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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年河北省邢台市第二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1直线+20mx y 的倾斜角为 135，则m（）A1 B1 C22 D22【答案】B【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】由已知得直线的斜率tan135=1km ，1m，故选：B.2下列四个数中，哪一个是数列(1)n n中的一项（）A342 B224 C130 D39【答案】A【分析】观察哪个选项中的数值可以用相邻两个正整数的积表示即可.【详解】18 19=342，其他选项的数值都不能用相邻两个正整数的积表示，故选:A.3已知空间向量521m，1,0,1n，则m在n上的投影向量为（
2、）A1,0,1 B2,0,2 C0,1,1 D0,2,2【答案】B【分析】通过公式2mnnn可得投影向量.【详解】因为5,2,1m，1,0,1n，所以50 14m n.又2n，所以42 22nm n，故m在n上的投影向量为2 222,0,22nn 故选：B.4在四面体 ABCD 中，E是 CD的中点，G是 BE 靠近点 B的三等分点，则AG（）第 2 页 共 16 页 A211366ABACAD B211366ABACAD C211+366ABACAD D211366ABACAD【答案】C【分析】先放到三角形ABG中解决，然后用共线向量转化成BE，然后在三角形BCD中解决.【详解】在四面体 A
3、BCD中，E是 CD的中点，G是 BE的靠近点 B的三等分点，则 111()3321211()6366AGABBGABBEABBCBDABACABADABABACAD 故选：C.5已知直线:+120l x aya 和圆22:230C xyy，则直线l与圆C的位置关系为（）A相离 B相切 C相交 D不能确定【答案】C【分析】求出直线过的定点，判断定点和圆的位置可得答案.【详解】直线方程整理为1+(2)0 xa y，即直线过定点(1,2)P，而22(1)24320 ，所以定点P在圆C内，直线l与圆C相交.故选：C.6若数列na是等差数列，且24672aaa，则6103aa（）A51 B48 C45
4、 D42 第 3 页 共 16 页【答案】B【分析】通过观察下角标的关系，利用等差数列的下角标的性质计算得答案.【详解】由题知，2464372aaaa 424a 61066106243+2=+=2=48aaaaaaaa.故选:B.7双曲线2221(0)9xybb的一条渐近线方程为12430,xyFF分别为该双曲线的左、右焦点，点P为双曲线上的一点，则2164PFPF的最小值为（）A38 B22 C10 D8【答案】C【分析】根据双曲线方程的渐近线求出b，根据,a b c的关系可求出c，利用基本不等式可求2164PFPF的最小值.【详解】由一条渐近线方程为43yx得4433bb，2165ca.由
5、双曲线定义可知，126PFPF，要使2164PFPF的值最小，则1PF应尽可能大，2PF应尽可能小，故点 M 应为双曲线右支上一点，故126PFPF，即216PFPF.故21111164646462610PFPFPFPFPFPF，当且仅当1164=PFPF即18PF 时等号成立，此时2162PFPFca，故可以取到等号2164PFPF取得最小值为 10.故选：C.8 已知数列 na的前n项和nS满足22nnaS，数列 nb的前n项和为nT，其通项公式为45nbn.若对*n N，使得5()+32nnTSaa成立，则实数a的取值范围是（）A31a B3a 或1a C13a D1a 或3a【答案】D
6、 第 4 页 共 16 页【分析】1nnnaSS求出na的递推，所以能求nS，nb为等差数列，根据等差数列的前n项和求出nT，然后再求53+nnTS最小值即可.【详解】当1n 时，112nnSa 得111112aSa，123a，当2n时，111122nnSan，111122nnnnnaSSaa，1123nnaan，数列 na为首项为123a，公比为13q 的等比数列，23nna，113nnS ，45nbn，nb为等差数列，2145232nnTnnn，211+10153533nnnnnTS，记211()101533nf nnn，当 n*N时，f n为n的单调递增函数，min13f nf 5()+
7、32nnTSaa恒成立等价于(2)3aa，解得13aa或，故选：D 二、多选题 9已知空间中四个点0,2,0,2,1,0,1,0,0,0,1,1DNMP，则下列结论正确的是（）APMPD=0 BPD与NM夹角为3 C平面 PDM的一个法向量为2,1,1n D点N到平面PDM的距离为62【答案】ACD【分析】对于 A 项直接根据空间向量的数量积求解即可.对于 B 项，代入两个向量夹角公式求解即可.对于 CD 项，根据法向量公式的求法求出法向量，根据距离公式求解距离,【详解】由0,2,0,2,1,0,1,0,0,0,1,1DNMP，得1,1,1,0,1,1,1,1,0PMPDNM .所以 PMPD
