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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知2|20,Z|3213AxxxBxx，则AB（）A1 B 1,2 C1,2 D|12xx 【答案】A【分析】化简集合,A B，然后用交集运算即可得到答案【详解】因为2|202,1,Axxx Z|3213Z|120,1Bxxxx，所以1AB 故选：A 2下列命题中不正确的是（）A对于任意的实数a，二次函数2yxa的图象关于y轴对称 B存在一个无理数，它的立方是无理数 C存在整数x、y，使得245xy D每个正方形都是平行四边形【答案】C【分析】利用二次函数的对称性可判断 A 选项；利用
2、特殊值法可判断 B 选项；分析可知24xy为偶数，可判断 C 选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，对于任意的实数a，二次函数2yxa图象的对称轴为y轴，A 对；对于 B 选项，无理数62的立方为2，且2为无理数，B 对；对于 C 选项，若x、y为整数，则2x、4y均为偶数，所以，24xy也为偶数，则245xy不成立，C 错；对于 D 选项，每个正方形都是平行四边形，D 对.故选：C.3化简sin347 cos148sin77 cos58的值为（）A32 B32 C12 D22【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.第 2
3、 页 共 16 页【详解】原式sin 27077cos 9058sin77 cos58 2sin58 cos77cos58 sin77sin 5877sin135sin 18045sin452.故选：D.4已知直角三角形的面积等于250cm，则该三角形的周长的最小值为（）cm.A1010 2 B2010 2 C40 D20 2【答案】B【分析】设两条直角边长分别为cmx、100cmx，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.【详解】由直角三角形的面积等于250cm可设两条直角边长分别为cmx、100cmx，则该直角三角形的周长为222210010000100100002210 2
4、20 cmxxxxxxxx，当且仅当22100100000 xxxxx时，即当10 x 时，等号成立.故该三角形的周长的最小值为2010 2cm，故选：B 5已知函数 3e,ln,xf xx g xxx h xxx的零点分别为,a b c，则,a b c的大小顺序为（）Aabc Bcab Cbca Dbac【答案】C【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.【详解】解：因为函数3e,ln,xyyx yxyx都是增函数，所以函数 3e,ln,xf xx g xxx h xxx都是增函数，又 1110,010eff ，所以函数 f x的零点在1,0上，即1
5、,0a，因为 1110,11eegg ，第 3 页 共 16 页 所以函数 g x的零点在1,1e上，即1,1eb，因为 00h，所以函数 h x的零点为0，即0c，所以bca.故选：C.6在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，M点运动的角速度为rad/s6，若点M的初始位置为1 2 2,33，则经过3秒钟，动点M所处的位置的坐标为（）A2 2 1,33 B1 2 2,33 C2 2 1,33 D12 2,33【答案】C【分析】计算出运动3秒钟时动点M转动的角，再利用诱导公式即可得解.【详解】解：M点运动的角速度为rad/s6，则经过3秒钟，转了3=rad62，设点M
6、的初始位置坐标为cos,sin，则12 2cos,sin33，则经过3秒钟，动点M所处的位置的坐标为cos,sin22，即sin,cos，所以经过3秒钟，动点M所处的位置的坐标为2 2 1,33.故选：C.7 已知函数 1,04ln,0 xxf xxxx，当1a 时，方程 2230fxaa f xa的根的个数是（）A6 B5 C4 D3【答案】A【分析】解方程得 f xa或 2f xa，再依次解方程 f xa，2f xa确定满足条件的x的个数即可.【详解】因为 2230fxaa f xa，所以 20fxafxa，所以 f xa或 2f xa，因为1a，所以2aa，第 4 页 共 16 页 当
7、f xa时，若0 x，则14xax，所以24410 xax，方程24410 xax 的判别式216160a，方程的根为24161608aax或24161608aax，若0 x，则lnxa，所以eax ，所以方程 f xa有 3 个根，同理可得 2f xa有 3 个根，故方程 2230fxaa f xa有 6 个根，故选：A.8已知函数 sin6f xx在区间,3上单调递减，则正实数的取值范围是（）A302 B312 C413 D4332【答案】C【分析】利用整体代换法求出函数()f x的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即可.【详解】由题意知，0，令322262kxk，解得242,
