2022-2023学年河南省洛阳市第二中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年河南省洛阳市第二中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1集合21,20,1UR Ax xxBx yx,则图中阴影部分所表示的集合是()A12xx B 12xx C 12xx D 12xx【答案】C【分析】先将集合化简,阴影部分表示AAB,然后求解即可.【详解】因为21,20,1UR Ax xxBx yx,得12Axx,1Bx x,图中阴影部分表示AAB,所以得12AABxx 故选:C 2已知Zk,则“函数()sin(2)f xx为偶函数”是“22k”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】

2、充分性判断:利用偶函数的性质,结合和差角正弦公式求;必要性判断:应用诱导公式化简()f x并判断奇偶性,最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f xx为偶函数时sin(2)sin(2)xx,则2sin 2 cos0 x恒成立,即2k,Zk;当2,Z2kk时,()sin(2)cos22f xxx为偶函数;综上,“函数()sin(2)f xx为偶函数”是“22k”的必要不充分条件.故选:B 3已知:12px,2:21qaxa,若 p 是 q 的必要条件,则实数 a 的取值范围是()A1a B112a C112a D112a【答案】D 第 2 页 共 16 页【解析】

3、由p是q的必要条件,列不等式组,可得实数 a 的取值范围【详解】由p是q的必要条件,可得21221aa,解得112a 故选:D.4已知集合|22,42kkkZ则角 的终边落在阴影处(包括边界)的区域是()A B C D【答案】B【分析】令0k,由此判断出正确选项.【详解】令0k,则42,故 B 选项符合.故选:B【点睛】本小题主要考查用图像表示角的范围,考查终边相同的角的概念,属于基础题.5在流行病学中,每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数,当基本传染数高于 1 时,每个感染者平均会感染 1 个以上的人,从而导致感染者人数急剧增长当基本传染数低于 1 时,疫情才可能逐渐消散而广泛接种疫苗是

4、降低基本传染数的有效途径,假设某种传染病的基本传染数为0R,1 个感染者平均会接触到 N个新人(0NR),这 N人中有 V 个人接种过疫苗(VN为接种率),那么1 个感染者可传染的平均新感染人数0()RNVN已知某病毒在某地的基本传染数03log(9 3)R,为了使 1 个感染者可传染的平均新感染人数不超过 1,则该地疫苗的接种率至少为()A90%B80%C70%D60%【答案】D 第 3 页 共 16 页【分析】根据已知条件可得出关于VN的不等式,解之即可得出结果.【详解】因为035log9 32R,由题意5112VN,解得35VN,故选:D 6已知实数 a,b,c 满足不等式01abc,且

5、2aM,5bN,17cP,则 M、N、P的大小关系为()AMNP BPMN CNPM DPNM【答案】A【分析】结合指数函数特征易知1,2M,771ccP,画出5,7xxyy的图象,由,bc的相对位置可比较,N P大小,进而得解.【详解】因为01abc,所以1,22aM,771ccP,画出5,7xxyy的图象,如图,则0cb ,由图可知1PN,故MNP.故选:A 7 若31,2,记cossincoslog,logcos,1logtanxyz,则,x y z的大小关系正确的是()Axyz Bzxy Cxzy Dyxz【答案】C【分析】由题意可得0cossin1,tan1,然后利用对数函数的单调性

6、比较大小【详解】因为31,2,所以0cossin1,tan1,所以coscosloglog10 x,第 4 页 共 16 页 sinsinlogcoslogsin1y,coscoscos1logtanlog(costan)logsinz,因为0cossin1,所以coscoscoslogcoslogsinlog1,所以cos1logsin0,即01z,综上,xzy,故选:C 8 已知 f x是定义在1,1上的奇函数,且 11f,当,1,1a b且0ab时 0f af bab.已知,2 2 ,若 243sin2cosf x对1,1x 恒成立,则的取值范围是()A,6 2 B,23 C,3 2 D

7、,2 6 【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得 f x在1,1上单调递增,所以 max1f x,进而得2143sin2cos,结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为 f x是定义在1,1上的奇函数,所以当,1,1a b且0ab时 00()f af bf afbabab,根据,a b的任意性,即,ab的任意性可判断 f x在1,1上单调递增,所以 max(1)(1)1f xff,若 243sin2cosf x对1,1x 恒成立,则2143sin2cos,整理得(sin1)(2sin1)0,所以1sin2,由,2 2 ,可得,6 2 ,故选:A.【点睛】关键点点睛,本题解题的关键是利用 00