8、=0 故 A 正确 11cos,222PD NMPD NMPDNM ，又,0,PD NM，故PD与NM夹角为23，故 B错误 第 5 页 共 16 页 设平面PDM的一个法向量为,nx y z，由00n PMn PD，得00 xyzyz，不妨令1z，则2,1,1n.设点N到平面PDM的距离为d，则62NM ndn.故 CD 正确，故选：ACD 10已知数列 na为等差数列，公差为d，nS为其前n项和，若满足130S且140S，则下列说法正确的是（）A0d B70a C310SS D当且仅当 n=7 或 8 时，nS取得最大值.【答案】ABC【分析】根据已知条件列方程和不等式，化简后对四个说法进
9、行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意11311413021402aaaa，711378114200,00aaaaaaa，所以7870,0aaadd，所以 A 正确，B 正确.10345478910770SSaaaaaaaa，所以 C 正确.由于70,0ad，所以数列 na的前6项都为正数，从第 8 项开始是负数，所以当且仅当6n 或 7 时，nS取得最大值 故 D 错误 故选：ABC 11已知数列 na满足：12a 且12nnnaa.数列 nb满足22log1nnba.设 nb的前 n 项和为nT，则下列说法正确的是（）A2nna B21nbn C2nTnn D数列11nnb b的前n和为
10、21nn【答案】AD【分析】对于 A 累加法求通项公式；对于 B 直接代入化简求解；对于 C 项根据等差数列的前n项公式验证；对于 D 项用裂项相消求和.第 6 页 共 16 页【详解】12nnnaa，212aa 2322aa 3432aa 2122nnnaa 112nnnaa 累加得：12312132431212222nnnnnaaaaaaaaaa 所以1naa12312222n 所以12 1 2221 2nnan，所以222nna,n=1 成立 所以2nna，故 A 正确 22log 2121nnbn，故 B 错误 因为 nb为等差数列，所以21212nnnbn，故选项 C 错误；由 21
11、nbn可 得 111112 2121nnbbnn，则该数列的前 n 项 和 为 111111111123352121221nnn 21nn，故 D.正确.故选：AD.12抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，点 O 为坐标原点，1OF，过点 F 的直线与抛物线交于 P，Q两点，则（）A10PF，则 P到 y 轴的距离为 8 B直线 OP，OQ的斜率之积恒为-4 C2PFQF的最小值为32 2 D若直线 l：50 xy，则 P到 y轴的距离与到直线 l的距离之和的最小值为3 21【答案】BCD【分析】对 A，由抛物线定义列式1pPFx，即可判断；第 7 页 共 16 页 对 B，设直线PQ:1
12、xmy，联立直线与抛物线，结合韦达定理表示1212OPOQyykkxx即可判断；对 C，由1122PFQFPFQFPFQF，结合均值不等式判断；对 D，所求距离之和的最小值为点 F到直线 l的距离，由点线距离可求.【详解】对 A，1109ppPxxF ，故 A 错误；对 B，若直线PQ过点 F，设直线PQ:1xmy，联立214xmyyx，消去x得2440ymy，设11(,)P x y、22(,)Q xy，则124yym，124y y ，所以121212441644OPOQyykkxxyy，故 B 正确；对 C，1121PFQFp，则21122332 2QFPFPFQFPFQFPFQFPFQF，
13、当且仅当2 12PFQF时等号成立，故 C 正确；对 D，设 P到 y 轴的距离为11dPF，P到 l的距离为到2d 则1221ddPFd，易知2d+PF的最小值为点 F到直线 l的距离为153 211，则距离之和最小值为3 21，故 D 正确.故选：BCD.三、填空题 13 已知三棱锥OABC，点P为平面ABC上的一点，且1162OPOAmOBOC，则 m=_.【答案】13【分析】根据共面向量定理求解.【详解】111+=1,623mm 故答案为：13 14已知数列 na的前 n 项和2142nSnn，则数列 na的通项公式为_.第 8 页 共 16 页【答案】11,1215,2nnann【分
14、析】当2n，先利用1nnnaSS求出na，再验证1n 时是否符合即可.【详解】当1n 时，11 14211S ，即111a ，当2n时，221142(1)14(1)2215nnnaSSnnnnn，对于215nan，当1n 时，113a ，与111a 不符，所以11,1215,2nnann.故答案为：11,1215,2nnann.15已知圆E的方程为2240 xyx，则过点4,3P的圆E的切线方程为_.【答案】4x 或512160 xy【分析】若直线斜率存在，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解,若直线斜率不存在，直接验证可得答案.【详解】圆E的方程为2240 xyx，即22(2
