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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1设全集1,2,3U，1,2A，则UA（）A1 B2 C3 D 1,3【答案】C【解析】对集合进行补集运算即可求解.【详解】因为1,2,3U，1,2A，所以U3A，故选：C 2365是（）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】A【解析】由3653605 即可得到答案.【详解】因为3653605 ，所以365为第一象限角.故选：A.3命题“R,12xx ”的否定是（）AR,12xx BR,12xx CR,12xx DR,12xx 【答案】D【分析】由特称命题的
2、否定判断，【详解】由题意得“R,12xx ”的否定是“R,12xx ”故选：D 4半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是（）A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果 第 2 页 共 13 页【详解】半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是22111121222Slrr（其中l为扇形所对应的弧长，r为半径，为扇形所对应的圆心角）.故选：A.5已知21log2a，212b，122c，则a，b，c的大小关系是（）A bca B bac C acb D abc【答案】C【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断a，b，c的范围，即可得出结果.
3、【详解】因为221loglog 102a，221242b，121224c，所以 acb.故选：C.6王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作从军行中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来
4、“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 7函数 cosf xxx的零点所在的区间为（）A11,2 B1,02 C10,2 D1,12【答案】A【解析】先判断 0f x 在0,1上恒成立，排除 CD；再判断 cosf xxx在1,0上单调，计算第 3 页 共 13 页 出 1f，12f，0f，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.【详解】当01x时，0cos1coscos01x，所以 cos0fxxx恒成立，故10,2和1,12内不可能存在零点；排除 CD.当10 x 时，yx单调递增，cosyx也单调递增，所以 c
5、osf xxx在1,0上单调递增；又 cosf xxx在R上为连续函数，且 11 cos11 cos10f ，111111coscoscos02222226f ，0cos01f，因此 1102ff，1002ff，由函数零点存在性定理可得，仅区间11,2内有零点，即 A 正确，B 错.故选：A.8设函数 fx的定义域为R，112fxfx，当0,1x时，1f xxx.若存在,xm，使得 364f x 有解，则实数m的取值范围为（）A1,2 B3,2 C9,4 D11,4【答案】D【解析】根据 112fxfx，可知 112fxfx，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得m的取值范围.【详解】根据
6、112fxfx，可知 112fxfx，又当0,1x时，110,4fxxx，所以1,2x时，10,1x，111(1)(1)20,228fxf xxx，2,3x时，11,2x，111(1)(2)30,4416fxf xxx，3,4x时，12,3x，111(1)(3)40,2832fxf xxx，即3()64f x 恒成立，可画出函数图象，第 4 页 共 13 页 当2,3x时，13(2)(3)464xx，解得94x 或114x，故若存在,xm，使得 364f x 有解，则实数114m，故选：D.二、多选题 9我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万
7、事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在0,上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A 3f xx B 2f xx C2yx D f xx【答案】BD【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.【详解】A 选项，3f xx定义域为R，在0,上显然单调递增，但 3fxxf x，即 3f xx不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A 排除；B 选项，2f xx定义域为R，在0,上显然单调递增，且 22fxxxf x，所以 2f xx是偶函数，图象关于y轴对称，即 B 正确；C 选项，2yx定义域为,00,，在0,上显然单调递减，C 排除；第 5 页
