2023届北京市通州区高三上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2023 届北京市通州区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合21Axx，03Bxx，则AB（）A01xx B23xx C13xx D20 xx 【答案】B【分析】由集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合21Axx，03Bxx，所以|23ABxx，故选：B 2等差数列 na中，268aa，343aa，则 na的通项为（）A516n B511n C38n D35n【答案】A【分析】根据已知条件求得等差数列 na的首项和公差，从而求得na.【详解】设等差数列 na的公差为d，依题意11268253adad，解得15,11da，所以1115516nann.故选：A

2、 3抛物线28xy的焦点坐标为（）A4,0 B0,4 C2,0 D0,2【答案】D【解析】抛物线交点坐标为(0,)2p，算出p即可.【详解】由282xypx，得4p，故抛物线28xy的焦点坐标为0,2.故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是第 2 页 共 17 页 一道基础题.4已知向量a，b满足2,4ab，310,16ab，则a b等于（）A13 B13 C29 D29【答案】C【分析】先求得向量a，b，进而求得a b.【详解】依题意2,4ab，310,16ab，两式相加得48,12,2,3aa ，所以2,44,7ba，所以82129

3、a b .故选：C 5设n为正整数，212nxx的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A2 B3 C4 D5【答案】B【分析】写出二项式展开式的通项，令x的指数为 0，进而可得结果.【详解】212nxx的展开式的通项22311C22Crn rrn rrnrrnnTxxx，令230nr得32nr，因为*Nn，所以当2r 时，n有最小值 3，故选：B 6在ABC中，若3b，6c，3B，则a等于（）A63 22 B3 262 C3 2 D2 6 【答案】A【分析】根据题意由余弦定理直接求得答案.【详解】在ABC中，若3b，6c，3B,则2222cosbacacB,即2966aa，即2630aa，解

4、得63 22a ，63 202a舍去，故选：A 7“2a”是“210aa”的（）第 3 页 共 17 页 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据21aa的特征，设函数21,(2()xxf xx，并判断其单调性，由此判断“2a”可推出“210aa”，举反例说明反推不成立，可得答案.【详解】设函数21,(2()xxf xx，则2212()ln2ln21ln1610,(2)xfxx ，即21,(2()xxf xx为单调增函数，则()(2)10f xf，即得210,(2)xxx，所以当2a 时，210aa 成立，当1a 时，11212102

5、1aa ，但推不出2a 成立，故“2a”是“210aa”的充分而不必要条件，故选：A 8已知半径为 1 的圆经过点2,3，则其圆心到直线3440 xy距离的最大值为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】先求得圆心的轨迹方程，然后结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】由于半径为 1 的圆（设为圆A）经过点2,3，所以圆A的圆心的轨迹是以2,3为圆心，半径为1的圆，2,3到直线3440 xy距离为6 12425，所以圆A的圆心到直线3440 xy距离的最大值为2 13.故选：C 9要制作一个容积为3216 cm的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（）A6cm

6、，6cm B36 2cm，33 2cm C36 4cm，33 4cm D8cm，3 3cm【答案】C 第 4 页 共 17 页【分析】设圆柱的高为h，底面半径为r由2216rh，可得2222162222Srr hrrr，再利用基本不等式即可得出【详解】解：设圆柱的高为hcm，底面半径为rcm 2216Vrh，2216hr 2222162222Srr hrrr2216216 2rrr23216 216 3 2rrr336 2mL 当且仅当22162rr，即当331083 4cmr 时取等号 此时3322168646 4cmhr 即当33 4cmr，36 4cmh 时S取得最小值 故选：C.10设

