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1、 1 益阳市 2022-2023 学年六校期末联考 数学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.（选择性必修 1+选择性必修 2 数列部分）一、选择题（共 40 分）1.已知向量1,2,2,3,6,6,2,1,2abc，则它们的位置关系是（）A.ab，ac B.ab，ac C.ab，bc D.ab，bc【答案】D【解析】【分析】由向量坐标运算
2、即可判断共线和垂直.【详解】由题可知：3ba 得/ab，2240a cac 66 120b cbc 故选：D.2.在三棱锥PABC中，CP、CA、CB两两垂直，1ACCB，2PC，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是（）2 A.11,1,2 B.1,2,1 C.1,1,1 D.2,2,1【答案】A【解析】【分析】设平面PAB的一个法向量为,1nx y，利用00n PAn AB，求出x、y的值，可得出向量n的坐标，然后选出与n共线的向量坐标即可.【详解】1,0,2PA，1,1,0AB ，设平面PAB的一个法向量为,1nx y，由00n PAn AB 则200 xxy，解
3、得22xy，2,2,1n 又111,1,22n，因此，平面PAB的一个法向量为11,1,2.故选：A.【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3.已知等比数列 na的公比为 q，前 n项和为nS，若2q，26S，则3S（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】由等比数列的基本量运算求得1a后求得3a，从而易得3S【详解】由题意21126Saa，12a，所以23228a，3236814SSa 故选：D 4.如图，将一个边长为 1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续
4、下去，得图（3），设第n个图形的边长为na，则数列 na的通项公式为 3 A.13n B.131n C.13n D.113n【答案】D【解析】【分析】观察得到从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以 1为首项，以13为公比的等比数列，根据等比数列的通项写出na即可.【详解】由题得，从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以 1为首项，以13为公比的等比数列，所以第n个图形的边长为na=1111133nn.故选：D.5.数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC的顶点 2,0,0,4AB，若其欧拉线的方程为20 xy，则顶点C的坐
5、标为 A.4,0 B.3,1 C.5,0 D.4,2 【答案】A【解析】【分析】设出点 C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出 AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点 C的坐标【详解】设 C（m，n），由重心坐标公式得，三角形 ABC 的重心为24,33mn代入欧拉线方程得：242033mn整理得：m-n+4=0 AB 的中点为（1，2），40202ABk AB的中垂线方程为1212yx，4 即 x-2y+3=0联立23020 xyxy解得11xy ABC的外心为（-1，1）则（m+1）2+（n-1）2=3
6、2+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 联立得：m=-4，n=0或 m=0，n=4 当 m=0，n=4 时 B，C重合，舍去顶点 C 的坐标是（-4，0）故选 A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等 6.已知定点(3,0)B，点A在圆22(1)4xy上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（）A.22(1)1xy B.22(2)4xy C.22(1)1xy D.22(2)4xy【答案】C【解析】
7、【分析】设(,)M x y再表达出A的坐标代入圆方程22(1)4xy化简即可.【详解】设(,)M x y，则,AAAx y满足3,(,)22AAxyx y.故232AAxxyy.故23(2),Axy.又点A在圆22(1)4xy上.故2222(23 1)(2)4(1)1xyxy.故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.7.已知双曲线 C：222210,0 xyabab，1F，2F分别是双曲线的左右焦点，M是双曲线右支上一点连接1MF交双曲线C左支于点N，若2MNF是以2F为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）5 A.2 B.3 C.2 D.5【答案】B【解析】【分
8、析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于a，c的齐次方程，即可求出离心率【详解】设2MFm，则2NFm，2MNm，12NFma，122MFmam，因为122MFMFa，所以222ama，故2 2ma，在12NFF中，由余弦定理可知222242 2282 2 222 22caaaaaa，整理得22412ca，即23e，所以3e.故选：B 8.已知 F1，F2分别为双曲线 C：22126xy的左、右焦点，过 F2的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限）设点 H，G 分别为AF1F2，BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是 A.2 2,4)B.4 62,3 C.4