15、)4xy.因为22(42)3134，所以点 P在圆E外，若直线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为3(4)yk x，即430.kxyk 所以2224323211kkkkk，解得512k.所以切线方程为512160 xy，若直线斜率不存在，直线方程为4x，满足题意.综上过点(4,3)P的圆E的切线方程为4x 或512160 xy 故答案为：4x 或512160 xy 16已知椭圆1与双曲线2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F、2F，P 是1与2在第一象限的交点，当123FPF时，双曲线2的离心率等于_.【答案】3【分析】根据 P 点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出1PF
16、，2PF，在12PFF中第 9 页 共 16 页 结合余弦定理即可列出方程求解【详解】设椭圆1标准方程为2211221110 xyabab，椭圆离心率为1e，设双曲线2标准方程为2222222210,0 xyabab，双曲线离心率为2e，它们的左右焦点为1F、2F，由题可知121e e，设1PFm，2PFn，则122222,2,42cos,3mnamnacmnmn，由得，12maa，12naa，代入整理得，2221243caa，两边同时除以2c得，2212134ee，即222234 ee，所以4222430ee，解得221e(舍去)，或223e，即2e 3.故答案为：3.四、解答题 17已知曲
17、线22:480C xyxym.(1)当 m 为何值时，曲线 C表示圆？(2)若直线 l：2yx与圆 C 相切，求 m的值.【答案】(1)20m(2)12m 【分析】（1）配方得22()042(2xym，根据200m可得答案；（2）根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解.【详解】（1）由曲线 C：22480 xyxym，得22()042(2xym，第 10 页 共 16 页 若曲线 C 表示圆，则200m，得20m，当20m时，曲线 C表示圆；（2）圆 C 的圆心坐标为(2,4)，半径为20m.直线 l：2yx与圆 C 相切，直线 l的一般式方程为20 xy，242201(1)m ，解得 12m
18、，满足20m，.12m 18如图，长方体1111ABCDABC D中，AB=AD=2，A1A=4，P为棱1DD的中点.(1)求直线1AC与平面PAC所成角的余弦值；(2)求直线 AP被长方体1111ABCDABC D的外接球截得的线段长度.【答案】(1)73(2)32 【分析】（1）建立空间直角坐标系根据11sin|cos|ACnACnACn代入求解.(2)根据，设Q到直线AP的距离为d，则1122AP dPQ AQ求解.【详解】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，第 11 页 共 16 页 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，1D(0，0，4)，1C(0，2，4)，P
19、(0，0，2)，设平面PAC的一个法向量,nx y z，因为AC=(-2，2，0)，AP(-2，0，2)，则由00n ACn AP，得00 xyxz ，令1x，可得1,1,1n，又1AC=(-2，2，4)设直线1AC与平面PAC所成的角为，所以，11sin|cos|ACnACnACn23 27cos1 sin3 所以直线1AC与平面PAC所成角的余弦值为73.-（2）设1,ACBDO AC的中点为Q，连结,PQ OQ AQ，则Q为长方体1111ABCDABC D外接球的球心，且OQ 平面ABCD，由题意知，OA=2，OQ=2，2AQ=2OA+2OQ，则 AQ=6，PQ=2，AP=22 所以22
20、2PQAQAP，所以AQPQ，设Q到直线AP的距离为d，则1122AP dPQ AQ，解得 d=62，因为外接球的半径 R=112BD=6，所以直线AP被此外接球截得的弦长为 222Rd=32；19已知数列 na，nS是数列 na的前 n项和，且22nnSa.(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，求数列nna b的前 n项和nT.【答案】(1)2nna (2)121 22nnTn 【分析】（1）由1nnnaSS得递推公式即可由公式法求.第 12 页 共 16 页（2）由错位相减法可求.【详解】（1）设等比数列 na的公比为0q q，由题意可得11
21、222nnnnSaSa，由-得122nnaan（），得2q，再由已知11122Saa得12a，所以1222nnna；（2）由题意可知32121nbnn，则nna b 21 2nn，所以213 25 221 221 2nnnTnn ，23123 25 221 221 2nnnTnn ，两式相减得2313 22 22 22 221 2nnnTn ，即234122222 221 2nnnTn 112 1 2-21 21 2nnn，所以121 22nnTn.20 已知四棱锥PABCDPA，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB，平面PAB 平面PBC.(1)证明：四边形 ABCD 是正方形；(2)
