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1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年山东省枣庄市滕州市高二下学期期中数学试题 一、单选题 1曲线12yxx在1x 处的切线的斜率为（）A-1 B1 C2 D3【答案】D【分析】先求解出导函数，然后代入1x 到导函数中，所求导数值即为切线斜率.【详解】因为212yx，所以12 13xy，所以切线的斜率为3.故选：D.2某班班干部有 4 名男生和 5 名女生组成，从 9 人中选 1 人参加某项活动，则不同的选法共有（）A4 种 B5 种 C9 种 D20 种【答案】C【分析】分两类：从男生中选和从女生中选，根据分类加法计数原理可得总的选法数量【详解】分两类：一类从男生中选，有 4 种
2、方法；一类从女生中选，有 5 种方法；用加法原理共有 459 种方法 故选：C 3设函数 yf x在 R 上可导，则 011lim3xfxfx 等于（）A 1f B 31f C 113f D 1f 【答案】C【分析】根据某点处的导数定义，以及导数的运算性质，即可求解.【详解】011lim1xfxffx 00111111limlim(1)333xxfxffxffxx 故选：C 4从 5 人中选 3 人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（）A6 种 B12 种 C36 种 D60 种【答案】A【分析】根据组合数的计算即可求解.第 2 页 共 15 页【详解】从 5 人中选 3 人参加座谈会
3、，其中甲必须参加，因此只需要从剩下 4 人选出两个即可，即24C6.故选：A 5若61010 xCC，则 x 的值为（）A4 B6 C4 或 6 D8【答案】C【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】61010 xCC,6x 或610 x，即6x 或4x.故选：C 6函数lnyxx的单调递增区间为（）A,1 B0,1 C1,1 D1,【答案】B【分析】由导数与单调性的关系求解【详解】函数的定义域为(0,)，11yx，令0y，解得01x，故选：B 7在411xx的展开式中，常数项为（）A1 B3 C4 D13【答案】D【分析】先把441111xxxx用二项展开式展开，再从展开的项中寻找含有常数的
4、项计算即可.【详解】411xx 411xx 234432012344444411111111CxCxCxCxCxxxx 在 222411Cxx的展开式中的常数项为24212C xx，在44411Cx的展开式中的常数项为44411C，其余的项都没有常数项，所以在411xx的展开式中，常数项为12 1 13.故选：D.第 3 页 共 15 页 8已知12ln24ln4abece，则 a，b，c 的大小关系为（）Aacb Bcab Cabc Dbac【答案】A【分析】转化ln2ln,2eabe22ln22ece，结合ln()xf xx的单调性，分析即得解【详解】由题意，1ln2lnln2,2eabe
5、e 222222ln2(4ln4)2(2ln2)2(lnln2)2eceeeee 令2ln1 ln(),()xxf xfxxx 令()0,0fxxe，故()f x在(0,)e单调递增；令()0,fxxe，故()f x在(,)e 单调递减；由于02e，故(2)(),ff e即ln2ln,2eabe；由于22ee，故2()(),2eff e即22lnln2,2eecbee；又22422ln2ln222lnln22eeaeec 又2222222424222122eeteeattacc 时 故acb 故选：A 二、多选题 9函数 yf x的导函数 yfx的图象如图所示，则（）第 4 页 共 15 页
6、A函数 yf x在 x3 处取得最小值 Bx0 是函数 yf x的极值点 C yf x在区间3,1上单调递增 D yf x在 x1 处切线的斜率大于零【答案】ACD【分析】根据导函数的图象，结合极值和最值的定义逐一判断即可.【详解】由函数的导函数的图象可知：当(,3)x 时，0fx，当(3,0)x 时，0fx，当,()0 x时，0fx，因此函数 f x的单调递减区间为(,3)，单调递增区间为(3,0)，(0,).当3x 时，函数 f x有最小值，故选项 A 正确；因为函数 f x的单调递增区间为(3,0)，(0,)，所以 x0 不是函数 yf x的极值点，因此选项 B 不正确；因为函数 f x
7、的单调递增区间为(3,0)，(0,)，而(0)f有意义，所以 yf x在区间3,1上单调递增，因此选项 C 正确；因为 10f，所以 yf x在 x1 处切线的斜率大于零，因此选项 D 正确，故选：ACD 10对任意实数x，有9230123(23)(1)(1)(1)xaa xaxax 99(1)ax，则（）A2144a B01a C01291aaaa D901293aaaa【答案】AC【分析】9(23)x 9 12(1)x ，利用二项展开式的通项即可求得2a，即可判断 A；令1x，可得0a，即可判断 B；令2x，可得0129aaaa，即可判断 C，令0 x，可得0129aaaa，即可判断 D.