9、 3,2 23 D.4 62 2,3【答案】D【解析】6【分析】利用平面几何和内心的性质，可知,H G的横坐标都是a，得到HGx轴，设直线AB的倾斜角为，2Rt HMF和2Rt GMF分别表示HM和GM，根据60,90，将HG表示为的三角函数求最值.【详解】12AF F内切圆与各边相切于点,P Q M，有,H M的横坐标相等，APAQ，11FPFM，22FQF M 121222AFAFaMFMFa，M在双曲线上，即M是双曲线的顶点，HG与双曲线相切于顶点（如图）,H G的横坐标都是a，设直线AB的倾斜角为，那么22OF G,222HF O 2HF G中，sincos22tantan222cos
10、sin22HGcaca 22sincos222sinsincos22caca 双曲线22:126xyC，2,6,2 2abc，可得2 2sinHG，6090 3sin12，HG的范围是4 62 2,3 故选D.7 【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键 1.根据几何性质确定,H G的横坐标都是a，2.设倾斜角为，将HG表示为的三角函数.二、多选题（共 20 分）9.已知点 P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB
11、ADAP ，下列结论正确的有（）A.APAB B.APAD C.AP是平面ABCD的一个法向量 D.APBD【答案】ABC【解析】【分析】由0AP AB，可判定 A正确；由0AP AD，可判定 B正确；由APAB且APAD，可判定 C正确；由AP是平面ABCD的一个法向量，得到APBD，可判定D不正确.【详解】由题意，向量(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)ABADAP ，对于 A中，由2(1)(1)2(4)(1)0AP AB ，可得APAB，所以 A正确；对于 B中，由(1)42 2(1)00AP AD ，所以APAD，所以 B 正确；对于 C中，由APAB且APAD，可得向量AP
12、是平面ABCD的一个法向量，所以 C正确；对于 D中，由AP是平面ABCD的一个法向量，可得APBD，所以 D不正确.故选：ABC 10.数列an的前 n 项和为 Sn，*111,2NnnaaSn，则有（）8 A.Sn3n1 B.Sn为等比数列 C.an23n1 D.21,12 3,2nnnan【答案】ABD【解析】【分析】根据11,1,2nnnS naSSn求得na，进而求得nS以及判断出 nS是等比数列.【详解】依题意*111,2NnnaaSn，当1n 时，2122aa，当2n时，12nnaS，11222nnnnnaaSSa，所以13nnaa，所以22232 32nnnaan，所以21,1
13、2 3,2nnnan.当2n时，1132nnnaS；当1n 时，111Sa符合上式，所以13nnS.13nnSS，所以数列 nS是首项为1，公比为3的等比数列.所以 ABD 选项正确，C选项错误.故选：ABD 11.已知双曲线C过点3,2，且渐近线方程为33yx，则下列结论正确的是（）A.C的方程为2213xy B.C的离心率为3 C.曲线21xye经过C的一个焦点 D.直线210 xy 与C有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为33yx，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；联立方程组判断D 9【详解】解：由双曲线的渐近
14、线方程为33yx，可设双曲线方程为223xy，把点(3,2)代入，得923，即1 双曲线C的方程为2213xy，故A正确；由23a，21b，得222cab，双曲线C的离心率为22 333，故B错误；取20 x，得2x，0y，曲线21xye过定点(2,0)，故C正确；联立2221013xyxy，化简得22 220,0yy，所以直线210 xy 与C只有一个公共点，故D不正确 故选：AC 12.定义点00,P xy到直线l:2200axbycab的有向距离为0022axbycdab.已知点12,P P到直线l的有向距离分别是12,d d.以下命题不正确的是（）A.若121dd，则直线12PP与直线
15、l平行 B.若11d，21d ，则直线12PP与直线l垂直 C.若120dd，则直线12PP与直线l垂直 D.若120dd，则直线12PP与直线l相交【答案】BCD【解析】【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可【详解】设111,P x y,222,P xy,选项 A,若121dd,则221122axbycaxbycab,则点12,P P在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP与直线l平行,所以正确;选项 B,点12,P P在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线12PP不一定与l垂直,所以错误;10 选项 C,
16、若120dd,满足120dd,即11220axbycaxbyc,则点12,P P都在直线l上,所以此时直线12PP与直线l重合,所以错误;选项 D,若120dd,即11220axbycaxbyc,所以点12,P P分别位于直线l的两侧或在直线l上,所以直线12PP与直线l相交或重合,所以错误.故选：BCD 三、填空题（共 20 分）13.如下图，以长方体1111ABCDABC D的顶点 D为坐标原点，过 D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为(4 3 2)，则1BD的坐标为_.【答案】(4,3,2)【解析】【分析】根据题意推导出1,D B的坐标,从而得出1,D B的