8、Z33kkxk，又函数()f x在区间()3,上单调递减，所以233423kk，解得4612,Z3kk k，当0k 时，413.故选：C.二、多选题 9下列说法正确的是（）A角终边在第二象限或第四象限的充要条件是sincos0 B圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于3 C经过4小时，时针转了120 第 5 页 共 16 页 D若角和角的终边关于yx对称，则有2,Z2kk【答案】ABD【分析】对于 A，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于 B，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于 C，根据任意角的定义即可判断；对于 D，由角的终边得出两角的关系即可【详解】对于
9、 A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点,x y的横坐标和纵坐标异号，故2222sincos0yxxyxy；因为sincos0，所以sin0cos0或sin0cos0，故角终边上点坐标,x y对应为：222200yxyxxy或222200yxyxxy即00yx或00yx，所以角终边在第二象限或第四象限，综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是sincos0，故 A 正确 对于 B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为3，故 B 正确；对于 C，钟表上的时针旋转一周是360，其中每小时旋转3603012，所以经过 4 小时应旋转1
10、20，故 C 错误；对于 D，角和角的终边关于直线yx对称，则2()2 42kk，Zk，故 D 正确 故选：ABD 10给出下列四个结论，其中正确的是（）A函数21logsin2yx的定义域为22,2 Z33kkk B函数 11f xxx与 21g xx是相同的函数 C函数2f x的定义域为0,2，则函数 2f x的定义域为2,22,2 D函数 22tan3tan2xf xx的最小值为2【答案】BC 第 6 页 共 16 页【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于A，要使函数21logsin2yx有意义，则有1sin02x，
11、即1sin2x，由正弦函数的图像可知：52 2,Z66kxkk，所以函数21logsin2yx的定义域为5(2,2)(Z)66kkk，故选项A错误；对于B，因为函数 2111f xxxx的定义域为 1,1，函数 21g xx的定义域也是 1,1，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数 11f xxx与 21g xx是相同的函数，故选项B正确；对于C，因为函数2f x的定义域为0,2，所以02x，则224x，由224x可得：22x或22x ，所以函数 2f x的定义域为2,22,2，故选项C正确；对于D，因为函数 222222tan3tan2 11tan2tan2tan2tan2xx
12、f xxxxx，令2tan2(2)xt t，则函数可化为1(2)yttt，因为函数1ytt 在2,)上单调递增，所以15222y，也即函数 22tan352tan2xf xx，所以函数 22tan3tan2xf xx的最小值为52，故选项D错误，故选：BC.11设正数,a b满足1ab，则有（）A14ab B3314ab C1484 5bab D221124abba【答案】ACD【分析】对于 A，由基本不等式推论可判断选项；对于 B，利用分解因式结合 A 分析可判断选项；对于 C，141445411abbaababab，利用基本不等式可判断选项；对于 D，第 7 页 共 16 页 22221
13、223496121212baabbababa，利用基本不等式可判断选项.【详解】对于 A，由基本不等式推论有2144abab，当且仅当12ab取等号.故 A 正确.对于 B，23322313ababababababab，由 A 分析可知1144abab ，则3311 34abab，当且仅当12ab取等号.故 B 正确.对于 C，141445454111abbaababababab 545482884 5babaabab，当且仅当2245ab，即 2 5452 5，ba时取等号.故 C 正确.对于 D，222222111 22349612121212babaabbabababa 42911491
14、126136412412abbababa42911113264124abba，当且仅当224291ab，即3255，ba时取等号.故 D 正确.故选：ACD 12已知函数 f x的定义域为R，且1f x为奇函数，1f x为偶函数，1,1x 时，cos2f xx，则下列结论正确的是（）A f x的周期为 4 B10132f C f x在2,4上为单调递减函数 D方程 5log0f xx有且仅有四个不同的解【答案】BCD【分析】根据题意可知函数 f x关于1,0对称且关于1x 对称，结合周期函数的定义即可判断 A，根据函数的对称性结合函数的解析式即可判断 B，判断出函数在2,0上的单调性，再结合函
15、数的对称性即可判断 D，作出函数 yf x与函数5logyx 图象，结合图象即可判断 D.【详解】解：因为1f x为奇函数，第 8 页 共 16 页 所以11fxf x ，即2fxf x，则函数 f x关于1,0对称，又1f x为偶函数，所以11fxf x，即2fxf x，即函数 f x关于1x 对称，则22f xf x，则有 4f xf x，则 8f xf x，所以 f x是以8为周期的周期函数，故 A 错误；对于 B，104422122cos3333332fffff ，故 B 正确；对于 C，当1,0 x 时，,022x，则函数 f x在1,0上递增，又 10f 且函数 f x关于1,0对
