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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合11Ax x，Bx xa，若AB，则a的取值范围（）A0a B2a C2a D2a 【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围.【详解】由11x解得11 1x 即02x，所以02Axx，因为AB，所以2a，故选:B.2命题“x R，都有xeR”的否定是（）Ax R，使得xeR Bx R，使得xeR Cx R，使得xeR Dx R，使得xeR【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x R，都有xeR”的否定是“x R，使得xeR”.故选：A 3已知co
2、s140m，则tan50等于（）A21mm B21mm C211mm D211mm【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得.【详解】cos140cos 9050sin500m ，则sin50m，222cos501 sin 5011mm 2sin50tan50cos501mm.故选：B.4已知函数3()tan4(,R)f xaxb xa b且3(lglog 10)5f，则(lglg3)f（）第 2 页 共 15 页 A-5 B-3 C3 D随,a b的值而定【答案】C【分析】先推导 8f xfx，再根据3lglog 10lglg30求
3、解即可【详解】由题意，33tan4tan48f xaxb xaxbxfx，又3lg10lglog 10lglg3lglg3lg10lg3，故3(lglog 10)(lglg3)8ff.又3(lglog 10)5f，故(lglg3)853f 故选：C 5已知函数 21,14log1,1aaxxxf xxx是 R上的单调函数，则实数 a 的取值范围为（）A1 1,4 2 B1 1,4 2 C10,2 D1,12【答案】B【分析】分函数 f x在 R上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数 21,14log1,1aaxxxf xxx是 R上的单调递减函数，所以01112514aaa ，解得1142
4、a，因为0a 且1a，所以当1x时，f x不可能是增函数，所以函数 f x在 R 上不可能是增函数，综上：实数 a的取值范围为1 1,4 2，故选：B 6已知m为正实数，且22tan15sinmxx对任意的实数,2x xkkZ均成立，则m的最小值为（）A1 B4 C8 D9 第 3 页 共 15 页【答案】D【分析】22222maxtan1515sintansinsinmxmxxxx，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案.【详解】由22tan15sinmxx对任意的实数,2x xkkZ均成立，可得222max15sintansinmxxx.22422222221 cossin15sint
5、ansin15 1 cos15 1 coscoscosxxxxxxxxx 2222111716172 169coscoscoscosxxxx，当且仅当22116 coscosxx，即21cos4x 时取等号.则9m.故选：D 7设sin7a，则（）A222logaaa B22log2aaa C22log2aaa D22log2aaa【答案】D【分析】分别判断出21142a，22222a，211log2a ，即可得到答案.【详解】sin7sin 72a.因为7264，所以1222a.所以21142a；因为2xy 在 R 上为增函数，所以12222222a；因为2logyx在0,上为增函数，且12
6、22a所以22212logloglog22a，即211log2a ；所以22log2aaa.故选：D 8设函数 coscosf xmxnx，其中m，n，为已知实常数，xR，若第 4 页 共 15 页 002ff，则（）A对任意实数x，0f x B存在实数x，0f x C对任意实数x，0f x D存在实数x，0f x 【答案】A【分析】根据(0)()02ff，可推出coscos,sinsinmnmn ，整理化简后可得mn或mn，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知(0)()02ff，即coscossinsin0mnmn ，即coscos,sinsinmnmn ，两式
7、两边平方后可得 22mn，故mn或mn，若0mn，则coscossinsin ，故2,Zk k，此时()cos(2)cos()cos()cos()0f xmxkmxmxmx+，若0mn ，则coscos,sinsin，故2,Zk k，此时()cos(2)cos()0f xmxkmx，若0mn 或0mn ，则()0f x ，故对任意实数x，0f x，则 A 正确，B,C,D错误，故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到 m 和 n之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题 9下列三角函数值为负数的是（）A3tan4 Btan505 Csin7.6 Dsin1
8、86【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】对于 A，33tantan(1)144 ，故 A 为正数；对于 B，tan505tan(360)tan145tan350145 ，故 B 为负数；对于 C，sin7.62sin(80.4)sin05，故 C 为负数；第 5 页 共 15 页 对于 D，sin186sin(1806)sin60 ，故 D 为负数；故选：BCD 10下列计算或化简结果正确的是（）A若1sincos2，costan2sin B若1tan2x，则2sin2cossinxxx C若2 5sin5，则tan2 D若为第二象限角，则22cossi
9、n21sin1cos【答案】AB【分析】利用22sinsincos1,tancos，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于 A 选项：1sincos2，cossincos1tan2sincossinsincos，故 A 正确；对于 B 选项：1tan2x，则122sin2tan221cossin1tan12xxxxx，故 B 正确；对于 C 选项：范围不确定，tan的符号不确定，故 C 错误；对于 D 选项：为第二象限角，sin0,cos0,22cossincossincossin=0cossincossin1 sin1 cos,故 D 错误.故选：AB.11定义域