8、【详解】解：对任意实数x，有923901239(23)(1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax 9 12(1)x ，所以2229C2144a ，故 A 正确；第 5 页 共 15 页 令1x，可得01a ，故 B 错误；令2x，可得01291aaaa，故C 正确；令0 x，可得901293aaaa，故D 错误.故选：AC.11下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（）A3333201834520212022CCCCC B11AAAmmmnnnm C5142332411004951495149514951CC CC CC CC C D11A1 Ammnnm【答案】AB【分析】根据组合数公
9、式及性质判断 A，根据排列数公式判断 B、D，根据组合数的实际意义判断 C；【详解】解：对于 A：根据11CCCmmmnnn，CCmn mnn，所以33333452021CCCC 33345414202CCCC 3304552 21CCC 24420183320 12022202266CCCCC，故 A 正确；对于 B：1!AA!1!mmnnnnmmnmnm 1!1!1!nmnnmnmnm 11!A1!mnnnnm，故 B 正确；对于 C：5100C可以看做盒子里有49个不一样的红球与51个不一样的白球共100个球从中取5个球的取法种数，则可能取出0个红球与5个白球有491055C C种取法，
10、1个红球与4个白球有144951C C取法，2个红球与3个白球有234951C C种取法，3个红球与2个白球有324951C C种取法，4个红球与1个白球有414951C C种取法，5个红球与0个白球有491505C C种取法，故5142332411004951495149500149514951495155CC CC CC CC CC CC C，故 C 错误；第 6 页 共 15 页 对于 D：111!A!mnnnm，!A!mnnnm，所以111!A!mnnnnm，故11A1 Ammnnn，即 D 错误；故选：AB 12已知函数 2ln2af xx xx有两个极值点1x，212()xxx，则
11、（）Aa 的取值范围为（，1）B122xx C12112xx D2111xxa【答案】BCD【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出a的取值范围，进而确定12,x x的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.【详解】由题设，()ln1fxxax 且定义域为(0,)，则1()axfxx，当0a 时()0fx，则()fx单调递增，不可能存在两个零点，即()f x不可能存在两个极值点，A 错误；当10 xa时()0fx，即()fx单调递增，当1xa时()0fx，即()fx单调递减，即1()()lnfxfaa，当1a 时，max1()ln0fxa，所以()fx至多有一个
12、零点；当01a时，max1()ln0fxa，而(1)10fa，当x趋向于 0 时()f x趋于负无穷大，当x趋向于正无穷时()f x趋于负无穷大，综上，01a，()fx在(0,1),(1,)内各有一个零点1x，212()xxx且12101xxa，B：由1()0fa且x趋向于 0 时()fx趋于负无穷大，所以1210 xxa，故121xaa，令221()()()ln()2ln2(0,)g xfxfxxxax xaaa，2112(1)()22(2)axg xaxx axxa，又1(0,xa，所以()0,g x()g x单调递减，故当11xa时，1111()()()()0g xgffaaa，又1()
13、0fx，所以11111222()ln()()1()()0fxxaxfxg xaaa，第 7 页 共 15 页 而2()0fx，因此121221222()()2fxfxxxxxaaa，故正确；C：1 ln()ln10 xfxxaxax，令1 ln()xF xx，显然有12()()F xF x，令121211,ttxx，显然12tt，因此有：12112212111 ln1 ln(1 ln)(1 ln)11tttttttt，设()(1ln)lnh xxxxxx，则()lnh xx，当1x 时，()0,()h xh x单调递减，当01x时，()0,()h xh x单调递增，因为12()()h th t
14、，所以2101tt，令()()(2)(0,1)xh xhx x，即22()()(2)lnln 2ln(2)ln1(1)xh xhxxxxxx ，因为(0,1)x，所以()0,()xx单调递增，因为2101tt，所以22222()()(2)(1)0()(2)th thth tht，而12()()h th t，所以12()(2)h tht，因为2101tt，所以221t，当1x 时，()h x单调递减，因此有121222tttt，即12112xx，正确；D：由12101xxa，则1210 xxa，故2111xxa，正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：构造函数2()()()g xfxfxa1(0,)
15、xa、()(1ln)lnh xxxxxx、()()(2)(0,1)xh xhx x，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解.三、填空题 13已知函数 sinf xxax在3x处取得极值，则 a_.【答案】12-0.5【分析】根据极值点处的导数值等于 0 即可求解.【详解】由 sinf xxax知：cosfxxa.因为3x 是 sinf xxax的极值点，第 8 页 共 15 页 故1cos0332faa 故答案为:12 14“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，则第 10