16、称，所以函数函数 f x在2,0上递增，又因函数 f x关于1x 对称，所以 f x在2,4上为单调递减函数，故 C 正确；对于 D，方程 5log0f xx根的个数，即为函数 yf x与函数5logyx 图象交点的个数，如图，作出两函数的图象，由图可知，两函数的图象有 4 个交点，即方程 5log0f xx有且仅有四个不同的解，故 D 正确.故选：BCD.第 9 页 共 16 页 三、填空题 13函数 2lg43f xxx的值域为_.【答案】,0【分析】求出243xx的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数 f x的值域.【详解】因为224321 1xxx ，对于函数 f x，则有204
17、31xx，所以，2lg43,0f xxx.故答案为：,0.14已知tan3，tan1，则cossin_.【答案】1【分析】利用两角和的余弦公式、两角差的正弦公式以及弦化切可求得代数式的值.【详解】因为tan3，tan1，则cos0，cos0，所以，coscossinsincoscoscossinsincoscossincoscossinsinsincoscossincoscos 1tantan1 3 11tantan3 1 .故答案为：1.15已知,0,2，1cos7，11cos14，则sin_.【答案】32#132【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin的值.【详解】因
18、为1cos7，0,2，故4 3sin7，而0,2，故0,，而11cos14，故5 3sin14，所以sinsinsincoscossin 5 31114 331471472.第 10 页 共 16 页 故答案为：32 16已知函数()42 2xxf xaa的最小值为 4，则实数a_【答案】4【分析】根据指数函数的性质，结合4x与2x的大小，分0,01,1,1aaaa四种情况讨论函数()f x的单调性即可求解作答.【详解】当0a 时，函数()42 23xxf xa 在 R 上单调递增，无最小值，不符合题意；当01a时，aa，有422logloglogaaa，则224442 23,log()42
19、2,loglog42 23,logxxxxxxa xaf xaaxaa xa ，显然函数()f x在2(,loga上单调递减，而22loglog22(log)42231aafaaaa ，不符合题意；当1a 时，42 23,042 2,()30 xxxxf xxx ，函数()f x在(,0上单调递减，在(0,)上单调递增，min()0f x，不符合题意；当1a 时，aa，有422logloglogaaa，则442242 23,log()42 2,loglog42 23,logxxxxxxa xaf xaaxaa xa ，函数()f x在4(,loga上单调递减，在2log,)a 上单调递增，当4
20、2loglogaxa时，22)11()xf xa，函数()f x在42(log,log)aa上单调递增，则()f x在4(log,)a 上单调递增，因此44loglogmin4()(log)42 23224aaf xfaaaa ，解得4a，符合要求，所以实数4a.故答案为：4【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值 四、解答题 17已知集合241|1,|212xAxBx axax.(1)求集合RA；第 11 页 共 16 页(2)若ABB，求实数a的取值范围.【答案】(1)|1x x或3x (2)(1,2(4,)【分析】（1）解分式不等式求得集合A
21、，进而求得RA.（2）根据B是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a的取值范围.【详解】（1）242431,10111xxxxxx，所以31010 xxx，解得13x，所以|13Axx，RA|1x x或3x.（2）由题意，若ABB，则BA，B 时，满足BA，此时122aa，解得4a；B 时，12211232aaaa，解得12a；综上，a的取值范围为(1,2(4,)a.18已知函数 15cos(2)26f xx.(1)求函数 f x在区间0,上的单调递减区间；(2)若3cos123，求 f.【答案】(1)单调递减区间是5 11,12 12(2)16 【分析】(1)根据余弦函数的单调区间，求出
22、函数在整个定义域上的单调减区间，再与0,取交集即可求解；(2)令12，则12，利用二倍角的余弦可得1cos23，然后将所求式子利用诱导公式化简即可求解.第 12 页 共 16 页【详解】（1）1515()cos2cos 22626f xxx 令526tx，0,x 因为1cos2yt的单调递减区间是2,2 kk，Zk，由52 22 6kxk，Zk，得5111212kxk，Zk，即当511+,1212xkk，Zk时，()f x单调递减；又0,x，0k 时5 115 11,0,12121212 所以函数15()cos226f xx，0,x的单调递减区间是5 11,1212.（2）令12，则12,因为