10、和值域均为,a a的函数 yf x和 yg x的图象如图所示，其中0acb，下列四个结论中正确的有（）A方程 0fg x有且仅有三个解 B方程 0gf x有且仅有三个解 C方程 0ff x有且仅有八个解 D方程 0g g x有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用 tf x和 tg x，结合函数 yf x和 yg x的图象，分析每个选项中外层第 6 页 共 15 页 函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程 yf x，当ayc 或cya，方程 yf x只有一解；当yc 时，方程 yf x只有两解；当cyc 时，方程 yf x有三解；对于方程 yg x，当
11、aya 时，方程 yg x只有唯一解.对于 A 选项，令 txg，则方程 0f t 有三个根1tb，20t，3tb，方程 g xb、0g x、g xb均只有一解，所以，方程 0fg x有且仅有三个解，A 选项正确；对于 B 选项，令 tf x，方程 0g t 只有一解1tb，方程 f xb只有三解，所以，方程 0gf x有且仅有三个解，B 选项正确；对于 C 选项，设 tf x，方程 0f t 有三个根1tb，20t，3tb，方程 f xb 有三解，方程 0f x 有三解，方程 f xb有三解，所以，方程 0ff x有且仅有九个解，C 选项错误；对于 D 选项，令 txg，方程 0g t 只有
12、一解1tb，方程 g xb只有一解，所以，方程 0g g x有且仅有一个解，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数 yfg x的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数 ug x和外层函数 yf u；（2）确定外层函数 yf u的零点1,2,3,iuu in；（3）确定直线1,2,3,iuu in与内层函数 ug x图象的交点个数分别为1a、2a、3a、na，则函数 yfg x的零点个数为123naaaa.12已知函数 211xxf xxx，2log11xg xx xx的零点分别为，给出以下结论正确的是（）A1 B C32 D2 【答案】BD 第 7 页 共 15 页
13、【分析】先说明,11xyxx的图象关于直线yx对称，由题意可得2log,2，且21，化简可得，判断 B;写出的表达式，利用基本不等式可判断4，判断 A;利用零点存在定理判断出322，写出的表达式，由此设函数13,(2)1()12xhxxx，根据其单调性可判断C,D.【详解】对于函数,11xyxx，有,11yxyy，即函数,11xyxx的图象关于直线yx对称，由题意函数 211xxf xxx，2log11xg xx xx的零点分别为，可知为,21,1xxyyxx的图象的交点的横坐标，为2,log,11xyyxxx的图象的交点的横坐标，如图示，可得2(,2),(,log)AB，且,A B关于直线y
14、x对称，则2log,2，且21，故1)(0，即，故 B 正确；由题意可知1,10 ，所以11(111122241)11 ，由于 2222 1220,2f ，即4，A 错误；因为323322321232 20f，2220222 1f ，且 21111xf xxx为单调减函数，故 211xxf xxx在3(,2)2上存在唯一的零点，即322，第 8 页 共 15 页 故13,(2)1112，设13,(2)1()12xhxxx，则该函数为单调递增函数，故3311()122322212()hhx ，且1(2)2 11()02hhx，故3202 ，故 C 错误，D 正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：解
15、答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log)AB，且,A B关于直线yx对称，从而可得2log,2，且21，然后写出以及的表达式，问题可解.三、填空题 13已知 3sincostan 22tan sinf.若163f，则56f的值为_.【答案】13【分析】利用三角函数的诱导公式化简 f，结果为cos，结合163f可得1cos()63，再利用诱导公式化简56f为cos()6，即得答案.【详解】由题意 3sincostan(cos)sin(tan)22costan sin(tan)(sin)f，由163f可得1cos()63，故551coscos
16、()cos()66663f ，故答案为：13 14若正数a，b满足24loglog8ab，48loglog2ab，则82loglogab的值为_.【答案】523【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log20log24ab 即可求解.【详解】因为24loglog8ab，所以221loglog82ab，第 9 页 共 15 页 又因为48loglog2ab，所以2211loglog223ab，联立22221loglog8211loglog223abab解得22log20log24ab，所以8222152loglogloglog33abab，故答案为：523.15已知实数,0,2a b，且8
17、 44ab，则22ba的最大值是_【答案】2【分析】由已知可得822842baaa，令2ax，构造函数28(),1,48f xxxx，根据函数的单调性，即可求出最大值.【详解】解：由8 44ab，可知 22844222222babababa，则82222baba，且有284ba 822842baaa，令2ax，0,2a 28(),1,48f xxxx，可知()f x在1,4上单调递减，max 88()(1)248 1 1f xf，即22ba的最大值是 2，故答案为：2.16某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为0ektPP，其
18、中0P，k是正的常数.如果在前 5h 消除了 10%的污染物，那么经过_h 污染物减少 50%（精确到 1h）？取lg0.50.3，lg0.90.045 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解.【详解】由题知，当0t时，解得0PP，第 10 页 共 15 页 当5t 时，5001 10%ekPPP，解得：1ln0.95k ，所以500.9tPP，当050%PP时，则有：50000.950%0.5tPPP，即50.90.5t，解得：0.9lg0.50.35log0.55533lg0.90.45t .故答案为：33.四、解答题 17若，0,2，且21 sinsinsincoscos.(1)解关
19、于x的不等式2tancostan0 xx的解集（解集用的三角值表示）；(2)求tan的最大值.【答案】(1)1|sinsinxx(2)24 【分析】(1)根据题意2sincostan1 sin，用的三角函数值替换的三角函数值，从而解一元二次不等式即可；(2)利用基本不等式求解.【详解】（1）2sincostan1 sin，22sin1 sinsin0 xx，sin1sin0 xx，因为1sinsin 所以1sinsinx，原不等式解集1|sinsinxx；（2）2222sincostantan2tan2sincos2tan142 2tan，当且仅当22tan1即2tan2时取得等号.第 11