7、点,P x y是曲线22:1C xyxy 上任意一点，则点P到原点距离的最大值、最小值分别为（）A最大值2，最小值63 B最大值2，最小值 1 C最大值 2，最小值63 D最大值 2，最小值 1【答案】B【分析】由题设明确点,P x y到原点距离为22xy，结合曲线方程22:1C xyxy，利用基本不等式可得22xy的最小值和最大值，即可得答案.【详解】由题意知点,P x y到原点距离为22xy，由于点,P x y是曲线22:1C xyxy 上任意一点，可得2211xyxy，当且仅当0 xy 时取等号，即曲线上的点(1,0),(0,1)到原点距离最小，最小值为 1；又因为222,Rxyxy x

8、 y,所以2222|,R,|22xyxyxyx yxy，当且仅当|xy时取等号，故2222112xyxyxy ，即222xy，当且仅当|1xy时取等号，即点P到原点距离的最大值为2，故选：B 二、填空题 第 5 页 共 17 页 11复数21iz 的共轭复数z _.【答案】1 i#i+1【分析】根据复数除法的运算求出z，再由共轭复数的概念求解即可.【详解】22(1i)22i1 i1 i(1 i)(1i)2z，所以1iz ，故答案为：1 i 12已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线的倾斜角为 60，则 C 的离心率为_.【答案】2【分析】根据渐近线得到tan603ba，得到

9、离心率.【详解】由题意可知，tan603ba，离心率2212cbeaa.故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于简单题.13已知函数 ln,0,xxaf xaxax，若函数 f x存在最大值，则a的取值范围为_.【答案】e,【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合 f x存在最大值即可求解【详解】当0 xa，lnf xx在区间0,a上单调递增，所以此时 ,lnf xa；当xa，af xx在区间,a 上单调递减，所以此时 0,1f x，若函数 f x存在最大值，则ln1a，解得ea 所以a的取值范围为e,故答案为：e,14 已知数列 na的前n项和为nS0nS，nT为数列 n

10、S的前n项积，满足nnnnSTST*nN，给出下列四个结论：12a；221nann；nT为等差数列；1nnSn.其中所有正确结论的序号是_.【答案】第 6 页 共 17 页【分析】根据关系式nnnnSTST，当1n 时，即可求得1a的值；由nnnnSTST得1nnnSTS，当2n时，可得1111nnnSTS，可证明11nS为等差数列，即可求得nS，则可求得,nnT a，则可判断其他选项.【详解】因为nnnnSTST*nN，所以当1n 时，21111112STS Taa，解得12a 或10a，又0nS，所以10a，故12a，故正确；因为nnnnSTST，可得1nS，所以1nnnSTS，当2n时，

11、1111nnnSTS，所以111111111111111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnSTSSSSSSTSSSSSSSSSS，11nS是以1111S为首项，1为公差的等差数列，所以11111nnnS ，则1nnSn，故正确；所以11111nnnnSnTnnSn，则111,2nnTTnnn，所以 nT为等差数列，故正确；当2n时，221111111nnnnnnnaSSnnn nn n ，又12a 不符合 所以2,11,21nnann n，故不正确.故答案为：.三、双空题 15齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等

12、马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分 3 组各进行一场比赛，胜 2 场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为_；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为_.第 7 页 共 17 页【答案】16 12#0.5【分析】列举出齐王与田忌赛马的每组马对阵的所有情况，即可求出双方均不知对方马的出场顺序时田忌获胜的概率，列举出田忌的上等马与齐王的中等马分在一组时的对阵情况，可求得田忌获胜的概率.【详解】设齐王的三匹马分别记为123,a a a，田忌的三匹马分别记为123,b b b，齐王与田忌赛马，双方每组对阵情

13、况有 112233)(,),(),(,a ba ba b，齐王获胜；112332)(,),(),(,a ba ba b，齐王获胜；211233)(,),(),(,a ba ba b，齐王获胜；211332)(,),(),(,a ba ba b，田忌获胜；311223)(,),(),(,a ba ba b，齐王获胜；312213(,),(),(),a ba ba b，齐王获胜,共 6 种；其中田忌获胜的只有一种211332)(,),(),(,a ba ba b 则田忌获胜的概率为16；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，此时情况为211233)(,),(),(,a ba ba b和2113