17、坐标,进而得出结论.【详解】因为1DB的坐标为(4 3 2)，,(0,0,0)D,则1(4,3,2)B,所以1(4,3,0),(0,0,2)BD,因此1(4,3,2)BD ,故答案为:(4,3,2).【点睛】本题考查空间中向量的求法,属于基础题.14.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_【答案】2220 xyx【解析】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为220 xyDxEyF，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：11 01 104020FDEFDF，解得：200DEF，则圆的方程为2220 xyx.点睛：求
18、圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式 15.已知等差数列 na中，24a，616a，若在数列 na每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为_【答案】31【解析】【分析】先计算出等差数列 na的公差，进而得到新的等差数列 nb的公
19、差，从而求出 nb的通项公式，求出新数列的第41项.【详解】设等差数列 na的公差为d，则62123624aad，在数列 na每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列 nb的公差为344d，故新数列的首项为4 31，故通项公式为33111444nbnn，故4131413144b.故答案为：31 16.设抛物线24xy，点F是抛物线的焦点，点0,Mm在y轴正半轴上（异于F点），动点N在抛物线上，若FNM是锐角，则m的范围为_【答案】0,11,9【解析】【分析】设24,4Ntt，由FNM是锐角得到4286202mtm t对任意tR恒成立.令20 xt，则 286202mfxxm x对任意0,x恒成
20、立,再通过分类讨论求出 m 的取值范围.12【详解】设24,4Ntt，可知0,1F，0m 且1m，所以24,14NFtt，24,4NMt mt，因为FNM是锐角，所以0NF NM，即222161440ttmt，整理得42161240tm tm，等价于4286202mtm t对任意tR恒成立；令20 xt，则 286202mfxxm x对任意0,x恒成立；因为 f x的对称轴为38mx，故分类讨论如下：（1）308m，即03m时，min002mfxf，所以03m；（2）308m，即3m 时，应有2624 802mm ，得39m；综上所述：0,11,9m.【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考
21、查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题（共 70 分）17.如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA 底面ABC，90CAB，2ABAC，13AA，M为BC的中点，P为侧棱1BB上的动点 13 （1）求证：平面APM 平面11BB C C；（2）试判断直线1BC与AP是否能够垂直若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）不能垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）利用AMBC，1AMBB推出AM平面11BB C C，即可证明面面垂直；（2）建系，写出1,B C A的坐标，设03BPtt，利用直线1BC与AP能垂直，数量积为零，求
22、出4 33t，14 33tBB，不能垂直.【小问 1 详解】因为在三棱柱111ABCABC中，1AA 底面ABC，90CAB，2ABAC，13AA，M为BC的中点，P为侧棱1BB上的动点 所以AMBC，1AMBB，因为1BCBBB，1,BC BB 平面11BBC C 所以AM平面11BB C C，因为AM 平面APM，所以平面APM 平面11BB C C【小问 2 详解】以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，14 0 2 0B，12,0,3C，0 0 0A，设03BPtt，则10,2,2,2,3,0,2,PtBCAPt，若直线1BC与AP能垂直，则10430BC
23、APt，解得4 33t，因为14 333tBB，所以直线1BC与AP不能垂直 18.设数列 na满足21112,3 2nnnaaanN.（1）求2a和3a的值.（2）求数列 na的通项公式.（3）令nnbna，求数列 nb的前 n项和nS.【答案】（1）238,32aa；（2）212nnnNa；（3）21(31)229nnnS.【解析】【分析】（1）根据递推公式，逐项计算，即可求解；（2）由2113 2nnnaa，结合叠加法，利用等比数列的求和公式，即可求解；（3）根据212nnnnbna，结合乘公比错位相减求和，即可求解.【详解】（1）当1n 时，1213 28aa，当2n 时，3323 2
24、32aa，所以238,32aa.（2）由数列 na满足21112,3 2nnnaaa.15 可得1213 2aa，3323 2aa，5433 2aa，2313 2nnnaa，相加可得1352313 23 23 23 2nnaa 13 2 1414n 2122n，所以2121211222222nnnnaa，所以数列 na的通项公式为212nnnNa.（3）由212nnnnbna，可得13523211 2223 2(1)22nnnSnn ，则357212141 2223 2(1)22nnnSnn ，两式相减，可得135721213222222nnnSn，2121 421 4nnn 21212223