8、()f af bf afbabab,结合变量的任意性,可判断函数的单调性,属于中档题.二、多选题 9下列既是存在量词命题又是真命题的是()第 5 页 共 16 页 AZx,220 xx B至少有个xZ,使x能同时被3和5整除 CRx,20 x D每个平行四边形都是中心对称图形【答案】AB【分析】AB 选项,可举出实例;C 选项,根据所有实数的平方非负,得到 C 为假命题;D 选项为全称量词命题,不合要求.【详解】A中,当=1x时,满足220 xx,所以 A 是真命题;B 中,15能同时被3和5整除,所以 B 是真命题;C 中,因为所有实数的平方非负,即20 x,所以 C 是假命题;D 是全称量

9、词命题,所以不符合题意.故选:AB 10水车在古代是进行灌溉的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图,一个半径为 6 米的水车逆时针匀速转动,水轮圆心O距离水面 3 米,已知水轮每分钟转动1 圈,如果当水轮上一点 P 从水中浮现时(图中点0P)开始计时,经过 t 秒后,水车旋转到P点,则下列说法正确的是()A在转动一圈内,点P的高度在水面 3 米以上的持续时间为 30 秒 B当0,15t时,点 P 距水面的最大距离为 6 米 C当10t 秒时,06PP D若P第二次到达最高点大约需要时间为 80 秒【答案】ACD【分析】由题意可知1 26030,再设角(0)2是以

10、Ox为始边,0OP为终边的角,可求得高度与时间的关系,进而根据三角函数图象性质进行判断.第 6 页 共 16 页【详解】由题意可知1 26030,设角(0)2是以Ox为始边,0OP为终边的角,由条件得高度6sin()3(0)302yt,当0t时,0y,代入得6,故6sin()3306yt,令3y,解得5603560,ktk kN,故在转动一圈内,点P的高度在水面 3 米以上的持续时间为 30 秒,即 A 选项正确;当0,15t时,,3066 3t ,当3063t时,15t 时,max6sin33 333y点 P 距水面的最大距离为3 33米,B 选项错误;当10t 时,水车旋转10303,即0

11、3POP,故06PP,C 选项正确;6sin()3306yt,当3062t,即2060,tk kN,故第二次到达最高点的时间为2060 180t ,故 D 选项正确.故选:ACD 11已知正数 a,b 满足22abab,则下列说法一定正确的是()A24ab B4ab C8ab D2248ab【答案】AD【分析】由基本不等式判断 AD,取1,2ba判断 BC.【详解】由题意可知1112ba,1122(2)2422abababbaba(当且仅当22ab时取等号),故 A 正确;取1,2ba,则3,2abab,故 BC 错误;因为222 2ababab,所以2ab(当且仅当22ab时取等号),则22

12、448abab(当且仅当22ab时取等号),故 D 正确;第 7 页 共 16 页 故选:AD 12已知正实数 x,y,z满足236xyz,则()A111xyz B236xyz C236xyz D24xyz【答案】ACD【分析】令236xyzt则1t,可得:2logxt,6logzt,进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.;【详解】解:令236xyzt,则1t,可得:2logxt,3logyt,6logzt,对于选项 A:因为231111lg2lg31lg61lg2lg3log 6logloglglglglgtxyttttttz,所以111xyz,故选项 A 正确;对于选项 B,因为

13、1t,故lg0t,所以232lg3lg2log3loglg2lg323tttxty23lglg3lg2lg2 lg3t9lg lg80lg2 lg3t,即23xy;3663lglg3lglg62lg33lg6lg9363log6log0lg3lg6lg3 lg6lg3 lg6ttttyztt,即36yz,故 B 选项错误.对于选项 C:loglglgattaaa,因为02lg 23lg36lg 6,所以1112lg23lg36lg6,因为lg0t,所以lglglg2lg23lg36lg6ttt,即362logloglog236ttt,即236xyz,故选项 C 正确;对于选项 D:223lgl

14、glglogloglg2 lg3lg2 lg3tttxytt,222262lg444 log4lglg6lg6tztt,因为22lg6lg2lg30lg2 lg324,因为lg2lg3所以等号不成立,所以214lg2 lg3lg6,即222lg4lglg2 lg3lg6tt,所以24xyz,根据“或”命题的性质可知选项 D 正确.故选:ACD 三、填空题 第 8 页 共 16 页 13已知函数2,0()31,0 xxf xxx,则(2)(2)ff的值为_【答案】3【分析】由分段函数的定义计算,注意自变量的取值范围【详解】(2)3(2)17f ,2(2)24f,(2)(2)743ff 故答案为:

