《2021-2022学年山东省日照市校际联考高二下学期期中数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年山东省日照市校际联考高二下学期期中数学试题(解析版).pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年山东省日照市校际联考高二下学期期中数学试题 一、单选题 1数列2 3 4 513 5 7 9，的一个通项公式是（）A21nnan B21nnan C23nnan D23nnan【答案】B【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21nnan.故选：B 2若函数 2sinfxaxx，则 0f（）A1 B0 C1 D3【答案】C【分析】求出导函数，令0 x 即可得解.【详解】解：因为 2cosfxaxx，所以 01f.故选：C.3等比数列 na中，1238a a a ，516a，则公比为
2、（）A2 B2 C4 D4【答案】A【分析】根据等比数列的性质可求得2a，再根据352aqa即可得解.【详解】解：设公比为q，因为1238a a a ，所有328a，则22a ，所以3528aqa，解得2q .故选：A.4若曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线与直线0axy平行，则a（）A1 B1 C2 D2【答案】C【分析】利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可.第 2 页 共 15 页【详解】由111lnxxyexyex，显然(1,1)在曲线1lnxyex上，所以曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线的斜率为1 1121e，因此切线方程为：12(1)21yxyx，直线0ax
3、y的斜率为a，因为曲线1lnxyex在点(1,1)处的切线与直线0axy平行，所以22aa ，故选：C 5在等差数列na中，123aa，567aa，则910aa（）A8 B9 C10 D11【答案】D【分析】根据等差数列的性质，得出1291056()()2()aaaaaa，即可求解.【详解】根据等差数列的性质，可得1291056()()2()aaaaaa，所以91027311aa，故选：D.6一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移 s 与时间 t 的关系是3215632sttt，那么速度为零的时刻是（）A1 秒末 B2 秒末 C3 秒末 D 2 秒末或 3 秒末【答案】D【解析】求
4、出导数s，然后解方程0s 可得【详解】3215632sttt，2()56vs ttt.令0v，得2560tt，解得2t 或3t.故选：D.7 已知 fx是定义在0,上的单调函数，fx是 fx的导函数，若对0,x 都有 23xff x，则方程 40fxx的解所在的区间是（）A1,2 B2,3 C3,4 D5,8【答案】A【分析】利用换元法求出函数的解析式及导数法则，再利用函数零点的存在性定理即可求解.【详解】由题意可知，对任意的0,x，都有 23xff x.第 3 页 共 15 页 则 2xf x 为定值.设 2xtf x，则 2xf xt.又由 3f t，即23tt.可解得1t.则 21xf
5、x，2 ln2xfx.442 ln2xfxxx.令 42 ln2xh xx，2242 ln 20 xh xx，故 h x在0,上单调递增，又由 12ln 240h，24ln 2 10h.故 h x的唯一零点在区间1,2之间.则方程 40fxx的解在区间1,2上.故选:A.8已知数列 na的前n项和2nSn，将数列 na依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则 2023 在第几组（）A8 B9 C10 D11【答案】B【分析】先求出 na的通项公式，从而求出前m组的个数和，确定出 2023 所在组数.【详解】因为数列 na的前n项和2nSn，当1n 时，11a；当2n时，221121nnnaSS
6、nnn，当1n 时21nan也成立，故21nan，令212023n，解得：1012n，故 2023 为数列 na的第 1012 项，依题意将数列 na依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则前m组一共有1212 1 2222221 2mmm个数，当8m 时，即前 8 组有922510个数；当9m时，即前 9 组有10221022个数；故第 1012 项在第 9 组；故选：B.二、多选题 9下列求导数运算正确的有（）第 4 页 共 15 页 A(sin)cosxx B211()xx C31(log)3lnxx D1(ln)xx 【答案】AD【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误.【详
7、解】A：(sin)cosxx，故正确；B：211()xx ，故错误；C：31(log)ln3xx，故错误；D：1(ln)xx，故正确.故选：AD 10（多选）设数列 na是等差数列，公差为 d，nS是其前 n 项和，10a 且69SS，则（）A0d B80a C7S或8S为nS的最大值 D56SS【答案】BC【解析】根据69SS得到80a，再根据10a 得到0d，可得数列 na是单调递减的等差数列，所以7S或8S为nS的最大值，根据6560SSa得65SS，故 BC 正确.【详解】由69SS得，960SS，即7890aaa，又7982aaa，830a，80a，B 正确；由8170aad，得17