20、页 共 15 页 18中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了mint会与时针重合，一天内分针和时针重合n次.(1)建立t关于n的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n.【答案】(1)72011tn.(2)22 次.【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转
21、一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案.【详解】（1）设经过mint分针就与时针重合，n为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为2rad/min6030，时针旋转的角速度为2rad/min12 60360，所以230360tn，即72011tn.（2）因为时针旋转一天所需的时间为24 601440（min），所以720144011n，于是22n,故时针与分针一天内只重合 22 次.19在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角的终边OA与单位圆的交点坐标为1,02A mm，射线OA绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为 yf.(1)求函数
22、yf的解析式，并求3f的值；第 12 页 共 15 页(2)若 34f，0,，求4tan3的值.【答案】(1)7sin6f，12(2)393 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin2，且0m，所以76，由此得 7sin6f 751sinsin33662f.（2）由 34f知73sinsin664，即3sin64 由于0,，得 7,666，与此同时sin06，所以cos06 由平方关系解得：13cos64，sincos43936tantan333co
23、ssin36.20已知函数 lg 52lg 52xxxxf xa（a为常数）.(1)当1a，求12f的值；（参考数据：lg30.5，lg50.7）(2)若函数 f x为偶函数，求 f x在区间2,1 上的值域.【答案】(1)0.3(2)999lg,lg11101 【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a 时，lg 254xxf x，此时 1122119lg 254lg2lg2lg3lg51 0.70.3255f 第 13 页 共 15 页（2）函数 lg 52lg 52xxxxf xa的定义域为,00,
24、，1 101 10lg 52lg 52lglg55xxxxxxxxfxaalg 1 10lg5lg 1 10lg5xxxxa 101101lg 52lg 52lglg22xxxxxxxxf xaa lg101lg2lg1 10lg2xxxxa 由偶函数的定义得恒有=f xfx 即：lg5lg5lg2lg2xxxxaa 也就是恒有lg2lg5lg5lg2xxxxa,所以1a 当2,1x 时，1 102lg 25lg 52lglg1101101xxxxxxxfx，因为函数101xy 为2,1 上的增函数，所以 f x在2,1 单调递减，2,1x ，999lg,lg11101fx 故 f x在2,1
25、 上值域999lg,lg11101.21 武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为 550人，人均票价为 4 元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y（元）与发车时间间隔t（分钟）相关；当间隔时间到达或超过 12 分钟后，列车均为满载状态；当812t 时，单程营业额Y与60412tt成正比；当58t 时，单程营业额会在8t 时的基础上减少，减少的数量为240 8t.(1)求当512t 时，单程营业额Y关于发车间隔时间t的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t次单程运
26、营.为体现节能减排，发车间隔时间8,12t，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58ttYtttt .(2)10t 时，max22080R,【分析】（1）由题意设当812t 时的函数表达式，由12t 时满载求得比例系数，进而求得当58t 第 14 页 共 15 页 时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040 412Rttt，8,12t，采用换元并结合二次函数性质,求得答案.【详解】（1）当812t 时，设60412Yatt，a 为比例系数，由12t 时满载可知550 4220
27、0Y，即604 1212220012a，则40a，当8a时，6040 4 81214608Y，故当58t 时，22146040 8406401100Yttt,故2151603,812406401100,58ttYtttt .（2）由题意可得6012040 412Rttt，8,12t，化简得211192001531Rtt ，8,12t，令111,8 12u ut，则2192001531Ruu，当312(15)10u ，即10t 时，108,12符合题意，此时max22080R.22已知函数 32xafxx，1,22x，a是常数.(1)若 0f x 恒成立，求a的取值范围；(2)设函数 2logg
28、 xf xax，试问，函数 g x是否有零点，若有，求a的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)2,6(2)答案见解析 【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若 0f x 恒成立，即恒有32xax 设 2xh xx ，任取121,22x x，且满足12xx，由于1222xx，第 15 页 共 15 页 由不等式性质可得121222xxxx，即 12h xh x，所以函数 g x在1,22x上单调递减,所以 max1222h xh,所以232a ，即26a ；所以a的取值范围为2,6.（2）由题意可知232log0 xaaxx，即232log0 xaxx，当1,22x时，函数2xy 单调递增，23logyxx单调递减，所以231log,72xx，当0a 时，232log0 xaxx；当a0时，2312log,22xyaxxx单调递增，2312log27,42xyaxaax，当270a或1402a即207a或8a 时，g x没有零点；当287a 时，g x有一个零点.综上，27a 或8a 时，g x没有零点；当287a 时，g x有一个零点.