《2023届北京市昌平区高三上学期期末质量检测数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届北京市昌平区高三上学期期末质量检测数学试题(解析版).pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 19 页 2023 届北京市昌平区高三上学期期末质量检测数学试题 一、单选题 1已知集合12,0AxxBx x，则集合AB（）A,2 B1,C0,2 D1,2【答案】C【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意|02ABxx.故选：C 2在复平面内，复数z对应的点的坐标是,1a，且满足1 i2z，则a（）A1 B1 C2 D2【答案】A【分析】根据复数的除法运算求得1 iz ，结合复数的几何意义可得iza，由此求得答案.【详解】由1 i2z得22(1i)1i1i2z，又复数z对应的点的坐标是,1a，即i1+i,1zaa，故选：A 3下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函
2、数的是（）A1yx B3yx Cyx x D12logyx【答案】B【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项.【详解】对于 A，设 1f xx，则 11,(1)1,1(1)ffff，故 1f xx在定义域内不是减函数，故 A 错误.对于 B，设 3g xx，其定义域为R且 33gxxxg x ，故 3g xx 为奇函数，而3yx为R上的增函数，第 2 页 共 19 页 故 3g xx 为R上的减函数，故 B 正确.对于 C，设 h xx x，因为 1142hh，故 h xx x在定义域内不是减函数，故 C 错误.对于 D，12logyx的定义域为0,，故该函数不是奇函数，故 D 错误
3、.故选：B.4若0ab，0cd，则一定有（）Aabcd Babcd Cabdc Dabdc【答案】C【分析】利用特例法，判断选项即可.【详解】解：不妨令13,1,1,3abcd，则3,3abcd，A、B 不正确；9,1abdc，D 不正确，C 正确.故选：C.【点睛】本题考查不等式比较大小，特值法有效，是基础题.5已知二项式5axx的展开式中1x的系数是 10，则实数a（）A1 B1 C2 D2【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式5axx的展开式为515 255CCrrrrrrxaxax，令521r，解得3r，所以3335C1010,1aaa.故选：B 6若
4、4sin,cos05，则tan（）A34 B34 C43 D43【答案】D【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.第 3 页 共 19 页【详解】4sin sin,cos05，所以23cos1 sin5，所以sin4tancos3.故选：D 7在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，则“角与角的终边关于y轴对称”是“sinsin”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断命题“角与角的终边关于y轴对称”和“sinsin”之间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知，角与角的终边关于y轴对称时，则+2,
5、Zk k，故+2,Zk k，则+2)sin,sinsin(Zkk，即sinsin；当2,Zk k时，此时sinsin，角与角的终边不关于y轴对称，即“sinsin”成立不能得出“角与角的终边关于y轴对称”成立，故“角与角的终边关于y轴对称”是“sinsin”的充分而不必要条件，故选：A 8图 1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图 2 中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入 D 区的路线数有（）A16 B18 C2
6、0 D22【答案】C 第 4 页 共 19 页【分析】由上而下依次归纳小球到每一层相邻两球空隙处的线路数后可正确的选项.【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为 1；第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1，第三层有三个小球，共有 4 个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：1,12,21,1即为1,3,3,1，第四层有四个小球，共有 5 个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：1,13,33,31,1即为1,4,6,4,1，第五层有五个小球，共有 6 个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到