14、32)(,),(),(,a ba ba b共两种，211233)(,),(),(,a ba ba b时，齐王获胜，211332)(,),(),(,a ba ba b，田忌获胜，此时田忌获胜的概率为12，故答案为：1 1;6 2 四、解答题 16已知函数 2sin22cos0f xxx的最小正周期为.(1)求的值；(2)把 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3个单位，得到函数 yg x的图象，求函数 g x的单调递增区间.第 8 页 共 17 页【答案】(1)1.(2)572,2 1212kk，kZ.【分析】（1）化简 f x的表达式，根据最

15、小正周期求得的值；（2）根据三角函数图象的变换规律，可得 yg x的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案.【详解】（1）因为 2sin22cosf xxxsin2cos21xx2sin 214x，所以 f x的最小正周期22T,依题意得，解得1.（2）由（1）知 2sin 214fxx，把 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到2sin14yx的图象，再把得到的图象向右平移3个单位，得到2sin12sin14231yxx 的图象，即 2sin112g xx，由函数sinyx的单调递增区间为2,2 22kk，kZ,令2 2,Z2122kxkk，得572 2,

16、Z1212kxkk，所以 f x的单调递增区间为572,2 1212kk，kZ.17 如图，在四棱雉PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD 平面ABCD，2AB，4ADAP，M，N分别是BC，PD的中点.(1)求证:MN平面PAB；(2)再从条件，条件两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值.条件：ADMN；第 9 页 共 17 页 条件：AMAN.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）取AP中点E，连接EN，BE,证明BEMN，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）选条件，由ADMN可证BEAD,继

17、而证明AD 平面PAB,推出PAAD，结合PAAB,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面AMN的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案；选条件，根据AMAN，证明PAAD，结合PAAB,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面AMN的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案；【详解】（1）取AP中点E，连接EN，BE,因为N为PD中点，所以有ENAD且12ENAD,因为BMAD，12BMAD，所以ENBM且ENBM,所以四边形BMNE为平行四边形,所以BEMN,又因为MN平面PAB，BE 平面PAB，所以/MN平面PAB.（2）选择条件：ADMN 因为平面PAD 平面

18、ABCD，ABCD为矩形,ABAD,平面PAD 平面,ABCDAD AB平面ABCD,所以AB平面PAD,PA 平面PAD,所以ABPA,又因为ADMN，由（1）可知BEMN，BE 平面PAB，第 10 页 共 17 页 所以ADBE，又因为ADAB，,ABBEB AB BE平面PAB，所以AD 平面PAB,PA 平面PAB,所以PAAD,ABADA AB AD平面ABCD,故PA 平面ABCD,以 A 为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则0,0,0A，2,2,0M，0,2,2N，(0,0,4)P,则2,2,0AM，0,2,2AN，设平面AMN的法向量,nx y z，

19、则220220n AMxyn ANyz，令1y，则1,1,1n ，因为AP平面ABCD，故(0,0,4)AP 可作为平面ABCD的法向量，则平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值43cos,34 3n AP.选择条件：AMAN.因为平面ABCD平面PAD，ABCD为矩形,ABAD 平面PAD 平面,ABCDAD AB平面ABCD,所以AB平面PAD,所以ABPA,又因为AMAN，取AD中点为G，连接MG，NG，第 11 页 共 17 页 则有2MGAG，NGPA,所以ANGAMG,所以90AGMAGN,则NGAD,所以PAAD,ABADA AB AD平面ABCD,故PA 平面ABCD,以 A 为

20、原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A，2,2,0M，0,2,2N，(0,0,4)P,则2,2,0AM，0,2,2AN，设平面AMN的法向量,nx y z，则220220n AMxyn ANyz，令1y，则1,1,1n ，因为AP平面ABCD，故(0,0,4)AP 可作为平面ABCD的法向量，则平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值43cos,34 3n AP.18为了解A B、两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得 A 平台问卷 100 份，B平台问卷 80 份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为

