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1、 1 高二数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 I 卷(非选择题)两部分，共 100分，考试用时 90 分钟.祝各位考生考试顺利！第 I 卷 1.请将试卷答案写在答题纸上；2.本卷共 8 题，每题 3 分，共 24 分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 na是等差数列，21a，314a，则公差d为（）A.34 B.34 C.38 D.38【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.【详解】32aad，13144d .故选：B.2.已知等比数列 na的前n项和为nS，公比为3，若13a，则6S（）A.364 B.369 C.1092 D.
2、1094【答案】C【解析】【分析】根据等比数列求和公式直接求解即可.【详解】由等比数列求和公式得：66631 333110921 32S.故选：C.3.若数列 na的前n项和221nSn，则下列结论正确的是（）A.42nan B.42nan C.3,142,1nnann D.3,142,1nnann【答案】D 2【解析】【分析】利用nS与na关系，可得答案.【详解】当1n 时，2112 113aS，当1n 时，22121211nnnaSSnn 42n，经检验，可得3,142,1nnann.故选：D.4.直线32 30 xy被圆224xy截得的弦长为（）A.2 B.2 C.3 D.1【答案】B【
3、解析】【分析】根据点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.【详解】由圆的方程可得：圆心0,0，半径2r，圆心到直线距离2 3313d，直线被圆截得的弦长为2222rd.故选：B.5.抛物线28xy的准线方程是（）A.132x B.4y C.14x D.2y 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，直接写出抛物线准线方程作答.【详解】抛物线28xy的准线方程是2y.故选：D 6.已知m是 2与 8等比中项，则圆锥曲线221yxm的离心率等于（）A.52 B.2 C.5或32 D.3或52【答案】C【解析】3【分析】由等比中项定义求得m，根据m的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，
4、然后计算离心率【详解】由已知22 8m，4m，当4m 时，方程为2214yx，曲线为椭圆，224,1ab，413c，离心率为32e；当4m时，方程为2214yx，曲线为双曲线，221,4ab，415c，离心率为5e 故选：C 7.设抛物线2:12C xy 的焦点为F，点P在C上，0,9Q，若PFQF，则PQ（）A.26 B.5 2 C.6 2 D.4 2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而得到6QFPF，利用抛物线焦半径公式和抛物线方程可得P点坐标，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】由抛物线方程得：0,3F，则6QF，设00,P x y，036PFy，解得：03y ，
5、2036x，2200936366 2PQxy.故选：C.8.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为（）A32 f B.322 f C.1252 f D.1272 f【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.4【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN，故1
6、1nnaa q，又1af，则125551261(2)2aa qff 故选：C.第 II 卷 1.请将试卷答案写在答题纸上；2.本量共 76 分.二、填空题:本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分 9.已知 na是等比数列，2512,4aa，则公比q _【答案】12【解析】【分析】根据等比数列的性质：n mnmaqa，即可求出结果.【详解】因为 na是等比数列，所以35218aqa，所以12q 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，数列掌握等比数列性质n mnmaqa，是解决本题的关键，属于基础题.10.若直线过两点2,0，1,3，则此直线的斜率是_.【答案】3【解析
7、】【分析】根据两点连线的斜率公式直接求解即可.【详解】直线斜率30312k.故答案为：3.11.以点1,2为圆心，与直线51270 xy有且只有一个公共点的圆的方程为_.【答案】22124xy【解析】5【分析】由直线与圆相切求出半径即可求解【详解】由题意可知以点1,2为圆心的圆与直线51270 xy相切，所以半径为225 1 12 272512 ，所以所求圆的方程为22124xy，故答案为：22124xy 12.双曲线22154xy的焦距等于_.【答案】6【解析】【分析】根据双曲线方程可得22,a b，由双曲线,a b c关系可求得焦距2c.【详解】由双曲线方程知：25a，24b，223cab
8、，则双曲线焦距为26c.故答案为：6.13.椭圆2211612xy上一点M到左焦点1F的距离为 6，则M到右焦点2F的距离为_.【答案】2【解析】【分析】根据椭圆的定义即可求解.【详解】由2211612xy可得216a，所以=4a，由椭圆的定义可得122628MFMFMFa，所以22MF，故答案为：2.14.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层灯数为_【答案】3【解析】【详解】分析：设塔顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为
