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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题 一、填空题 1半径为1cm的球的体积是_3cm.【答案】43【分析】根据球体积公式计算【详解】由题意球体积为3344 1 cm33V 故答案为：43 2设正四面体的棱长为 1，则该正四面体的高为_.【答案】63#163【分析】设正四面体为ABCD，过A作AO 底面BCD，可知O为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案【详解】如图，设正四面体为ABCD，过A作AO 底面BCD，垂足为O，四面体为正四面体，O为底面正三角形的中心，连接CO并延长交BD于G，则G为BD中点，底面边长为 1，2231221
2、3()332COCG，222236133AOACCO，该正四面体的高为63 故答案为：63 3两条平行直线3410 xy 与3420 xy之间的距离为_.【答案】35#0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.第 2 页 共 15 页【详解】两条平行直线3410 xy 与3420 xy之间的距离为：222 13534.故答案为：35.4若直线l的一个法向量为1,3，则过原点的直线l的方程为_.【答案】30 xy【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l的一个法向量为1,3，可设直线方程为30 xyc，由直线过原点，0c，故所求直线方程为30
3、 xy，即30 xy.故答案为：30 xy 5如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 ABC的直观图，其中1O BOC，则三角形ABC 的面积为_.【答案】64【分析】根据直观图和平面图的关系可求出OA，进而利用面积公式可得三角形ABC 的面积【详解】由已知可得3132222O A 则132622224A B CS 故答案为：64.6如果圆锥的底面圆半径为 1，母线长为 2，则该圆锥的侧面积为_【答案】2【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解【详解】由题意，圆锥底面周长为 21=2，又母线长为 2，所以圆锥的侧面积12222S 故答案为：2.第 3 页 共 15 页 7一个椭圆的长轴长是短轴长
4、的 2 倍，则该椭圆的离心率为_.【答案】32【解析】根据已知可知：2ab，再代入离心率公式221bea即可.【详解】由题知：22 2ab，即2ab.22222131142cabbeaaa.故答案为：32【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8已知直线:cos10l xy，R，则直线l的倾斜角的取值范围是_.【答案】30,)44【分析】由题意可得直线l的斜率cos 1,1k ，设直线l的倾斜角为，则有tan 1,1，0,)，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos10l xy，R，所以直线l的斜率cosk，所以 1,1k ，设直线l
5、的倾斜角为，则有tan 1,1k，又因为0,)，所以30,)44.故答案为：30,)44 9 已知正三棱台111ABCABC上、下底面边长分别为 1 和 2，高为 1，则这个正三棱台的体积为_.【答案】7 312【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为131 1 sin6024 ，下底面的面积为12 2 sin6032 ，则这个正三棱台的体积为1337 333134412.故答案为：7 312 第 4 页 共 15 页 10已知圆22:16C xy，直线:20lab xba ya（a、b不同时为 0），当a、b变化时，圆C被直线l截得的弦长的最小值为_.【答案
6、】2 14【分析】由题意知直线l恒过定点(1,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C被直线 l截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:20lab xba ya化为(21)()0a xybxy ，210101xyxxyy ，恒过定点(1,1)，当圆C被直线 l截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)的距离为22112，圆心到直线:20lab xba ya距离最大值时即为2，此时直线弦长为最小值2 1622 14.故答案为：2 14.11在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D，M，N，Q，P分别为棱11AB，11BC，1BB，1CC的中点，三棱锥MPQN的顶点在
7、同一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】8【分析】由正方体性质确定三棱锥MNPQ的性质，从而确定其外接球球心O所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积【详解】如图，取PQ中点K，11ADADH，由正方体性质知HK 平面11BCC B，由已知NPQ是等腰直角三角形，PQ是斜边，则三棱锥MNPQ的外接球球心O在HK上，连接,OM OP，由HK 平面11BCC B知1,HKKB HKPQ，同理111ABB K，1OKB M是直角梯形，11MB，12B K，1KP，设外接球半径为R，则212OKR，在直角三角形OPK中，2222(12)1RR，解得2R 所以球表面积为248SR 故答案为
8、：8 第 5 页 共 15 页 【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径 12如图，已知F是椭圆22143xy的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆N，射线ON与圆N交于点Q，则AQ的取值范围为_.【答案】23,23【分析】由题意求得点Q轨迹，根据轨迹判断计算AQ的取值范围.【详解】F为椭圆右焦点，连接PF，如图所示：第 6 页 共 15 页,O N分别为,FF FP的中点，12ONPF，PF为直径，12NQPF，1112222
9、OQONNQPFPFPFPF，所以点Q轨迹是以O为圆心 2 为半径的圆，0,3A在圆内，所以AQ的最小值为23，最大值为23，即AQ的取值范围为23,23.故答案为：23,23 二、单选题 13设1234PPPP、为空间中的四个不同点，则“1234PPPP、中有三点在同一条直线上”是“1234PPPP、在同一个平面上”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理 2 的推论 1 2即可得到答案.【详解】由公理 2 的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234PPPP、在同一平面,故充分条件成立;由公理 2 的推论：过两条