16、条斜线上，各数之和为_.【答案】55【分析】根据数字之间的关系找到规律，然后进行求解即可.【详解】因为从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，所以可以判断从第三个数开始，每个数是它前两个数的和，所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，因此第 10 条斜线上，各数之和为55，故答案为：55 15如图，在数轴上，一个质点从原点 O出发，每次向左或向右移动一个单位，则移动6 次，质点恰好位于2 的方式有_种.【答案】15.【分析】根据题意，结合组合的定义进行求解即可.【详解】因为一个质点从原点 O出发，每次向左或向右移动一个单位，则移动 6 次，质点恰好位于2
17、，所以质点必须向左移动四次，向右移动两次，因此移动 6 次，质点恰好位于2 的方式有4262C C15，故答案为：15 16若函数 1 ln1f xxxx有三个零点1x，2x，3x，且123xxx，则3122331xxxxxx的取值范围为_.（写成区间形式）第 9 页 共 15 页【答案】(,64)【分析】对函数进行整理，构造(1)()ln1xg xxx，结合零点个数及单调性求出2，求出32101xaxbx 且311xx，利用基本不等式得到122331()()()8xxxxxx，从而得到答案【详解】解：因为 1 ln1f xxxx，所以 1 1 ln11 101f，令(1)ln(1)0 xxx
18、，(0)x，即(1)ln01xxx，(0)x，令(1)()ln1xg xxx，(0)x，则 10g，22212(22)1()(1)(1)xxg xxxx x，(0)x，令2()(22)1h xxx，(0)x，要想()g x除 1 外再有两个零点，则()g x在(0,)上不单调，则22(22)4480，解得2 或0，当0时，()0g x在(0,)恒成立，则()g x在(0,)单调递增，不可能有两个零点，舍去；当2 时，设()0g x即()0h x 的两根为a，b，且ab，则有12(1)0abab，故01ab，令()0g x，解得xa或xb，令()0g x，解得axb，所以()g x在(0,)a，
19、(,)b 上单调递增，在(,)a b上单调递减，因为123xxx，所以32101xaxbx，又因为1(1)11(1)lnln()111xxgxg xxxxx ，若()0g x，则1()0gx，因为13()()0g xg x，所以311xx，所以122331111111111111()()()(1)(1)()(2)()xxxxxxxxxxxxxx 111111(22)28xxxx，因为2，所以38，故3122331()()()64xxxxxx 检验：当2 时，2(1)()ln(0)1xg xxxx，22214(1)()0(1)(1)xg xxxx x，此时()g x在(0,)上单调递增，又 10
20、g，即1231xxx，第 10 页 共 15 页 此时为临界情况，3122331()()()64xxxxxx，综上，3122331()()()xxxxxx的取值范围为(,64)故答案为：(,64)四、解答题 17甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门求：(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？【答案】(1)24(2)30【分析】（1）先确定相同的课程，然后再各选一门不同的，由此计算出不同的选法数.（2）利用对立事件来计算出不同的选法数.【详解】(1)先确定相同的那一门，有14C种，再甲、乙各选一门不同的，有23A种，则选
21、法种数共有1243C A24(种)(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为2244CC，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为24C种，因此满足条件的不同选法种数为222444CCC30(种).18 商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求的值；(2)若商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【答案】(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：2
22、22()(3)10(6)2 10(3)(6),363f xxxxxxx；/2()10(6)2(3)(6)30(4)(6)fxxxxxx，令/()0fx 得4x 函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为 42.第 11 页 共 15 页【详解】(1)利用销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克把 x=5,y=11 代入,解关于 a 的方程即可求 a.(2)在（1）的基础上，列出利润关于 x 的函数关系式，利润=销售量（销售单价成品单价），然后利用导数求其最值即可.19已知12nxx展开式前三
23、项的二项式系数和为 22.(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项【答案】(1)60(2)3240 x【分析】（1）利用通项公式求解展开式中的常数项即可.（2）不妨设第1k 项系数最大，利用最大项的系数不小于相邻两项的系数列式求出k的取值范围，由k为整数确定出k的值，进而求出最大项.【详解】(1)由题意，12nxx 展开式前三项的二项式系数和为 22.前三项二项式系数为:01211222nnnn nCCCn ，解得:6n 或 7n (舍去).即 n 的值为 6.由通项公式 366621661(2)2kkkkkkkTCxCxx,令 3602k,可得:4k.展开式中的常数项为 126
