《浙江省杭州第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省杭州第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题含解析.docx（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考数学试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 2. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我校坚持每日测温报告，以下是某班8名同学体温记录：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7(单位：)，则该组数据的第60百分位数为( )A. 36.3B. 36.4C. 36.45D. 36.53. 已知点
2、和，点在轴上，且直角，则点坐标为( )A. B. 或C. 或D. 4. 已知数列是递增的等比数列，则公比( )A. B. 1C. D. 5. 已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A. 椭圆B. 椭圆和一条直线C. 双曲线和一条射线D. 双曲线的一支6. 已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点，则( )A. ，始终成等比数列B. ，始终成等比数列C. ，始终成等比数列D ，始终成等比数列7. 在三棱锥中，是的中点，满足，则异面直线，所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准
3、线上动点，则的最大值为( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则( )A. B. C. 事件与是互斥事件D. 事件与是相互独立事件10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点，则( )A. 平面B. C. 是平面的一个法向量D. 点到平面的距离为11. 如图所示，抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于
4、，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，则( )A. ，两点的纵坐标之积为定值B. 以线段为直径的圆与准线相切C. 点在以为直径的圆外D. 直线经过原点12. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如，则( )A. B. 数列是递增数列C. 的前10项中最大项为第3项D. 的前项和，则第卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 双曲线的离心率为_.14. 已知数列的前n项和为，则该数列的通项公式_.15. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体为鳖臑，平面，分别是棱和上的
5、动点，且，则的长最小为_.16. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足，其中，则的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列满足，.(1)求，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.18. 在一次期中考试后,学校教学处对数学考试情况进行分析,考生的成绩(单位:分)分布大致如下:考生数学分数的区间比例(1)估计本次数学考试成绩的众数、中位数以及平均数;(2)为了进一步了解学生的数学学习情况,用按比例分配的分层随机抽样方法,在和两组中抽取7名同学,再从这7名同学中随机抽取2名同学进行访谈,求抽取的这2名同学恰好有1人成绩在内的概率.1
6、9. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地(包含边界和内部，为坐标原点)，长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.(1)求成功点轨迹方程；(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.20. 如图所示，正方形中，将沿折起至.(1)求证：；(2)记二面角的大小为. 当时，求异面直线和所成角的余弦值
7、的范围.21. 已知数列的首项，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.22. 已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点.设，求的取值范围.杭州二中2022学年第一学期高二年级期末考数学试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线的斜率的定义
8、及倾斜角的范围即可求解.【详解】设该直线的倾斜角为，则由，得，又，所以.故选：D.2. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我校坚持每日测温报告，以下是某班8名同学的体温记录：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7(单位：)，则该组数据的第60百分位数为( )A. 36.3B. 36.4C. 36.45D. 36.5【答案】B【解析】【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案.【详解】将8名同学某日上午体温记录从小到大排列为：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7，因为，所以该组数据的第60百分位数为36.4.故选