8、共 13 页 D 选项，f xx的定义域为R，在0,上显然单调递增，且 fxxxf x，所以 f xx是偶函数，图象关于y轴对称，即 D 正确.故选：BD.10设,abcR，ab，则下列不等式一定成立的是（）A acbc Babee C22acbc Dabba【答案】AB【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可.【详解】因为ab，对 A：根据不等式的可加性，即可得acbc，故 A 一定成立；对 B：由ab，则ab，所以abee，故 B 一定成立；对 C：因为2c 0，故可得22acbc，故 C 一定不成立；对 D：22ababababbaabab，因为0ab，但abab的
9、正负不确定，故 D 不一定成立.故选：AB.11将函数 sin 202fxx的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，得到偶函数 h x的图象，则下列结论中正确的有（）A h x的图象关于点,04对称 B h x的图象关于2x对称 C h x在2,123上的值域为13,22 D h x在,6 2 上单调递减【答案】ABD【解析】通过函数图象的伸缩平移变换可得的值，以及 fx与 h x解析式，再根据三角函数图象性质判断各个选项.【详解】函数 sin 202fxx的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度,得 2sin 23h xx，又 h x为偶函数，故y轴为 h x的对称轴，第 6 页 共 13
10、 页 即2,32kkZ，解得,6kkZ，02，6，2sin 2()sin 2cos2663fxxh xxx，h x的对称中心：令2242kxkkZxkZ，即对称中心为,042kkZ，当1k 时，对称中心为,04，故A 选项正确；h x对称轴：令2,2kxkkZ xkZ，当1k 时，对称轴为2x，故 B 选项正确；2,123x，32,()cos21,632xh xx ，故 C 选项错误；h x的单调递减区间：令222kxkkZ，即2kxkkZ，又,6 22kk，故函数 h x在,6 2 上单调递减，D 选项正确；故选：ABD.12若函数 f x对12,1,x x，12xx，不等式 1222121
11、f xf xxx成立，则称 f x在1,上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A 21f xx B 221f xxx C 22logf xxx D 22f xxxx【答案】ACD【解析】令2()()g xf xx，题中条件转化为判断()g x在(1,)上是减函数，再逐项构造函数，进行判断即可【详解】若函数()f x满足对1x，2(1,)x，当12xx时，不等式122212()()1f xf xxx恒成立，则2211221222121212()()()()10()()f xxf xxf xf xxxxxxx，令2()()g xf xx，因为122xx，则1212()()0g
12、 xg xxx，1x，2(1,)x 且12xx恒成立，2()()g xf xx在(1,)上是减函数，对于 A 选项，21f xx，则22()()12g xf xxxx，对称轴是=1x，开口向下，所以()g x在(1,)递减，故 A 正确；第 7 页 共 13 页 对于 B 选项，221f xxx，则2()()21g xf xxx在(1,)上单调递增，故 B 错；对于 C 选项，22logf xxx，则22()()logg xf xxx在(1,)上显然单调递减，故 C 正确；对于 D 选项，22f xxxx，则22()()g xf xxxx ，因为yx与2yx在(1,)都是减函数，所以()g x
13、在(1,)递减，故 D 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将122212()()1f xf xxx恒成立转化为新函数2()()g xf xx满足 12120g xg xxx上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.三、填空题 13已知幂函数()yf x的图像过点(2,2)，则(4)f_.【答案】2【分析】先设幂函数解析式，再将(2,2)代入即可求出()yf x的解析式，进而求得(4)f.【详解】设()yf xx，幂函数()yf x的图像过点(2,2)，(2)22f，12，12()f xx，12(4)42f 故答案为：2 14已知5sin13，则3cos2_
14、.【答案】513【解析】利用诱导公式直接求解.【详解】由诱导公式可知35cossin213，故答案为：513 15若 2,021,0 xxf xxx，则不等式 4f x 的解集为_.【答案】3,2,2 【解析】根据分段函数解析式，讨论0 x 或0 x，将解析式代入不等式，解不等式即可.第 8 页 共 13 页【详解】由 2,021,0 xxf xxx，当0 x 时，则24x，解得2x，此时2x；当0 x 时，则214x，解得32x ，此时32x ，所以不等式的解集为3,2,2.故答案为：3,2,2 16十六十七世纪之交，随着天文航海工程贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰
15、纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即logbaaNbN，现已知3log 6a，236b则123abab_.【答案】2 3【解析】由题22log 362log 6b，分别化简12,3abab的值代入即可.【详解】因为236b，所以22log 362log 6b，所以66321212log 3log 21log 62log 6ab，3332ln6ln3log 6ln22ln611log 2log 22log 62ln3ln2223333333322 3ab 所以1231 2 32 3abab.故答案为：2 3.【点睛】本题考查对数