8、ad ，又10a，0d，数列 na是单调递减的等差数列，0,70,9nnanNnanNn，7S或8S为nS的最大值，A 错误，C 正确；6560SSa，65SS，所以 D 错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a，进而推出0d 是解题关键.第 5 页 共 15 页 11已知正项数列 na满足：13nnaa，nS是 na的前n项和，则下列四个命题中正确的是（）A113nnaa B31 39kkkkSS C131222nnSaa n D1nnaa是递增数列【答案】ABC【分析】对于 A，根据13nnaa和0na 迭代可得结果，对于 B，由于 1212221223312kkkkkk
9、kkkkaaaaaaaaaSSaaa，结合13nnaa化简即可，对于 C，由已知可得13nnaa，223nnaa，113nnaa，相加化简即可，对于 D，举例判断【详解】对于 A，由已知得2311213333nnnnnaaaaa，故 A 正确；对于 B，1212221223312kkkkkkkkkkaaaaaaaaaSSaaa 1222122312121kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa，由 113kkaa，223kkaa，23kkkaa，2119kkaa，2229kkaa，39kkkaa；得 31 39kkkkSS，故31 39kkkkSS，故 B 正确；对于 C，由 A 知，1133
10、nnnnaaaa，223nnaa，113nnaa，所以 1212111133333nnnnnnnnnnaaaSaaaaa 11133131312232213nnnnnnaaaaa故 C 正确；对于 D，若 na是等比数列且14nnaa，则1nnaa是常数列，故 D 错误，故选：ABC.12 Sigmoid 函数 11exS x是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数记 Sx为 Sigmoid函数的导函数，则下列结论正确的是（）第 6 页 共 15 页 A 1SxS xS x BSigmoid 函数的图象是中心对称图形 C函数 Sx的图象是轴对称图形 DSi
11、gmoid 函数是单调递增函数，函数 Sx是单调递减函数【答案】ABC【分析】对于 A：直接求导，即可判断；对于 B：直接求出10,2为 Sigmoid 函数的一个对称中心；对于 C：设 g xSx，由 gxg x，即可判断；对于 D：由 Sx的图象是轴对称图形即可判断【详解】对于 A：由题意得 2e1 exxSx，故 1SxS xS x，选项 A 正确；对于 B：因为11exSx，111exS x，所以 1SxS x，所以 Sigmoid 函数的图象的对称中心为10,2，选项 B 正确；对于 C：设 g xSx，则 22222eeee1e1ee1exxxxxxxxgxg x，所以函数 Sx的
12、图象是轴对称图形，选项 C 正确；对于 D：由 C 可知，由 Sx的图象关于 y 轴对称，可知函数 Sx不单调，故选项 D错误 故选：ABC 三、填空题 13已知数列 na为等差数列且 a5=2，则其前 9 项和 S9=_.【答案】18【解析】根据等差数列的性质及前 n 项和公式，即可求得答案.【详解】因为数列 na为等差数列，所以199559()9291822aaSaa，故答案为：18 14已知函数 f x的导函数为 fx，且 fxx，则 011limxfxfx _.第 7 页 共 15 页【答案】1【分析】根据导数的定义即可得出答案.【详解】解：由导数的定义知 011lim11xfxffx
13、.故答案为：1.15“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成 9 个边长为13的小正方形，保留靠角的 4 个小正方形，记 4 个小正方形面积之和为1S：然后，将剩余的 4 个小正方形分别继续 9等分，分别保留靠角的 4 个小正方形，记 16 个小正方形面积之和为2S；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃.若121725nSSS，则操作次数n的最小值为_.【答案】3【分析】由已知得49nnS，再由等比数列的求和公式建立不等式，由函数 49xf x的单调性即可得答案.【详解】解：1S是边长为13的 4 个正
14、方形的面积之和，故1214439S；2S是边长为213的24个正方形的面积之和，故2222214439S；以此类推得：214439nnnnS 从而12124444444179914999592519nnnnnSSS，所以43920nn，函数 49xf x关于x单调递减，且2n 时，22416398120，3n时，334643972920，故n最小值取 3.第 8 页 共 15 页 故答案为：3.16已知x轴上的点11,0A、25,0A、,0nnA a满足1112nnnnA AAA，射线0yx x上的点13,3B、25,5B、,nnnBb b满足12 2nnOBOB，*nN，则四边形11nnnn