7、右依次为：1,14,46,64,41,1即为1,5,10,10,5,1，第六层有六个小球，共有 7 个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：1,15,510,1010,105,51,1即为1,6,15,20,15,6,1，故小球落入 D 区的路线数有 20 条.故选：C.9设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l.斜率为3的直线经过焦点F，交抛物线C于点A，交准线l于点B（,A B在x轴的两侧）.若6AB，则抛物线的方程为（）A22yx B23yx C24yx D26yx【答案】B【分析】根据直线AB的斜率以及6AB 求得p，从而求得抛物线的方程.【详解】直线AB的斜率
8、为3，倾斜角为3，过A作AHl，垂足为H，连接HF，由于,3AHAFHAF，所以三角形AHF是等边三角形，所以132HFAHAB，由于6FHB，所以1322pHF，所以抛物线方程为23yx.故选：B 第 5 页 共 19 页 10已知向量,a b c满足2,1,04aba bcacb，则c的最大值是（）A21 B512 C512 D21【答案】C【分析】把,a b平移到共起点以b的起点为原点，b所在的直线为x轴，b的方向为x轴的正方向，求出,a b的坐标，则根据0cacb得c的终点得轨迹，根据 c的意义求解最大值.【详解】把,a b平移到共起点，以b的起点为原点，b所在的直线为x轴，b的方向为
9、x轴的正方向，见下图，设,OBb OAa OCc，则,caAC cbBC 又0cacbACBC则点C的轨迹为以AB为直径的圆，又因为2,1,4aba b所以 1,01,1BA故以AB为直径的圆为2211124xy，所以c的最大值就是以AB为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为2211511222 故选：C 二、填空题 第 6 页 共 19 页 11已知数列 na中，*112,20Nnnaaan，则数列 na的通项公式为_.【答案】2nna 【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案.【详解】数列 na中，*112,20Nnnaaan 则0na，否则与12a 矛盾，故
10、12nnaa，即数列 na为首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以2nna，故答案为：2nna 12若直线2ykx与圆22(1)xya有公共点，则a的最小值为_.【答案】5【分析】求出直线2ykx所过的定点，当点(0,2)在圆上或圆内时，直线2ykx与圆22(1)xya总有公共点,列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意知Rk,直线2ykx过定点(0,2)，当点(0,2)在圆上或圆内时，直线2ykx与圆22(1),0 xya a总有公共点,即22(01)2,5aa，即a的最小值为 5，故答案为：5 13已知正三棱锥PABC的六条棱长均为,a O是底面ABC的中心，用一个平行于底面的平面截三棱
11、锥，分别交,PA PB PC于111,A B C点（不与顶点P，,A B C重合）.给出下列四个结论：三棱锥111OABC为正三棱锥；三棱锥PABC的高为63a；三棱锥111OABC的体积既有最大值，又有最小值；当123PAPA时，1 1 1427O A B CP ABCVV.其中所有正确结论的序号是_.【答案】第 7 页 共 19 页【分析】建立正四面体模型，数形结合分析.【详解】如图所示 用一个平行于底面的平面截三棱锥，且PABC为正三棱锥，O是底面ABC的中心 三棱锥111OABC为正三棱锥，故正确；正三棱锥PABC的六条棱长均为a,O是底面ABC的中心，三棱锥PABC的高为PO,ABC
12、的高为CD，且32CDa,2333OCCDa,223633POaaa，故正确，111,A B C点不与顶点P，,A B C重合，110,xABa，设111OABC的高为h，则6363ahxaa，得6()3hax，1 1 11 1 12211 12(6()sin33 231()23O A B CA B Cxxaaf xVShxx，2222()(23)6412xfxaxxax，在2(0)3a,上()0fx，2()3aa,上()0fx，所以()f x在2(0)3a,上递增，2()3aa,上递减，故在0,a上有最大值，无最小值，故错误；当123PAPA时，点111,A B C分别为线段,PA PB P
13、C的三等分点，112233ABABa，且13OPhh 1 111 11221 121sin42 33331127sin323PA B COO A B CP ABCABCPPhaShVVShh a.故正确;第 8 页 共 19 页 故答案为：三、双空题 14 已知双曲线22145xy的焦点为12,F F，点P在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为_；若14PF，则2PF _.【答案】52yx 8【分析】求得,a b，由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得2PF【详解】依题意2,5ab，所以双曲线的渐近线方程为52yx，由于142PFa，所以P在双曲线的左支，所以2128PFaPF.故答案