21、：5 分、3 分、1 分，数据统计如下：好评 中评 差评 A 平台 75 20 5 B 平台 64 8 8 假设用频率估计概率，且买家对A B、平台的满意度评价相互独立.(1)估计买家对 A 平台的评价不是差评的概率；(2)从所有在 A平台购物的买家中随机抽取 2 人，从所有在 B 平台购物的买家中随机抽取 2 人，估计这 4 人中恰有 2 人给出好评的概率；(3)根据上述数据，你若购物，选择A B、哪个平台？说明理由.【答案】(1)1920(2)73400(3)选择 A平台，理由见解析 第 12 页 共 17 页【分析】（1）根据题设统计表即可求得答案；（2）计算出买家对A B、平台好评的概

22、率，明确这 4 人中恰有 2 人给出好评的情况有哪几种，根据互斥事件以及相互独立事件的概率计算，可得答案.（3）列出买家对A B、平台的满意度评分的分布列，分别计算均值和方差，由此可得结论.【详解】（1）设“买家对 A平台的评价不是差评”为事件C，则 519110020P C .（2）设“这 4 人中恰有 2 人给出好评”为事件D，由已知数据估计，买家在 A 平台好评的概率为7531004，买家在B平台好评的概率644805，D事件包含：A平台 2 个好评，B平台 0 个好评；A平台 1 个好评，B平台 1 个好评；A 平台 0 个好评，B平台 2 个好评,故 2222112234334434

23、1C1C1145445545P D 73400.（3）设一位买家对 A平台的满意度评分为X，一位买家对B平台的满意度评分为Y，可得其分布列如下表：X 5 3 1 P 0.75 0.2 0.05 Y 5 3 1 P 0.8 0.1 0.1 则()5 0.753 0.21 0.054.4E X ，()5 0.83 0.1 1 0.14.4E Y ，222()(54.4)0.75(34.4)0.2(14.4)0.051.24D X，222()(54.4)0.8(34.4)0.1(14.4)0.11.64D Y,从买家对两个平台满意度得分看两个平台均分相等，但()()D XD Y,所以选择 A平台.1

24、9已知椭圆2222:1xyCab0ab的左、右顶点分别为,A B，且AB4，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上不同于,A B的一点，直线PA，PB与直线4x 分别交于点,M N.试判断以MN为第 13 页 共 17 页 直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)22143xy(2)以MN为直径的圆过定点1,0，7,0.【分析】（1）根据椭圆的标准方程和离心率列方程组求解即可；（2）设,P m n，由题意可得64,2nMm，24,2nNm，设定点为00,Q xy，利用0MQ NQ即可得到结论.【详解】（1）由题意可知2222412ac

25、eaabc，解得231abc，所以所以求椭圆C的方程为22143xy.（2）设,P m n2m，由（1）可知223412mn，,PA PB斜率存在且不为 0，依题意可知PA的直线方程为22nyxm，PB的直线方程为22nyxm，令4x，可得64,2nMm，24,2nNm，假设以MN为直径的圆过定点，不妨设定点为00,Q xy，依题意可知，MQNQ，所以0MQ NQ，0000624,4,22nnMQ NQxyxymm 222000228812444mnnnxyymm，因为223412mn，所以22000288494mnnMQ NQxyym.因为0MQ NQ，所以220002884904mnnxy

26、ym，令00y，可得2049x，解得01x，07x，所以以MN为直径的圆过定点1,0，7,0.【点睛】判断以MN为直径的圆过定点时，常用向量法，根据向量数量积为 0，代入相关点的坐标化第 14 页 共 17 页 简后即可得到结论.20已知函数 221xaf xx.(1)当0a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；(2)求函数 f x的单调区间；(3)当函数 f x存在极小值时，求证：函数 f x的极小值一定小于 0.【答案】(1)2yx(2)答案见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切点坐标和斜率，即可得切线方程；（2）根据函数单调性与导数的关系，确定单调性，