9、：B.3. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为( )A. B. 或C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可.【详解】由题意，设点，为直角，由，解得或，所以点的坐标为或故选：B4. 已知数列是递增的等比数列，则公比( )A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】由方程利用等比数列的性质先求，再代入，联立方程组求出.【详解】已知，所以，解得，即；又，则，即；又，由得，所以，解得或.因为数列是递增的等比数列，所以.故选：C.5. 已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A. 椭圆B. 椭圆和一条直线C. 双曲线和一条射线D. 双
10、曲线的一支【答案】D【解析】【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案.【详解】圆，圆心，圆，圆心，设，因为圆同时与圆及相外切，所以，即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D6. 已知椭圆，过椭圆的左顶点A作直线，与椭圆和轴分别交于点和点，过原点且平行于的直线与椭圆交于点，则( )A. ，始终成等比数列B. ，始终成等比数列C. ，始终成等比数列D. ，始终成等比数列【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得弦长，由等比中项性质判断等比数列即可.【详解】由题意知，直线l斜率存在，设OP方程为，则AM的方程为，则，.设直线或，则该直线必与
11、椭圆存在交点，设为，由得，则，则直线与椭圆交得的弦长为.当时，该弦长为；当时，该弦长为，即.，成等比数列.故选：A7. 在三棱锥中，是的中点，满足，则异面直线，所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三棱锥的对棱相等可以补成长方体，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线，所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥中，由于，则三棱锥可以补在长方体，则设长方体的长宽高分别为，则，解得，如图以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，则，所以，则异面直线，所成角的余弦值为.故选：D8. 已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上
12、动点，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值.【详解】由题意可知： ，左准线方程为 ，故设，则当在轴上，此时为0，时当不在轴时， 在中，由余弦定理得 ，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，由于,故最大为，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则( )A. B
13、. C. 事件与是互斥事件D. 事件与是相互独立事件【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且，故选：.10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点，则( )A. 平面B. C. 是平面的一个法向量D. 点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】根据线线平行即可判断A,建立空间直角坐标系，利用向量数量积即可判断线线垂直，即可判断B，根据空间向量求解法向量即可判断C，根据空间距离的向量法即能求出点到平面的距离，从而判断D.【详解】以为原点，所在
14、直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，对于A，由于分别是的中点，所以,平面,平面,故平面，故A正确，对于B，故，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误，对于C,由，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，故C正确，对于D， 点到平面的距离为,故D正确，故选：ACD11. 如图所示，抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，则( )A. ，两点的纵坐标之积为定值B. 以线段为直径的圆与准线相切C. 点在以为直径的圆外D. 直线经过原点【答案】ABD【解析】【分析】选项A，设出的方程与抛物线联立，求两根之积即可得出结论；选项B，
15、求的中点到准线的距离并与弦长的关系进行比较；选项C，通过斜率的关系证明，得到点在以为直径的圆的关系；选项D，通过斜率的关系证明三点共线.【详解】选项A，设的方程为：，联立，整理得，则，故选项A正确；选项B，的中点， 点到准线的距离为,，所以，即以线段为直径的圆与准线相切，故选项B正确；选项C，由，得，所以，点在以为直径的圆上，故选项C错误；选项D，由，得，所以，所以三点共线；所以直线经过原点，故选项D正确.故选：ABD.12. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如，则( )A. B. 数列是递增数列C. 的前10项中最大项为第3项
16、D. 的前项和，则【答案】ABD【解析】【分析】根据欧拉函数的定义求出，故A正确；根据欧拉函数的定义求出，由可得数列是递增数列，故B正确；根据数列的第一项大于第三项可知C不正确；根据错位相减法求出，可知，故D正确.【详解】对于A，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，故A正确；对于B，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，因为，所以，所以数列是递增数列，故B正确；对于C，由B知，所以，第一项为，第三项为，故C不正确；对于D，由C知，则，所以，所
17、以，所以，所以，所以，因为，所以，故D正确.故选：ABD第卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果.【详解】由题可知：，由所以离心率故答案为：14. 已知数列的前n项和为，则该数列的通项公式_.【答案】2n+1【解析】【分析】由计算，再计算可得结论【详解】由题意时，又适合上式，所以故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，15. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体为鳖臑，平面，分别是棱和上的动点，且，则的长最小为_.【