15、3 14如图 1 是某小区的圆形公园,它外围有一圆形跑道,并有 4 个出口 A、B、C、D(视为点),并四等分圆弧(如图 2).小明从 A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动,假设他每分钟转过圆心角为弧度(0),3 分钟第一次到达劣弧 CD之间(不包括 C、D点),15 分钟时回到出发点 A,则的值为_.【答案】25【分析】首先求出的大致范围,再根据 15 分钟时回到出发点 A,得到152,kkN,即可得解;【详解】解:依题意 A 点 3 分钟转过3,且332,所以32,又 15 分钟时回到出发点A,所以152,kkN,所以2,15kkN,因为32,所以25 故答案为:25 15函数

16、212log23yxx的单调递减区间是_【答案】1,1#(1,1)【详解】2212log23,230,13yxxxxx,设223txx,对称轴1x,112,12logyt 递减,223txx 在1,1上递增,根据复合函数的单调性判断:函数 212log23yxx的调减区间为1,1,故答案为1,1.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性,属于中档题.复合函数的单调性的第 9 页 共 16 页 判断可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的热点,判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增

17、,减减 增,增减 减,减增 减).16定义在R上的奇函数()f x,当0 x 时,2,0,1),()113,1,),xxf xxxx则函数1()()F xf x的所有零点之和为_【答案】112【详解】由图知,共五个零点,从左到右交点横坐标依次为12345,xxx xx,满足1234516,612xxxxx,因此所有零点之和为112 四、解答题 17已知集合2111xAxx,2220Bxxmxm(1)当1m 时,求AB;(2)xA是xB的必要条件,求m的取值范围【答案】(1)112ABxx(2)24m 【分析】(1)当1m 时,求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合AB;(2)分析可知BA,对

18、2m、1的大小关系进行分类讨论,根据BA检验或得出关于实数m的不等式,综合可求得实数m的取值范围.【详解】(1)解:由2111xx可得2121011xxxx,解得2 1x,即21Axx,第 10 页 共 16 页 当1m 时,2121012Bxxxxx,此时,112ABxx.(2)解:由题意可知BA,且210Bxxmx,当12m时,即当2m 时,12mBxx,不满足BA,不符合题意;当12m时,即2m 时,B,符合题意;当12m时,则12mBxx,由BA,得212m ,解得24m.综上,24m 18计算下列各式:(1)3041(52)94 5852;(2)23948(lg 2)lg 2 lg

19、50lg 25(log2log 2)(log3log 3)【答案】(1)19(2)134 【分析】(1)、利用指数幂的运算性质求解即可;(2)、利用对数的运算性质求解.【详解】(1)4203423152(52)94 58=1522 2 58525252 52 15216=19.(2)23948(lg 2)lg 2 lg 50lg 25(log2log 2)(log3log 3)23232111(lg2)lg2 lg5 12lg5log 2log 2log 3log 3223 23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log 2log 326 5lg2 lg2lg5+lg22lg54 52l

20、g22lg54 134 第 11 页 共 16 页 19命题p:“1,2x,20 xxa”,命题q:“Rx,2320 xxa”.(1)写出命题p的否定命题p,并求当命题p为真时,实数a的取值范围;(2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围【答案】(1)2a (2)2a 或14a 【分析】(1)根据全称命题的否定形式写出p,当命题p为真时,可转化为2min()0 xxa,当 1,2x,利用二次函数的性质求解即可;(2)由(1)可得p为真命题时a的取值范围,再求解q为真命题时a的取值范围,分p真和q假,p假和q真两种情况讨论,求解即可【详解】(1)由题意,命题p:“1,2x,20 x

21、xa”,根据全称命题的否定形式,p:“1,2x,20 xxa”当命题p为真时,2min()0 xxa,当 1,2x 二次函数2yxxa为开口向上的二次函数,对称轴为12x 故当1x 时,函数取得最小值,即2min()20 xxaa 故实数a的取值范围是2a (2)由(1)若p为真命题2a,若p为假命题2a 若命题q:“Rx,2320 xxa”为真命题 则94(2)0a,解得14a 故若q为假命题14a 由题意,p和q中有且只有一个是真命题,当p真和q假时,2a 且14a ,故14a ;当p假和q真时,2a 且14a ,故2a;综上:实数a的取值范围是2a 或14a 20已知函数()yf x的定

22、义域为 R,且对任意 a,bR,都有()()()f abf af b,且当0 x 时,()0f x 恒成立.第 12 页 共 16 页(1)证明函数()yf x是奇函数;(2)证明函数()yf x是 R 上的减函数;(3)若2(2)()0f xf x,求 x的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1x x 或2x 【分析】(1)利用特殊值求出(0)0f,从而证明()()fxf x 即可;(2)证明出121222()()()()f xf xfxxxf x12()f xx,再利用当0 x 时,()0f x 恒成立即可得解;(3)利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.【详解】(