25、3nnn，所以21(31)229nnnS.19.已知各项都为正数的等比数列 na的前n项和为nS，数列 nb的通项公式*,1,nn nbnnnN为偶数为奇数，若351Sb，4b是2a和4a的等比中项（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nT【答案】（1）12nna（2）*1222,332222,33nnnnnTnnnN为偶数为奇数【解析】【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由2311151Saa qa qb，222231244aa qa ab，结合题设条件，即可求解；（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.小问 1 详解】数列 nb的通项公式*,1,nn
26、nbnnnN为偶数为奇数，16 546,4bb，设各项都为正数的等比数列 na的公比为q，则0q，3517Sb，21117aa qa q，4b是2a和4a的等比中项，22324416aa ab，解得2314aa q，由得23440qq，解得2q或23q （舍去），111,2nnaa；【小问 2 详解】1*12,1 2,nnnnnnabnnn N为偶数为奇数 当n为偶数时，01234211 122 23 124 25 121122nnnTnn 0123102222 23 24 22222nnn ，设0123122232422nnHn，则23422223 2422nnHn，减，得012311222
27、2222212112nnnnnnHnnn ，121nnHn，21 42212121 433nnnnTnn，当n为奇数，且3n时，11111522212212223333nnnnnnTTnnnn，经检验，1112Ta b符合上式，*1222,332222,33nnnnnTnnnN为偶数为奇数 20.已知直线 l：kxy12k0（kR）（1）证明：直线 l过定点；（2）若直线 l不经过第四象限，求 k 的取值范围；17（3）若直线 l交 x轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O为坐标原点，设AOB的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l的方程【答案】（1）证明见解析；（2）0,)；（3
28、）S 的最小值为 4，直线 l 的方程为 x2y40【解析】【分析】（1）直线方程化yk（x2）1，可以得出直线 l总过定点；（2）考虑直线的斜率及在 y 轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】（1）证明：直线 l的方程可化为 yk（x2）1，故无论 k取何值，直线 l总过定点（2，1）（2）直线 l的方程为 ykx2k1，则直线 l在 y轴上的截距为 2k1，要使直线 l不经过第四象限，则01 20kk解得 k0，故 k的取值范围是0,)（3）依题意，直线 l在 x轴上的截距为12kk，在
29、y 轴上的截距为 12k，A12,0kk，B（0，12k）又120kk且 12k0，k0 故 S12|OA|OB|1212kk（12k）1214+4kk12（412 4kk）4，当且仅当 4k1k，即 k12时，取等号 故 S最小值为 4，此时直线 l的方程为 x2y40 21.已知圆 C过点(02)(31)MN，且圆心 C 在直线210 xy 上（1）求圆 C的标准方程（2）设直线10axy 与圆 C交于不同的两点 A，B，是否存在实数 a，使得过点(2 0)P，的直线 l垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22329xy（2）不存在，理由见解析【
30、解析】18【分析】（1）设圆的方程220 xyDxEyF，由题意列出方程组，解方程组求得答案；（2）假设存在符合条件的实数 a，可判断圆心(32)C，必在直线 l上，结合直线 l垂直平分弦 AB，求得 a,再利用直线10axy 交圆 C 于 A，B 两点，结合判别式求得 a 的范围，即可得出结论.【小问 1 详解】设圆 C的方程为220 xyDxEyF，则有1024201030DEEFDEF，解得644DEF，所以圆 C 的方程为226440 xyxy，化为标准方程，得22329xy【小问 2 详解】假设存在符合条件的实数 a，由于直线 l垂直平分弦 AB，故圆心(32)C，必在直线 l上，所
31、以直线 l的斜率2223PCk，又1ABPCkak，所以12a 将10axy 与圆 C 的方程联立，整理得2216190axax，由于直线10axy 交圆 C于 A，B 两点，故223613610aa，解得a0，与12a 矛盾，故不存在实数 a，使得过点 P（2，0）的直线 l垂直平分弦 AB 22.已知椭圆 C的离心率为32，长轴的两个端点分别为2,0A，2,0B.（1）求椭圆 C方程；（2）过点1,0的直线与椭圆 C交于 M，N（不与 A，B 重合）两点，直线 AM 与直线4x 交于点 Q，求证：MBNMBQBNSSBQ.【答案】（1）2214xy（2）证明见解析 19【解析】【分析】（1
32、）依题意可得2a，再根据离心率求出c，最后根据222abc，求出b，即可求出椭圆方程；（2）设直线 l的方程为1xmy，11,M x y，22,N xy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线AM的方程，即可求出Q点坐标，再表示出NBk、BQk，即可得到NBBQkk，即N、B、Q三点共线，即可得证；【小问 1 详解】解：由长轴的两个端点分别为2,0A，2,0B，可得2a，由离心率为32，可得32ca，所以3c，又222abc，解得1b，所以椭圆 C的标准方程为2214xy；小问 2 详解】解：设直线 l的方程为1xmy，由22114xmyxy得224230mymy 设11,M x y，22,N xy，则12224myym，12234y ym 所以112AMykx，直线AM的方程为1122yyxx，所以1164,2yQx 所以2222022NByykxx，1111110466223222BQyyxxyxk 所以21122112212121212323313222222NBBQyxyxymyymyyykkxxxxxx 12122123022my yyyxx，即NBBQkk，所以N、B、Q三点共线，所以MBNMBQBNSSBQ；20