18、答案】【解析】【分析】作于点，连接，得到直角三角形,设，由对应线段成比例求出，利用勾股定理表示，求其最小值即可.【详解】如图，作于点，连接.因为平面，平面，所以，又，所以，所以平面，又平面，所以.又，所以,由，得，则，得.设，得到， 在中， 由，得到，当且仅当时，等号成立. 故答案为：.16. 在平面直角坐标系中，点的坐标满足，其中，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题可得，由椭圆第二定义有：.则，即椭圆上一点到点距离与到直线距离之和.【详解】因点的坐标满足，则，得，.则该椭圆的右焦点坐标为，右准线方程为.则由椭圆第二定义，有，故，即椭圆上一点到点距离与到直线距离之和.则距离之和最小值
19、为过的垂直于右准线的垂线段长度，为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列满足，.(1)求，；(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) (2)，证明见解析【解析】【分析】(1)首先根据题意得到，再求，即可.(2)首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可.【小问1详解】由可知，当时，代入，解得；当时，代入，解得；当时，代入，解得；【小问2详解】猜想数列的通项公式为.当时，左边，右边，成立.(2)假设当时，成立.则当时，有，即当时，也成立.所以对任何都成立.18. 在一次期中考试后,学校教学处对数学考试情
20、况进行分析,考生的成绩(单位:分)分布大致如下:考生数学分数区间比例(1)估计本次数学考试成绩的众数、中位数以及平均数;(2)为了进一步了解学生的数学学习情况,用按比例分配的分层随机抽样方法,在和两组中抽取7名同学,再从这7名同学中随机抽取2名同学进行访谈,求抽取的这2名同学恰好有1人成绩在内的概率.【答案】(1)众数:120;中位数:;平均数:115 (2)【解析】【分析】(1)根据表格,根据数字特征的计算公式,计算结果即可;(2)先根据分组抽样求得和中需要抽取的人数,列举出从中抽取两位同学的所有的可能,找出其中恰好有1人成绩在的结果,利用古典概型的概率公式,即可得出结果.【小问1详解】解:
21、由表格可知:众数:120;中位数:;平均数:;【小问2详解】由表格知:中的学生与中的学生比例为: ,根据分层随机抽样的方法抽取7名学生,则在中抽取2人,分别记作,在中抽取5人,分别记作,把“从样本中抽取2名同学恰好有1人成绩在内”记作事件,用表示抽出的两位同学,则所有的可能性为:共21种,其中满足事件的有:共10种,故.19. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地(包含边界和内部，为坐标原点)，长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出
22、发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.(1)求成功点的轨迹方程；(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)设，机器人运动速度为，依题意得，整理即可得解；(2)设直线：，根据直线与点的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出的取值范围，从而求出点纵坐标的取值范围.【小问1详解】解：设，机器人运动速度为，由题意可得，化简得.由于点在矩形场地内，则.所以成功点的轨迹方程为.【小问2详解】解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，直线与点
23、的轨迹没有公共点，由直线与圆的位置关系可得，解得.则点纵坐标，又因为，所以.20. 如图所示，在正方形中，将沿折起至.(1)求证：；(2)记二面角的大小为. 当时，求异面直线和所成角的余弦值的范围.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)由线线垂直证平面，再证；(2)由向量法求异面直线夹角.【小问1详解】连接正方形的对角线交于点，连接.因为四边形是正方形，所以.由翻折不变性可知.又因为，平面，所以平面.因为平面，所以.【小问2详解】由(1)可知为二面角的平面角，即.法1(坐标法)：如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直于平面且向上为轴正方向，建立空间直角坐标系.不妨设，则，
24、则，.所以，因为，所以.法2(基底法)：不妨设，则，以为基底，.因为，所以，因为，所以.21. 已知数列的首项，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据递推公式可得：是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解；(2)结合(1)的结论得出，利用分组求和和错位相减法即可求解.【小问1详解】由可知，两边同减1可得， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，即.【小问2详解】由(1)可知，所以记两式作差可得所以.因此.22. 已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲
25、线的右支交于，两点，与轴交于点.设，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据共渐近线方程设双曲线，代入点即可求得的值，可得双曲线的方程；(2)根据双曲线与直线的位置关系，求得交点坐标关系，根据向量线性关系列式，即可求得的取值范围.【小问1详解】由双曲线C与双曲线的渐近线相同，可设双曲线，代入，可得，所以求双曲线的方程为，即.【小问2详解】易知直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的方程为，则.设.联立可得，方程有两个不同的正根可得，解得.记点的横坐标为，即.由可得，代入双曲线C的方程，可得.同理可得，由可得.所以是方程的两个根，由韦达定理可得.所以.令，则令，则在上单调递增，所以且.因此，.