24、46 424 16260TCx(2)设第项系数最大，则61766615662222kkkkkkkkCCCC 解之得4733k kZ 展开式中系数最大的项为 24332 162240TCxx 20已知曲线32()2f xxxx 第 12 页 共 15 页（1）求曲线()yf x在2x 处的切线方程；（2）求曲线()yf x过原点O的切线方程【答案】（1）580 xy；（2）yx或0y.【解析】（1）求得()f x的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）设切点为32(,2)m mmm，可得切线的斜率和方程，代入原点，可得m的值，即可得到所求切线方程【详解】解：（1）32()2
25、f xxxx的导数为2()341fxxx，可得曲线()yf x在2x 处的切线斜率为12815，切点为(2,2)，可得切线方程为25(2)yx，即为580 xy；（2）设切点为32(,2)m mmm，可得切线的斜率为2341mm，即有切线方程为322(2)(341)()ymmmmmxm，代入(0,0)，可得322(2)(341)()mmmmmm，解得0m 或1m，当0m 时，可得切线方程为yx；当1m 时，可得切线方程为0y 综上可得所求切线方程为yx或0y 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，注意切点的确定，考查方程思想和运算能力，属于基础题 21已知函数 2ln3f xxxx.(1)求
26、函数 f x的极小值；(2)对于任意1x，21,2x，当12xx时，不等式 211212m xxf xf xx x恒成立，求实数 m的取值范围.【答案】(1)2；(2)6m.【分析】（1）根据导数的性质，结合极小值的定义进行求解即可；（2）根据不等式的形式，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】(1)由 221231(21)(1)ln323xxxxfxxxxfxxxxx，第 13 页 共 15 页 当1(0,)2x时，0,fxf x单调递增，当1(,1)2x时，0,fxf x单调递减，当(1,)x时，0,fxf x单调递增，当1x 时，函数 f x有极小值点，极小值为 21ln1 1
27、3 12f ；(2)211212121212m xxmmmmf xf xf xf xx xxxxx，构造函数 2ln3mmg xf xxxxxx，即 12g xg x，因为任意1x，21,2x，当12xx时，不等式 211212m xxf xf xx x恒成立，所以函数 g x在 1,2x上单调递减，即 21230mgxxxx 在 1,2x上恒成立，由 322123023mgxxmxxxxx ，设 322211236616()22h xxxxh xxxx ，因为 1,2x，所以 131h x，所以函数 3223h xxxx 单调递减，故 min(2)6h xh，因此6m.【点睛】关键点睛：构造
28、函数利用导数的性质进行求解是解题的关键.22已知函数 21ln2f xxax，21e112xg xxaxax，(1)讨论函数 yf x的单调性；(2)若对于定义域内任意x，f xg x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2),0【分析】（1）求出函数 f x的定义域，分0a、0a 两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数 f x的增区间和减区间；（2）由参变量分离法可得出ln1e1xxax对任意的0 x 恒成立，构造函数 ln1e1xxm xx，其中0 x，则 minam x，利用导数分析函数 m x的单调性，求出函数 m x的最小值，即可得出实数a的取值范围.第 14
29、 页 共 15 页【详解】(1)解：函数 21ln2f xxax的定义域为0,，211axfxaxxx.当0a 时，对任意的0 x，0fx，此时函数 f x的单调递增区间为0,，无递减区间；当0a 时，由 0fx，可得0axa；由 0fx，可得axa.此时函数 f x的增区间为0,aa，减区间为,aa.综上，当0a 时，函数 f x的单调递增区间为0,，无递减区间；当0a 时，函数 f x的增区间为0,aa，减区间为,aa.(2)解：对任意的0 x，f xg x，即2211lne1122xxaxxaxax，可得ln1e1xxax对任意的0 x 恒成立，构造函数 ln1e1xxm xx，其中0
30、x，则 minam x，222lnelnexxxxxm xxx，构造函数 2elnxh xxx，其中0 x，则 212e0 xh xxxx，所以，函数 h x在0,上单调递增，因为1ln204e2h，1e0h，所以，存在01,12x，使得 02000eln0 xh xxx，当00 xx时，0m x，函数 m x单调递减，当0 xx时，0m x，函数 m x单调递增，所以，000min0eln11xxxm xx，因为 02000eln0 xh xxx，则001ln0000001111elnlnelnxxxxxxxx，构造函数 exp xx，其中0 x，则 1 e0 xp xx，所以，函数 exp xx在0,上为增函数，第 15 页 共 15 页 因为01,12x，则0112x，则01ln0 x，由001ln001eelnxxxx可得 001lnp xpx，所以，0001lnlnxxx，所以，0000lnlne0 xxxx，可得00e1xx，所以，0000min0011eln1110 xxxxm xxx ，0a.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）xD，minmf xmf x；（2）xD，maxmf xmf x；（3）xD，maxmf xmf x；（4）xD，minmf xmf x.