14、为：52yx；8 15在ABC中，18,7,cos7acA，则b _，C_.【答案】5 3#60【分析】根据余弦定理可求b，再根据余弦定理看可求C.【详解】由余弦定理可得2216449272497bbbb ，故22150bb，故3b（舍）或5b，故6425491cos2 5 82C，而C为三角形内角，故3C.故答案为：5，3.四、解答题 16已知函数 3sin2cos2(02)f xxx，再从条件条件条件中选择一个作为已知，(1)求 f x的解析式；(2)当0,2x时，关于x的不等式 f xm恒成立，求实数m的取值范围.条件：函数 f x的图象经过点,23；条件：函数 f x的图象可由函数 2
15、sin2g xx的图象平移得到；第 9 页 共 19 页 条件：函数 f x的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2.注：如果选择条件条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)2sin(2)6f xx;(2)2,).【分析】（1）化简 2sin(2)6f xx，若选，将点,23代入求得1，可得答案；选，根据三角函数图象的平移变化规律可得1，可得答案；选，由函数的最小正周期可确定1，可得答案；（2）由0,2x确定 52,666x ，从而求得 f x的范围，根据不等式恒成立即可确定实数m的取值范围.【详解】（1）3sin2cos22sin(2)6f xxxx;选：函数 f x的图象经过点,
16、23，则2sin(2)236，所以22,Z362k k，则1 3,Zk k，由02，可得1，则 2sin(2)6f xx；选：函数 f x的图象可由函数 2sin2g xx的图象平移得到，即 2sin(2)6f xx的图象可由函数 2sin2g xx的图象平移得到，则1，则 2sin(2)6f xx.选：函数 f x的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2，则函数的最小正周期为，故222,1，故 2sin(2)6f xx.（2）当0,2x时，52,666x ,则1sin(2),162x，故 2sin(2)1,26f xx，又当0,2x时，关于x的不等式 f xm恒成立，故2m,即实数m的取值范围
17、为2,).17不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了 12 款不粘锅第 10 页 共 19 页 商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的 6 项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性耐磨性耐碱性手柄温度温度均匀性和使用体验等 6 个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性耐磨性”检测结果的数据如下：检测结果 序号 品牌名称 不粘性 耐磨性 1 品牌 1 级 级 2 品牌 2 级 级 3 品牌 3 级 级 4 品牌 4 级 级 5 品牌 5 级 级 6 品牌 6 级 级 7 品牌 7 级 级 8 品牌 8
18、 级 级 9 品牌 9 级 级 10 品牌 10 级 级 11 品牌 11 级 级 12 品牌 12 级 级 （级代表性能优秀，级代表性能较好）(1)从这 12 个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是级的概率；(2)从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是级的品牌个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(3)从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设Y为性能都是级的品牌个数，比较随机变量X和随机变量Y的数学期望的大小（结论不要求证明）.第 11 页 共 19 页【答案】(1)533(2)X 0 1 2 P 15 35 15 1E X (3)E YE X
19、 【分析】(1)直接计算事件发生概率；(2)X可能取值为 0,1,2，分别计算出概率，再列分布列，计算期望值；(3Y可能取值为 0,1,2，分别计算出概率，计算期望值，再比较大小.【详解】（1）“不粘性”性能都是级的品牌有 5 个，记事件 A 为两个品牌的“不粘性”性能都是级，则 25212533CP AC（2）前六个品牌中性能都是级的品牌有 3 个，X可能取值为 0,1,2,2326105CP XC;113326315C CP XC;2326125CP XC;X分布列为 X 0 1 2 P 15 35 15 1310121555E X 第 12 页 共 19 页（3）后六个品牌性能都是级的品