15、A ABB的面积nS的取值范围为_【答案】9,12【分析】先通过点,0nnA a满足1112nnnnA AAA可得1nnaa为等比数列，求其通项公式，进而可得点4(92,0)nnA，再利用,nnnBb b满足12 2nnOBOB可得(21,21)nBnn，则根据11nnnnOABOA BSSS可将面积用n表示，再通过判断数列的单调性可得面积的取值范围.【详解】由x轴上的点11,0A、25,0A、,0nnA a满足1112nnnnA AAA 得111()2nnnnaaaa，2n，又214aa，则1nnaa是以 4 为首项，12为公比的等比数列，1114()2nnnaa，124121111()12
16、().()14.4()14921212nnnnnnaaaaaa ，又11a 符合上式，4(92,0)nnA，因为射线0yx x上的点13,3B、25,5B、,nnnBb b满足12 2nnOBOB 又112,2nnnnOBbOBb 1222 2nnbb，12,nnbb又1()3,3B，21nbn，(21,21)nBnn，第 9 页 共 15 页 则311(92,0),(23,23)nnnABnn，四边形11nnnnA ABB的面积为11nnnnOABOA BSSS，即34311184(92)(23)(92)(21)()2992222nnnnnSnnn，令84()2nng n，nN，则184(1
17、)2nng n 1848464(1)()222nnnnnng ng n，当1n 时，(2)(1)gg 当2n时，(1)()g ng n，则84()2nng n的最大值为28 24(2)32g，又(1)2g，且84()02nng n，所以 03g n，而84()992nnSg n，故912S，所以四边形11nnnnA ABB的面积nS的取值范围为9,12.故答案为：9,12 四、解答题 17已知 na是等差数列，其中222a，84a.(1)求 na的通项公式；(2)设数列 na的前n项和为nS，求nS的最大值.【答案】(1)283nan(2)117【分析】（1）设等差数列 na的公差为d，然后根
18、据已知条件列方程求出1,d a，从而可求出其通项公式，（2）由通项公式可求得当9n时，0na；当10n时，0na，从而可得9n 时，nS最大，进而可求出其最大值【详解】(1)设等差数列 na的公差为d，因为826aad，222a，84a，所以4226d，第 10 页 共 15 页 所以3d，125a，所以283nan.(2)因为283nan，令28 30n，得193n，所以当9n时，0na；当10n时，0na，故当9n 时，nS最大，且最大值为 9125 99 831172S .18已知函数()lnf xaxx aR.（1）当2a 时，求函数()f x的极值；（2）若对0,x，()0f x 恒
19、成立，求a的取值范围.【答案】（1）极小值为1 ln2，无极大值；（2）1,e.【分析】（1）对函数 f x进行求导、列表、判断函数 f x的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对 0f x 进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出a的取值范围即可.【详解】（1）函数()f x的定义域为0,，当2a 时，121()2(0)xfxxxx.由()0fx，得12x.当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表 x 10,2 12 1,2()fx-0+()f x 单调递减 极小值 单调递增 所以()f x在10,2上单调递
20、减，1,2上单调递增，所以函数()f x的极小值为11ln22f，无极大值.（2）对0,x，()0f x 恒成立，即对0,x，ln xax恒成立.令ln()xh xx，则21 ln()xh xx.由()0h x 得xe，第 11 页 共 15 页 当0,xe时，()0h x，()h x单调递增；当,xe时，()0h x，()h x单调递减，所以 max1()h xh ee，因此1ae.所以a的取值范围是1,e.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.19在3nnba；21221loglognnnbaa这两个条件中
21、任选一个，填写在下面问题横线处，并完成问题的解答.问题：已知数列 na是首项为 1 的等比数列，且2a是12a 和31a 的等差中项.(1)求数列 na的通项公式；(2)记_，求数列 nb的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)12nna(2)答案见解析【分析】（1）利用2a是12a 和31a 的等差中项列出含q的方程，即可求解出q，即可由定义公式写出通项；（2）选，nT可采取分组求和，利用公式求和即可；选，11nbnn，利用裂项相消法求和即可.【详解】(1)设公比为q，则213221aaa，即22121qq，得2q，故通项公式为12nna；(2)如果选：