10、平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,PlPlPlPl、12ll时,1234PPPP、在同一个平面上,但1234PPPP、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理 2 及其推论;属于中档题;公理 2 的三个推论：1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;第 7 页 共 15 页 2经过两条平行直线,有且只有一个平面;3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14若点O和点F分别为椭圆2212xy的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP的最小值为 A22 B12 C22 D1【答案】B【详解】试题分析：
11、设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FPx yxy，2,2x，所以OP FP的最小值为12.【解析】向量数量积以及二次函数最值 15已知曲线 C：3222216xyx y，命题 p：曲线 C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题 q：曲线 C上的点到原点的最大距离是 2.则下列说法正确的是（）Ap、q 都是真命题 Bp 是真命题，q 是假命题 Cp 是假命题，q 是真命题 Dp、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22xy时，等号成立，以及224xy，从而可判断命题 q的真假性，检验点 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 是否在
12、曲线上即可判断命题 p 的真假性.【详解】因为2223222216162xyxyx y，当且仅当22xy时，等号成立，所以224xy，因此曲线 C所围成的区域的在圆224xy上或者内部，即222xy，故曲线 C 上的点到原点的最大距离是 2，因此命题 q 为真命题，圆224xy上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2，其中点0,0显然在曲线C上，但是 1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 不在曲线上，故曲线 C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题 p 为真命题，第 8 页 共 15 页 故
13、选：A.16四面体ABCD的所有棱长都为 1，棱AB平面，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A2 1,22 B3 1,42 C2 1,42 D23,44【答案】D【分析】设 A、B、C、D 在平面内的射影依次为1111ABCD、，分别讨论11CD、在11AB两侧、11CD、其中一点在11AB上、11CD、在11AB同侧时的投影图形，其中11CD、在11AB同侧时，CD时面积最小、平面ABD时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD的所有棱长都为 1，则为正四面体，由正四面体的性质可知ABCD,正四面体的侧面上的高为213122h，
14、正四面体的高2226133hh.棱AB平面，设 A、B、C、D在平面内的射影依次为1111ABCD、，则111ABAB，i.当11CD、在11AB两侧时，构成的图形即为四边形1111AC B D，此时1111ABC D，11hC DCD，即11613C D，则所求面积即1 1 11111116 1,262A B C DSAB C D；ii.当11CD、在11AB同侧或其中一点在11AB上时，构成的图形即为111ABC，1D在111ABC的高1C E上（或1C在111AB D的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中 第 9 页 共 15 页 当平面ABD时，163C Eh；当平面ABD时，1
15、32C Eh；当CD时，1C E为 CD 到面的距离，即2211222C Eh.故12322C E，则所求面积即1 1 1111123,244A B CSAB C E.综上，四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是23,44.故选：D 三、解答题 17已知圆 C 经过(3,2)A、(1,6)B两点，且圆心在直线2yx上（1）求圆 C 的方程；（2）若直线l经过点(1,3)P 且与圆 C 相切，求直线l的方程【答案】（）22(2)(4)5xy；（）250250 xyxy或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB的垂直平分线的方程与2yx联立可求得圆心坐标，
16、再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x；当直线l斜率存在时，设斜率为k，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k的值.试题解析：（1）依题意知线段AB的中点M坐标是2,4，直线AB的斜率为6221 3，故线段AB的中垂线方程是1422yx即260 xy，解方程组2602xyyx得24xy，即圆心C的坐标为2,4，圆C的半径5rAC，故圆C的方程是22245xy （2）若直线l斜率不存在，则直线l方程是1x，与圆C相离，不合题意；若直线l斜率存在，可第 10 页 共 15 页 设直线l方程是31yk x，即30kx
17、yk，因为直线l与圆C相切，所以有224351kkk，解得2k 或12k 所以直线l的方程是250 xy或250 xy.18如图，在三棱锥DABC中，平面ACD 平面ABC，ADAC，ABBC，E、F分别为棱BC、CD的中点.(1)求证：直线/EF平面ABD；(2)若直线CD与平面ABC所成的角为 45，直线CD与平面ABD所成角为 30，求二面角BADC的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)45 【分析】（1）根据/EFBD即可证明；（2）证明AD 平面ABC，BC平面ABD，进而结合已知条件证明ABC为等腰直角三角形，45BAC，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E、F
18、分别为棱BC、CD的中点.所以，在BCD中，/EFBD，因为EF 平面ABD，BD平面ABD，所以，直线EF平面ABD（2）解：因为平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABCAC，AD 平面ACDADAC,所以AD 平面ABC，所以，DCA是直线CD与平面ABC所成的角，因为直线CD与平面ABC所成的角为 45，所以，45DCA，所以ADAC 第 11 页 共 15 页 因为AD 平面ABC，,AB BC 平面ABC，所以ADBC，ADAB，因为ABBC，ABADA，,AB AD 平面ABD，所以BC平面ABD，所以，BDC是直线CD与平面ABD所成角，因为直线CD与平面ABD所成角为 30