27、即可得单调区间；（3）在（2）的基础上，确定函数极小值点，求极小值即可证明.【详解】（1）解：当0a，221xf xx，则 00f，因为 3221xfxx，所以 02f.所以曲线 yf x在0,0的切线方程为2yx.（2）解：函数定义域为1x x .44222121111xaxxaxfxxx，令 0fx，解得：1xa.当11a 即2a 时，332212220111xxfxxxx，所以函数 yf x的单调递减区间为,1 和1,，无单调递增区间.当11a 即2a 时，当,1xa 和1,x ，0fx；当1,1xa，0fx，函数 yf x的单调递减区间为,1a和1,，单调递增区间为1,1a.当11a

28、即2a 时，当,1x 和1,xa，0fx；当1,1xa，0fx，第 15 页 共 17 页 函数 yf x的单调递减区间为,1 和1,a，单调递增区间为1,1a.综上所述：2a 时，函数 yf x的单调递减区间为,1 和1,，无单调递增区间.2a 时，函数 yf x的单调递减区间为,1a和1,，单调递增区间为1,1a.2a 时，函数 yf x的单调递减区间为,1 和1,a，单调递增区间为1,1a.（3）证明：函数定义域为1x x .由题意，函数存在极小值，则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增.由（2）可知，当2a 时，函数 yf x在1xa处取得极小值，即 22

29、21211021 12aaaf xf aaaa 极小值；当2a 时，又1x ，函数 yf x无极小值，所以函数 f x的极小值一定小于 0.21约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m0m除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为121,kka aaa12kaaa.(1)当4k 时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；(2)当4k 时，若21321,kkaa aaaa构成等比数列，求正整数a；(3)记12231kkAa aa aaa，求证：2Aa.【答案】(1)8.(2)12kaa4k.(3)证明见解析.【分析】

30、（1）根据题意即可写出 a的一个值；（2）由题意可知11a，kaa，12kaaa，23kaaa，结合21321,kkaa aaaa构成等比数列，可推出3a是完全平方数，继而可得232aa，由此可知21321,kkaa aaaa为第 16 页 共 17 页 212222221,kkaaaaa，即可求得 a；（3）由题意知1211,kkikia aa a aaa aa，1ik，从而可得22212112kkkkaaaAaaaaa a，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.【详解】（1）当4k 时正整数a的 4 个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为 8 的所有正约数,即8a.（2）由题意可

31、知11a，kaa，12kaaa，23kaaa，因为4k，依题意可知3212112kkkkaaaaaaaa，所以3222123aaaaaaaaaaa，化简可得2232231aaaa，所以232321aaaaa，因为*3Na，所以*3221Naaaa，因此可知3a是完全平方数.由于2a是整数a的最小非 1 因子，3a是a的因子，且32aa，所以232aa，所以21321,kkaa aaaa为212222221,kkaaaaa，所以12kaa,4k.（3）证明：由题意知1211,kkikia aa a aaa aa，1ik，所以22212112kkkkaaaAaaaaa a，因为1211212121

32、11111111,kkkkkkkkaaaaa aa aaaaaaaaa，所以22221211212112111kkkkkkkkaaaAaaaaaa aaaaaa a 2212231111111111kkkaaaaaaaaaa，因为11a，kaa，所以1111kaa，所以22111kAaaaa，第 17 页 共 17 页 即2Aa.【点睛】关键点点睛：在第二问的解答中，在得到232321aaaaa后，要能根据*3Na，推得*3221Naaaa，继而得出232aa，这是解决问题的关键.第三问的证明中，难点在于要能注意到1211,kkikia aa a aaa aa，1ik，从而可得22212112kkkkaaaAaaaaa a，然后采用裂项求和的方法进行化简进而证明结论.