和为零值改正数的总和为零。由上式容易得到：有了观测值改正数的定义之后，由改正数计算观测值中误差的公式（推导见教材P155）如下：该式叫做计算同精度观测值中误差的白塞尔公式（Bessel）。3.算术
19、平均值中误差n个同精度观测值的平均值计算式为：由误差传播定律，得：因为是等精度观测，各观测值中误差相等，即：m1=m2=mn=m，所以：将白塞尔公式代入，有：例：例：对某水平角同精度观测了5次，求算术平均值、观测值中误差和平均值中误差。次序观测值VV V备注176o4249-416276o4240+525376o4242+39476o4246-11576o4248-39平均76o4245 V=0VV=60 解：解：由观测值改正数计算中误差的过程见下表。算术平均值：x =764245 二二.权的概念权的概念观测条件不同时，观测量的观测精度也就不同。在不同条件下进行的观测叫非等精度观测。除了用中误
20、差来衡量非等精度观测值的精度高低之外，还可以用“权”来表征此类观测值的可靠程度。此处的“权”是权衡轻重、比较好坏权衡轻重、比较好坏的指标，是一个数值指标，用P 表示。某观测值的权按下式计算：其中的u2为任意大于零的常数，一旦确定则不再变动，常取某个典型观测值中误差（单位权中误差，即权为1的观测值的中误差）作为u。很显然，u2确定之后，某个观测值的中误差越小，其结果就越可靠，相应的“权”也就越大。三三.加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差1.加权平均值在测量工作中，有时需要对若干个不同精度的观测值取平均。在这种情况下，不能简单地计算它们的算术平均值，而应计算加权平均值。设对某量进行了n次非等
21、精度观测，观测值分别为l1、l2、ln，相应的权为P1、P2、Pn。它们的加权平均值按下式计算：例：对地面上某段距离分别用钢尺量距和光电测距方法进行测量。钢尺量距的结果为：l115.005m，对应的中误差为m1=0.002m；光电测距的结果为：l2=15.008m,中误差为m2=0.003m。取u=0.001m，则它们的权分别为：P1=0.25,P2=0.111；两个不同精度观测值的加权平均值为：加权平均值计算法在考核课程学习成绩中早已使用。比如经常规定平时成绩和期末考试成绩分别占总成绩的30和70，实际上是将两个成绩（相当于观测值）的权分别取为0.3和0.7，然后取二者的加权平均：2.加权平均值中误差加权平均值计算式：应用误差传播定律，可得加权平均值的中误差表达式：因为：所以：根据权的定义式：有：将上式代入前述加权平均值中误差计算式：开平方，得：此即加权平均值中误差的最终计算式。