19、，所以30BDC，所以1,32BCCD BDBC，不妨设1BC，则2,3,2,1CDBDADACAB，所以，ABC为等腰直角三角形，45BAC 因为ADAB，ADAC，所以BAC是二面角BADC的平面角，所以二面角BADC的大小为45 19如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为 2km、7 10km5.测得tan3MON，6kmOA.以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q在第一象限，且三个码头A、B、Q均在一条航线上.(1)求码头Q点的坐标；(2)海中有一处景点P（设点P在平面xOy内，PQOM，且6kmP
20、Q），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.【答案】(1)4 2Q，(2)(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线 ON 方程，再求解 Q 点坐标.（2）由直线 AQ的方程求解 B 点坐标，进而求解 AB 的直线方程.由（1）知 C为垂足，可联立直线AB 与 PC 方程，即可求解 C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A，直线 ON方程：3yx 第 12 页 共 15 页 设00(,2)(0)Q xx，由0327 10510 x 及图，得04x，4 2Q，.（2）直线 AQ的方程为(6)yx 即60 xy 由360yxxy，解得39xy，即(3
21、,9)B 则直线 AB 方程60 xy，点 P 到直线 AB 的垂直距离最近，则垂足为 C，因为PQOM，且6kmPQ，4 2Q，(4,8)P，则直线 PC 方程为40 xy 联立6040 xyxy，解得15xy 轮在水上沿旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标为(1,5).20如图，在长方体1111ABCDABC D中，11DDDA，2AB，点E在棱AB上运动.(1)证明：11BCD E；(2)设E为棱AB的中点，在棱1CC上是否存在一点F，使得/BF平面1DEC，若存在，求1CFCC的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB与平面1DEC所成角的取值范围.【答案】(1)证明详见解析(2)
22、存在，且112CFCC(3)15arcsin,arcsin35 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11BCD E.第 13 页 共 15 页（2）根据向量法列方程，从而求得1CFCC.（3）利用向量法求得直线AB与平面1DEC所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1DBCBC ，设1,0,02Ett，则11,1D Et，111 0 10DE BC ，所以11BCD E.（2）若E是AB的中点，则1,1,0E，10,2,1C，设平面1DEC的法向量为111,xny z，则11
23、111020n DExyn DCyz，故可设1,1,2n ，设0,2,01F，1,2,0,1,0,BBF，若/BF平面1DEC，BF 平面1DEC，则1120,2n BF，所以F是1CC的中点，所以112CFCC.（3）0,2,0AB，设1,0,02Ett，设平面1DEC的法向量为222,mxyz，则22122020m DExtym DCyz，故可设,1,2mt，设直线AB与平面1DEC所成角为,02，则2221sin255m ABmABtt，由于22202,04,559,553tttt，所以2115sin,355t，第 14 页 共 15 页 所以15arcsin,arcsin35.21已知
24、椭圆22:142xyC，过动点0,0Mmm 的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设11,A x y、22,B xy.(1)若点N的坐标为2,0，求PNQ的周长；(2)设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k，证明：kk为定值；(3)求直线AB倾斜角的最小值.【答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB倾斜角的最小值为6arctan2 【分析】（1）利用椭圆C的标准方程和点N的坐标，结合题中条件可得PNQ为焦点三角形，周长为4a；（2）设0000(,)(0,0)P xyxy，由(0,)(0)Mm m，可得
25、02(),P xm，0,2()Q xm，求出直线PM的斜率，QM的斜率，推出kk为定值（3）设1(A x，1)y，2(B x，2)y直线PA的方程为ykxm直线QB的方程为3ykxm，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB坐标，然后求解AB的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB倾斜角的最小值 第 15 页 共 15 页【详解】（1）椭圆22:142xyC，由方程可知，椭圆两焦点坐标为2,0，若点N的坐标为2,0，点N为左焦点，点0,Mm是线段PN的中点，故点P的坐标为2,2m，PQ垂直于x轴，则PQ与x轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ的周长为点P到两焦点距离之和
26、加上点Q到两焦点距离之和，,P Q都在椭圆上，所以PNQ的周长为 8.（2）证明：设0000(,)(0,0)P xyxy，由(0,)(0)Mm m，可得02(),P xm，0,2()Q xm，所以直线PM的斜率002mmmkxx，QM的斜率0023mmmkxx，所以0033mkxmkx，所以kk为定值（3）设11(,)A x y，22(,)B xy，直线PA的方程为ykxm，直线QB的方程为3ykxm，联立方程2224ykxmxy，整理得222(21)4240kxmkxm，根据根与系数可得20 122421mx xk，可得21202(2)(21)mxkx，所以211202(2)(21)k my
27、kxmmkx，同理222222002(2)6(2),(181)(181)mk mxymkxkx，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)mmkmxxkxkxkkx，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k mk mkkmyymmkxkxkkx，所以221216111644AByykkkxxkk由0m，00 x，可得0k，所以162 6kk，当且仅当16kk，即66k 时，取得等号，此时26648mm，解得147m，所以直线AB斜率的最小值为62，直线AB倾斜角的最小值为6arctan2