22、1323nnnba，1112.1 32323nnnTbbb 111 2122332311 2nnnnnn 如果选：21221111loglog11nnnbaannnn 故12.nnTbbb 11111111111122312231nnnn 1111nnn 第 12 页 共 15 页 20设各项非负的数列 na的前n项和为nS，已知212nnSan*()nN，且235,a a a成等比数列.(1)求 na的通项公式；(2)若12nnnaab，数列 nb的前n项和nT.【答案】(1)1nan(2)1242nnnT【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn得出na的递推关系，从而得数列从第 2 项起为
23、等差数列，结合等比数列的性质可求得2a，这样可得通项公式(2)na n，然后由已知式中令1n 求得1a，比较后可得结论；（2）用错位相减法求和【详解】(1)当1n 时，21221aa，当2n时，212nnSan，212(1)nnSan.-得22121nnnaaa，即2221211nnnnaaaa，0na，11nnaa，数列 na从第 2 项起是公差为 1 的等差数列.22(2)naann，又2a，3a，5a成等比数列，2325aa a，即222213aaa，解得21a，121(2)nannn，21221aa，10a，适合上式，数列 na的通项公式为1nan.(2)12nnnb，数列 nb的前n
24、项的和为 01221123122222nnnnnT 123111231222222nnnnnT-得 第 13 页 共 15 页 211111122222nnnnT 111122221222212nnnnnnnn，1242nnnT.21如图所示，两村庄A和B相距10km，现计划在两村庄外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造自来水厂，并沿线段CA和CB铺设引水管道.根据调研分析，CA段的引水管道造价为2万元/km，CB段的引水管道造价为m万元/km，设kmCAx，铺设引水管道的总造价为y万元，且已知当自来水厂建在半圆弧AB的中点时，30 2y.(1)求m的值，并将y表示为x的函数；(2)分析y
25、是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)4m，224 100yxx，其中010 x；(2)存在，且y的最大值为20 5.【分析】（1）求得2100BCx，根据已知条件求出x的取值范围，根据题意得出22100yxmx，将5 2x 代入函数解析式可求得m的值，由此可得出y表示为x的函数关系式；（2）利用导数分析函数224 100yxx在0,10上的单调性，由此可得出结论.【详解】(1)解：因为AB为半圆弧的直径，则90ACB，则222100BCABACx，由题意可得201000 xx，可得010 x，所以，22100yxmx，其中010 x，当点C在AB的中点时，5
26、 2x，此时5 2 230 2ym，解得4m，因此，224 100yxx，其中010 x.(2)解：因为224 100yxx，其中010 x，则第 14 页 共 15 页 2222100242100100 xxxyxx，因为函数 21002f xxx在0,10上为减函数，由 0f x 可得2 5x，当02 5x时，22210020100 xxyx，此时函数224 100yxx单调递增，当2 510 x时，22210020100 xxyx，此时函数224 100yxx单调递减，故当2 5x 时，函数224 100yxx取最大值，即max20 5y.22已知函数 lng xx，exh x.(1)设
27、 211f xg xx，求函数 f x的单调区间；(2)若1x 是函数 2xg xxax的一个极值点，求a的值；(3)设直线l为函数 g x图象上任意一点00,A x y处的切线，在区间1,上是否存在0 x，使得直线l与函数 h x表示的曲线也相切？若存在，满足条件的0 x有几个，说明理由.【答案】(1)f x的单调递增区间为0,1，1,，无单调递减区间(2)3(3)存在唯一的0 x，理由见解析【分析】（1）先求定义域，再求导，结合导函数恒大于 0，得到递增区间，无递减区间；（2）求定义域，求导，利用1x 是极值点，得到方程，求出a的值，检验得到结果；（3）设出切点，表达出切线方程，得到000
28、1ln1xxx，然后利用第一问的结论和零点存在性定理证明区间1,上0 x存在且唯一【详解】(1)211ln11xf xg xxxx，定义域为 0,11,，22101xx xfx，所以函数 f x的单调递增区间为0,1，1,，无单调递减区间.(2)2xg xxax的定义域是0,，且 12xxax 由已知得：01，第 15 页 共 15 页 120a，3a.经验证，3a 时符合题意.所以3a.(3)由lnyx得1yx，所以切线l的方程为0001lnyxxxx，即001ln1yxxx，设直线l与曲线 exh x 相切于点11,exx，因为 eexx，所以101exx，所以10lnxx，所以直线的方程可以写为00011lnyxxxx，即0000111lnyxxxxx，由得000011ln1lnxxxx，所以0001ln1xxx，下面证在区间1,上0 x存在且唯一.由（1）知 11lnxfxxx在1,上单调递增，又 e12elne0e1e1f，22222e1e3e20e1e1f，所以 0f x 必在区间2e,e上有唯一的实根，即在区间1,上存在唯一的0 x，使得直线l与曲线lnyx，exy 均相切.【点睛】求解切线方程的题目，当不知道切点时，要设出切点，求解切线方程，再利用条件得到等量关系，进行求解.