9、2 的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果 详解:设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为 2 的等比数列，6 S7=71(12)12a=381，解得 a1=3故答案为 3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.三、解答题:本大题 4 个小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l经过点1,0P（1）若直线l与直线430 xy垂直，求直线l的方程；（2）若C的方程是2268210 xyxy，直线l与C相切，求直线l的方程【答案】（1）3430 xy（2）1x 或3430 xy【解析】【分析】（1）根据直线垂直可设直线
10、l方程，求出参数即可.（2）根据直线 l 的斜率是否存在分为两类，然后利用直线和圆相切的位置关系可知点到直线的距离等于半径便可求得.【小问 1 详解】解：由题意得：因为直线 l与直线430 xy垂直，故设直线 l的方程为340 xym 因为直线 l过点1,0P，所以3 1 4 00m ，解得3m 所以直线 l的方程为3430 xy【小问 2 详解】C的方程化为标准形式是22344xy，圆心3,4C，半径2r，当直线 l的斜率不存在时，此时直线 l的方程为1x，圆心 C到直线 l的距离为 2，所以直线 l与C相切，符合题意；当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程是1yk x，即kxyk0，由直
11、线 l与C相切，得 223421kkk，解得34k，所以直线 l的方程是33044xy，即3430 xy 综上所述，直线 l的方程是1x 或3430 xy 16.在22nSnn；13a，3518aa；13a，648S.这三个条件中任选一 7 个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.问题:已知nS为等差数列 na的前n项和，若_.（1）求数列 na的通项公式；（2）设241nnbnaN，求数列 nb的前n项和nT.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）21nan（2）1nnTn【解析】【分析】（1）若选，利用na与nS关系可推导得到na；若选，利用等差数列通项公式
12、可构造方程求得公差d，进而得到na；若选，利用等差数列求和公式可构造方程求得公差d，进而利用等差数列通项公式求得na；（2）由（1）可得nb，采用裂项相消法可求得nT.【小问 1 详解】若选条件，当1n 时，113aS；当2n且nN时，221212121nnnaSSnnnnn；经检验：11a 满足21nan；21nannN；若选条件，设等差数列 na的公差为d，则351266618aaadd，解得：2d，32121nann；若选条件，设等差数列 na的公差为d，则616 5618 15482Sadd，解得：2d，32121nann.小问 2 详解】由（1）得：24411411211nbn nn
13、nn，111111111111223341111nnTnnnnnn .8 17.设椭圆2222:10 xyCabab的离心率12e，过点31,2A.（1）求椭圆C的方程；（2）直线yxm与椭圆交于,M N两点，当OMON时，求m的值.(O为坐标原点)【答案】（1）22143xy（2）2 427【解析】【分析】（1）根据离心率、椭圆,a b c的关系和椭圆所过点可构造方程组求得22,a b，由此可得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根据垂直关系可得0OM ON，利用向量数量积坐标运算和韦达定理结论可构造方程求得结果.【小问 1 详解】离心率12cea，2ac，22223
14、bacc，椭圆方程为2222143xycc，又椭圆过点31,2A，2213144cc，解得：21c，24a，23b，椭圆C的方程为：22143xy.【小问 2 详解】由22143yxmxy得：22784120 xmxm，则248 70m，解得：77m；设11,M x y，22,N xy，1287mxx，2124127mx x，OMON，21212121212122OM ONx xy yx xxmxmx xm xxm2228248077mmm，解得：2 427m ，均满足77m，2 427m.9 18.若数列 na满足：11a，点1,nnn aa在函数1ykx的图象上，其中k为常数，且0k.（1
15、）若124,a a a成等比数列，求k的值；（2）当3k 时，求数列 na的前 21 项和21S.【答案】（1）2；（2）341.【解析】【分析】（1）根据递推公式，用k分别表达234,a a a，再结合124,a a a成等比数列，即可求得结果；（2）根据递推公式，求得21a，再根据分组求和法以及等差数列的前n项和公式，即可求得结果.【小问 1 详解】根据题意可得11nnaakn，又11a，故可得234,1?,2ak akak，又124,a a a成等比数列，故2142a aa，即22kk，解得0k（舍）或2k，故2k.【小问 2 详解】当3k 时，131nnaan，则21311nnaan，两式作差可得：23nnaa，故该数列的奇数项是首项为1，公差为3的等差数列，则21110 331aa，故21S 1234192021aaaaaaa 3 1 13 3 13 19 131 31 3 5191031 10 1 193412 341.故数列 na的前 21 项和21S341.