16、的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.四、解答题 17已知集合2Ax x，35Bxx.(1)求AB；(2)定义MNx xM且xN，求AB.【答案】(1)2ABx x 第 9 页 共 13 页(2)23ABxx或5x 【分析】（1）根据并集的定义可求得集合AB；（2）根据题中定义可求得集合AB.【详解】（1）解：因为2Ax x，35Bxx，则2ABx x.（2）解：由题意可得：ABx xA且23xBxx或5x.18已知 221010 xxf xlogxx，（1）作出函数 f x的图象，并写出单调区间；（2）若函数 y?f xm有两个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）见解析；
17、（2）12m【分析】（1）根据函数 f x的表达式，作出函数的图象即可；（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，由数形结合得出即可【详解】解：（1）画出函数 f x的图象，如图示：，由图象得：f x在0（，0（，）单调递增；（2）若函数 y?f xm有两个零点，则 f x和ym有 2 个交点，结合图象得：12m【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题 19已知函数 2f xxx，第 10 页 共 13 页（1）判断 f x的奇偶性；（2）用定义证明 f x在0,上为减函数.【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)首先确
18、定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用 fxf x 可说明 f x是奇函数.(2)利用函数单调性的定义设设12,x x是0,上的任意两数，且12xx，讨论 12f xf x的符号即可证明函数 f x在0,上为减函数.试题解析：（1）函数 2f xxx的定义域为|0 x x，又 22fxxxfxxx f x是奇函数.（2）证明：设12,x x是0,上的任意两数，且12xx，则 12f xf x 121222xxxx 2121122 xxxxx x 211221xxx x 120,0 xx且12xx，2112210 xxx x 即 12f xf x.f x在0,上为减函数.点睛：判断函数的奇偶性
19、之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之 20如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 P，Q 两点，P，Q 的纵坐标分别为35，45.第 11 页 共 13 页 （1）求sin的值；（2）求.【答案】（1）35；（2）2.【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos、sin、cos的值，再计算cos的值即可出的值.
20、【详解】（1）因为点P的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为35，将35y 代入221xy，因为是锐角，0 x ，所以45x，4 3,5 5P 由三角函数的定义可得：3sin5，（2）由3sin5，是锐角，可得4cos5，因为锐角的终边与单位圆相交于 Q 点，且纵坐标为45，将45y 代入221xy，因为是锐角，0 x ，可得35x，3 4,5 5Q 所以4sin5，3cos5，所以4334coscoscossinsin05555，因为02，02，所以0，所以2.21已知函数 2sin3sin cos,f xxxx xR 1求函数 f x的最小正周期与对称中心；第 12 页 共 13 页 2求函
21、数 f x的单调递增区间【答案】（1）最小正周期，对称中心为1,212 2kkZ；（2）,63kkkZ【分析】1直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称中心；2直接利用整体思想求出函数的单调递增区间【详解】1函数 2sin3sin cosf xxxx，1cos23sin222xx，1sin 262x，所以函数的最小正周期为22，令：26xkkZ，解得：212kxkZ，所以函数的对称中心为1,212 2kkZ 2由于 1sin 262fxx，令：222262kxkkZ，解得：63kxkkZ，所以函数的单调递增区间为,63kkkZ【点睛】
22、本题主要考查了三角函数的化简，以及函数sinyAx的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即sinyAx，然后利用三角函数sinyAu的性质求解.22已知函数 23f xxax.(1)若 3f x 的解集为,3b，求实数a、b的值；(2)当1,2x时，若关于x的不等式 21f xx 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)5a，2b (2)4a a 第 13 页 共 13 页【分析】（1）分析可知b、3为关于x的方程260 xax两根，且3b，利用根与系数的关系可求得实数a、b的值；（2）由参变量分离法可知，2a2xx对任意的12x 恒成立，结合基本不等式可求得实数a的取值范围.【详解】（1）解：由题意可知b、3为关于x的方程260 xax两根，且3b，所以，2336036ab，解得52ab.此时方程为2560 xx，254 60 ，合乎题意，因此，5a，2b.（2）解：当12x 时，由 2231f xxaxx ，可得222axx，22axx，由基本不等式可得2222 24xxxx，当且仅当1x 时，等号成立，故4a，所以实数a的取值范围为4a a