23、3cos()123，所以3cos3，则21cos22cos13 ，1515111()cos(2)cos2()cos(2)cos2262612226f，19函数 sin2 sinf xxx.(1)请用五点作图法画出函数 f x在0,2上的图象；（先列表，再画图）(2)设 2mF xf x，0,2x，当0m时，试研究函数 F x的零点的情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 【分析】（1）将 f x表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出 f x的图象.（2）由 20mF xf x转化为 yf x与2my 的公共点个数，对m进行分类讨论，由此求得 F x零点的情况.【详解】（1）3sin,
24、0()sin,2xxf xxx，按五个关键点列表：x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 第 13 页 共 16 页()sin2 sinf xxx 0 3 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）因为()()2mF xf x，所以()F x的零点个数等价于()yf x与2my 图象交点的个数，设2mt，0m，则1t 当20log 3m，即13t 时，()F x有 2 个零点；当2log 3m，即3t 时，()F x有 1 个零点；当2log 3m，即3t 时，()F x有 0 个零点.20已知函数 2122mf xmmxmR为幂函数，且 f x在0,上单调递
25、增.(1)求m的值，并写出 f x的解析式；(2)令 21g xf xx，1,12x，求 g x的值域.【答案】(1)3m，2f xx(2)11,2 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数m的等式与不等式，求出m的值，即可得出函数 f x的解析式；（2）求出函数 g x的解析式，在1,02x 时，利用单调性求出函数 g x的值域；当 0,1x时，换元211,3ux，利用二次函数的基本性质可求得函数 g x的值域，综合可得结果.【详解】（1）解：因为 2122mf xmmxmR为幂函数，且 f x在0,上单调递增，第 14 页 共 16 页 则222110mmm，解得3m，所以，
26、2f xx.（2）解：22121g xxxxx，1,12x.当1,02x 时，21g xxx 在1,02上单调递减，所以 min01g xg，max1122g xg，此时 11,2g x；当 0,1x时，21g xxx，设21ux，1,3u，可得212ux，2211121111,13222yxxuuu ，此时 1,13g x，综上，g x的值域为11,2.21已知函数 223log22aaf xxax0,1aa.(1)当2a 时，解不等式 2log 6f x；(2)2,4xaa，1f x，求实数a的取值范围.【答案】(1)|11xx 或24x(2)2,13 【分析】(1)根据2a，先求出函数的
27、定义域，在根据函数对数函数的单调性解不等式即可，最后与函数定义域取交集即可求出结果；(2)由 1f x 可得：223log()log22aaaxaxa，然后分别在01a和1a 两种情况下，根据对数函数的单调性进而求解.【详解】（1）当2a 时，22()log(32)f xxx，要使函数有意义，则有2320 xx，解得：2x 或1x，所以定义域为(,1)(2,).因为2()log 6f x，即2326xx，解得：14x，所以不等式解集为|11xx 或24x.（2）由题意，2,4 xaa，223log()1log22aaaxaxa，第 15 页 共 16 页 当01a时，则有2,4 xaa，223
28、22axaxa恒成立，设223()22ag xxaxa，对称轴为324xaa，()g x在2,4 aa单调递增，所以2min3()(2)02g xgaaa，得203aa或，所以2,1)3a.当1a 时，则有2,4 xaa，22322axaxa恒成立，223()22ag xxaxa在2,4 aa单调递增，所以2max21()(4)02g xgaaa，得2021a，舍去.综上，2,13a.22已知函数 21axbf xx是定义域R上的奇函数，且满足 91210ff.(1)判断函数 f x在区间0,1上的单调性，并用定义证明；(2)已知1x、20,x，且12xx，若 12f xf x，证明：122x
29、x.【答案】(1)f x在0,1上单调递增，证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得b的值，利用 91210ff可求得a的值，可得出函数 f x的解析式，判断出函数 f x在0,1上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由 12f xf x结合作差法可得出121x x，再利用基本不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：因为函数 21axbf xx是定义域R上的奇函数，则 fxf x，即2211axbaxbxx，解得0b，则 21axfxx，又 129122510ffaa，得1a，所以 21xfxx.函数 21xfxx在0,1上单调递增，理由如下：1x、20,1x，且12xx，即1201xx，所以，210 xx，1210 x x ，2110 x ，2210 x ，则 221221211212122222221212121110111111xxxxxxx xxxf xf xxxxxxx，第 16 页 共 16 页 所以 12f xf x，则 f x在0,1上单调递增.（2）证明：由题意，12f xf x，则有 21121222121011xxx xf xf xxx，因为120 xx，所以1 210 x x ，即121x x，所以121222xxx x，得证.