20、有 2 个，Y可能取值为 0,1,2,2426205CP YC；1124268115C CP YC；22261215CP YC；Y数学期望为 3812012515153E YE X 18如图，在多面体111ABCABC中，侧面11ABB A为矩形，CA 平面11ABB A，1CC 平面11,4,2,3ABC AAACCCAB.(1)求证：1CC平面11ABB A；(2)求直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值；(3)求直线11AB到平面1ABC的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)45；(3)8 55.【分析】（1）先证明1A A 平面ABC，进而证明11A ACC，从而根据线面平行的判定
21、定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标和相关向量坐标，求出平面1ABC的法向量，根据空间向量的夹角公式即可求得直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值；（3）结合（2）的结果，利用空间距离的向量求法，先求点1A到平面1ABC的距离，即可求得直线11AB第 13 页 共 19 页 到平面1ABC的距离.【详解】（1）证明：由题意CA 平面11ABB A，CA平面ABC,故平面ABC平面11ABB A，又侧面11ABB A为矩形，故1A AAB,而1A A平面11ABB A,平面ABC平面11ABB AAB，所以1A A 平面ABC，又1CC 平面ABC，所以11A ACC,而1A
22、 A平面11ABB A，1CC 平面11ABB A，故1CC平面11ABB A.（2）因为CA 平面11ABB A，AB平面11ABB A，故 CAAB，而1A A 平面ABC，故以 A为坐标原点，分别以1,AB AC AA的方向为 x轴，y 轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为114,2,3AAACCCAB,则11(0 0 0),(3,0,0),(0,4,0),(0,4,2),(0,0,4)ABCCA，,则111(3,0,0),(0,4,2),(0,4,2)ABACAC,设平面1ABC的法向量为(,)nx y z，则100n ABn AC,即30420 xyz，令1y，则(0,
23、2),1n，设直线11AC与平面1ABC所成角为,0,2，第 14 页 共 19 页 则111111|84sin|cos,|5|2 55ACACACnnn.（3）因为侧面11ABB A为矩形，所以11ABAB,而AB平面ABC,11A B 平面ABC,故11AB平面ABC，则直线11AB到平面1ABC的距离即为点1A到平面1ABC的距离，11(0,4,2)AC，平面1ABC的法向量为(0,2),1n，故点1A到平面1ABC的距离为11|88 55|5n ACdn,即直线11AB到平面1ABC的距离为8 55.19已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点2,0，且离心率是22.(1)求椭圆C
24、的方程和短轴长；(2)已知点1,0P，直线l过点0,3且与椭圆C有两个不同的交点,A B，问：是否存在直线l，使得PAB是以点P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)22142xy,2 2.(2)存在,直线:0l x.【分析】（1）由题意椭圆过点2,0可得2a，根据离心率求得 c,继而求得 b，可得答案.（2）假设存在直线l，使得PAB是以点P为顶点的等腰三角形，讨论直线斜率是否存在的情况，存在时设出直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，设AB的中点为点 D，根据题意可得1ABPDkk，化简计算，求得 k 的值，进行判断，可得结论.【详解】（1）
25、由题意知椭圆2222:1(0)xyCabab过点2,0，且离心率是22，则2a，且2222,2,22ccbaca，故椭圆C的方程为22142xy，短轴长为22 2b.（2）假设存在直线l，使得PAB是以点P为顶点的等腰三角形,由于直线l过点0,3,当直线斜率不存在时,直线 l为0 x，此时,A B为椭圆的短轴上的两顶点，此时PAB是以点P为顶点的等腰三角形；第 15 页 共 19 页 当直线l斜率存在时，设直线方程为3ykx，联立 223142ykxxy，得22(21)12140kxkx，当直线3ykx与椭圆 C有两个不同的交点,A B时，该方程22(12)4 14(21)0kk ，整理得27
26、4k，设1122(,),(,)A x yB xy，则 1212221214,2121kxxx xkk，所以 121212233()2661yykxkxk xxk，设AB的中点为点 D，则1212(,)22xxyyD，即226(,)21321kDkk，则PDAB,当26121kk时，PD斜率不存在，此时AB的斜率 k为 0，不满足274k，故26121kk，由题意可知1ABPDkk,即2221611213kkkk，解得1k 或12k ，由于274k，故1k 或12k 不适合题意，综合以上，存在直线:0l x，使得PAB是以点P为顶点的等腰三角形.【点睛】关键点点睛：解决直线和椭圆的位置关系中是否