23、1)证明:由()()()f abf af b,令0ab可得(0)(0)(0)fff,解得(0)0f,令,ax bx可得()()()f xxf xfx,即()()(0)f xfxf,而(0)0f,()()fxf x,而函数()yf x的定义域为 R,故函数()yf x是奇函数(2)证明:设12xx,且1Rx,2xR,则120 xx,而()()()f abf af b 121222()()()()f xf xfxxxf x 1222()()()f xxf xf x 12()f xx,又当0 x 时,()0f x 恒成立,即12()0f xx,12()()f xf x,函数()yf x是 R 上的减

24、函数;(3)(方法一)由2(2)()0f xf x,得2(2)()f xf x,又()yf x是奇函数,即2(2)()f xfx,第 13 页 共 16 页 又()yf x在 R 上是减函数,22xx 解得1x 或2.x 故 x的取值范围是1x x 或2x .(方法二)由2(2)()0f xf x且(0)0f,得2(2)(0)f xxf,又()yf x在 R 上是减函数,220 xx,解得1x 或2.x 故 x的取值范围是 1x x 或2x .21 如图,一个半圆和长方形组成的木块,长方形的边CD为半圆的直径,O为半圆的圆心,2AB,1AD,现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG,其底边EFAB

25、,点E在半圆上.(1)设6EOC,求三角形木块EFG面积;(2)设EOC,试用表示三角形木块EFG的面积S,并求S的最大值.【答案】(1)EFG63 3S8;(2)1 sincossincos2S,EFG的面积最大值为32 24【分析】(1)构造垂线,将EF、GH的长度进行转化,EF的长度即为EMMF的值,GH的长度即为DOOM的值,从而求解出EFGS;(2)根据第(1)问的转化方法,同理可以得出EFGS的表达式,然后将sincos看成整体进行换元,进而将面积函数转化为熟悉的二次函数,从而求解出最值.【详解】解:(1)过点G作GHEF交EF于点H,设EF交CD于点M,第 14 页 共 16 页

26、 所以31 1?cos162GHDMDOOM ,31 1?sin62EFEMMF,所以1132363 322228EFGSEFGH;(2)因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性,所以可只分析0,2时的情况,1 1?cos1 cosGHDMDOOM ,1 1?sin1 sinEFEMMF ,所以11(1cos)(1sin)22EFGSEFGH 1 sincossincos2,令sincost,0,2,故21sincos2t,sincos2sin()4t,0,2 3,444,2sin(),142,1,2t,221121224EFGttttS,函数2214tty在1,2单调递增,所以当2t 时,EFG

27、的面积最大,最大值为32 24.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用,考查了三角函数的值域问题,三角函数中第 15 页 共 16 页 sincos与sincos的联系等等,考查了学生综合应用能力.22已知点 11,A x f x,22,B xf x是函数 2sin0,02f xx图象上的任意两点,且角的终边经过点1,3P,若 124f xf x时,12xx的最小值为3(1)求函数 fx的解析式;(2)求函数 fx的对称中心及在0,上的减区间;(3)若方程 230f xf xm 在4,99x内有两个不相同的解,求实数m的取值范围【答案】(1)2sin 33fxx;(2)对称中心,039k

28、kZ;减区间:5111818,17,18;(3)112m 或100m.【分析】(1)根据函数图象性质可得参数值及函数解析式;(2)由(1)函数解析式,利用整体法求函数的对称中心及单调区间;(3)设 tf x,将方程转化为函数23ytt与ym 公共点问题.【详解】(1)解:角的终边经过点1,3P,tan3,02,3,由 124f xf x时,12xx的最小值为3,得23T,即223,3,2sin 33fxx,(2)解:令 2sin 303fxx,即3,3xkkZ,即,39kxkZ,所以函数 fx的对称中心为,039kkZ,令3232,232kxkkZ,得25211,318318kkxkZ,又因为0,x,所以 fx在0,上的减区间为5111818,17,18 第 16 页 共 16 页(3)解:4,99x,30,3x,0sin 313x,设 f xt,问题等价于方程230ttm 在0,2仅有一根或有两个相等的根 23mtt,0,2t,作出曲线2:3C ytt,0,2t与直线:l ym 的图象 16t 时,112y ;0t时,0y;2t 时,10y 当112m 或010m时,直线l与曲线C有且只有一个公共点 m的取值范围是:112m 或100m

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