22、设为线段PC上的点，求直线PC与平面 ABM 所成角的正弦值为63时，点 M 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点 M位于线段 PC 的中点 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而可得线线垂直，即可证明；(2)利用空间向量的坐标运算，表示线面夹角的正弦值，即可求解.【详解】（1）如图，过点A作AEPB，垂足为E，.平面PAB 平面PBC，平面PAB 平面PBCPB，AE 平面PAB，AE平面PBC.第 13 页 共 16 页 BC 平面PBC.AEBC,PA 平面,ABC BC 平面ABC.PABC，又PAAEA，,PA AE 平面PAB，BC平面PAB.AB平面 PAB，
23、ABBC，底面ABCD是菱形，四边形 ABCD是正方形.（2）由（1）知四边形ABCD是正方形，从而,AB AD AP两两垂直，以,AB AD AP为,x y z轴正方向如图建立空间直角坐标系.设1AB，则0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1ABCPABCP 设CMCP（01），则 1,1,01,1,11,1,AMACCMACCP ，设平面ABM的法向量n(x，y，z)，则0,0n ABn AM即0,10 xyz，取y，则1z.即0,1n.22211cos,3(1)3 221CP nCP nCP n=63 整理得：24410 即221=0，第 14 页 共 1
24、6 页 当12时，直线PC与平面ABM所成角的正弦值为63，此时点 M位于线段 PC 的中点.21设数列 na满足11a，23a，且2122nnnaaa.(1)求证：数列1nnaa为等差数列，并求 na的通项公式；(2)设*2tan,N42nnnbann，求数列 nb的前 99 项和99T.【答案】(1)证明见解析，21nann(2)5001 【分析】（1）把递推右边的一个1na移到左边，就可证明；（2）正切函数具有周期性，先求出数列的周期，再并项求和即可.【详解】（1）由已知得2122nnnaaa，即 2112nnnnaaaa，2112,nnaaaa是以 2 为首项，2 为公差的等差数列.1
25、2(1)22nnaann，当2n时 2112211212 22 11nnnnnaaaaaaaannn ，当1n 时，10a 也满足上式，所以21nann；（2）22tan1111142nnnnnnbannnn n （）当99n 时，1 22 33 44 598 9999 100 1nT 2 24 2.98 2 99 100 1 2246.9899 100 1 49298299 100-150012 22已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，点A在椭圆上，且122FF，1290AF F，132AF.第 15 页 共 16 页 (1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆22
26、22:(01)xyEab,，则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的 3 倍相似椭圆，直线:l ykxm与两椭圆C，E交于 4 点（依次为M，N，P，Q如图），且|MNNP，若52m，求k的值.【答案】(1)22143xy(2)2 33 【分析】（1）由题意可得 22223222baccab，解得a、b，即可得解；（2）首先求出椭圆E的方程，设,M N P Q的横坐标依次为1234,x xx x，则1234xxxx，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到1423xxxx，从而得到|3|MQNP，再根据弦长公式得到221294km，再代入m计算可得.【详解】（1）解：对于22221x
27、yab，令xc，则 22221cyab，解得2bxa，由题意可得 22223222baccab，解得23ab，故椭圆C的方程为22143xy.（2）解：由题意可得椭圆E的方程为22343xy，即221129xy.设,M N P Q的横坐标依次为1234,x xx x，则1234xxxx，第 16 页 共 16 页 联立直线l与椭圆C的方程22143ykxmxy，消去y得2224384120kxkmxm，则2222221644 4341248 430k mkmkm，此时232843kmxxk，223241243mx xk，联立直线l与椭圆E的方程221129ykxmxy，消去y得2224384360kxkmxm，则142843kmxxk，214243643mx xk，1423xxxx，即MQ、NP的中点相同，|MNPQ，又|MNNP，则|3|MQNP，2222222222134 4364 41288434343143mmkmkmkkkkkk，整理可得221294km，显然满足10，因为52m，所以2 33k.