27、存在的问题时，一般是先假设存在，然后设直线方程，联立椭圆方程，结合根与系数的关系化简求值，解答的关键点是要能根据题设即PAB是以点P为顶点的等腰三角形，设AB的中点为点 D，得到1ABPDkk，然后结合根与系数关系化简求值，即可解决问题.20已知函数 ee1,0 xxf xmmx m.(1)当0m 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；(2)讨论函数 f x的单调性；(3)当e1m 时，证明：对任意的 0,2xf x 恒成立.【答案】(1)e 11yx 第 16 页 共 19 页(2)答案详见解析(3)证明详见解析 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得 fx，对m分类
28、讨论，由此来求得 f x的单调区间.（3）结合（2）求得 f x在区间0,上的最小值，由此证得结论成立.【详解】（1）当0m 时，e,e1xxf xx fx，01,1e 1ff ，所以切线方程为1e 1,e 11yx yx.（2）依题意，ee1,0 xxf xmmx m，e1 eee1e1eexxxxxxxmmfxmmm，当0m 时，e10 xfx ，解得0 x,则 f x在区间 ,0,0,fxf x递减；在区间 0,0,fxf x递增.当0m时，0fx解得lnxm或0 x,当10m 时，f x在区间 ,ln,0,0,mfxf x递增；在区间 ln,0,0,mfxf x递减.当1m 时，0,f
29、xf x在R上递增.当1m 时，f x在区间 ,0,ln,0,mfxf x递增；在区间 0,ln,0,mfxf x递减.（3）当e1m 时，1e,0ln1mm，由（2）可知，f x在0,lnm递减，在ln,m递增，所以 lnlnlnee1lnmmf xfmmmm 11lnmmmmm 11ln1112mmmmm ，第 17 页 共 19 页 所以对任意的 0,2xf x 恒成立.【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解，将复杂的问题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据导函数的结构来制定.21已知数列 n
30、a满足：*11,24aaN，且12,12,1,2,224,12nnnnna aanaa.记集合*nManN.(1)若12a，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是 3 的倍数，证明：M的所有元素都是 3 的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值.【答案】(1)2,4,8,16(2)见解析(3)5 【分析】（1）根据递推关系可求M的所有元素；（2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明；（3）利用列举法可求M的元素个数的最大值【详解】（1）若12a，则2124aa，3228aa，43612aa，542824aa，故 na中的项的大小从第 3 项开始周期变化，且周期为 2.故2,4,
31、8,16M.（2）设*3,kam mN，若112ka，则132kma，因2,3互质，故1ka为 3 的倍数；若112ka，则13224kma即1232438kamm，因2,3互质，故1ka为 3 的倍数，依次类推，有21,kaa均为 3 的倍数.当1nk时，我们用数学归纳法证明：na也是 3 的倍数.当1nk时，若12ka，则16kam，故1ka为 3 的倍数；第 18 页 共 19 页 若12ka，则1624kam，故1ka为 3 的倍数，设当nm时，na是 3 的倍数即ma为 3 的倍数，若12ma，则12mmaa，故1ma为 3 的倍数；若12ma，则1224mmaa，因24为 3 的倍
32、数，故1ma为 3 的倍数，故当1nm时，na是 3 的倍数也成立，由数学归纳法可得na是 3 的倍数成立，综上，M的所有元素都是 3 的倍数.（3）当11a，则232,4aa，48a，516a，68a，故M的元素个数为 5；当13a，则42356,12,24,24aaaa，故M的元素个数为 4；当15a，则5243610,20,16,8,16aaaaa，故M的元素个数为 5；当17a，则3456214,4,8,16,8aaaaa，故M的元素个数为 5；当19a，则234518,12,24,24aaaa，故M的元素个数为 4；当111a，则5243622,841,12,24,2aaaaa，故M
33、的元素个数为 5；当113a，则524632,4,8,16,8aaaaa，故M的元素个数为 5；当115a，则23456,12,24,24aaaa，故M的元素个数为 4；当117a，则5243610,20,16,8,16aaaaa，故M的元素个数为 5；当119a，则3456214,4,8,16,8aaaaa，故M的元素个数为 5；当121a，则234518,412.24,24aa，故M的元素个数为 4；当123a，则5243622,20,16,8,16aaaaa，故M的元素个数为 5；当124a，则224a，故M的元素个数为 1；当12,1,2,11ak k时，M的元素个数不超过为 5，综上，M的元素个数的最大值为 5.【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决.第 19 页 共 19 页