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1、第 1 页 共 15 页 2022 届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题 一、单选题 1集合11Mxx，02Nxx，则MN（）A1,1 B 0,1 C1,2 D1,0【答案】C【分析】利用并集运算即可求解.【详解】0,2N，1,1M 所以1,2MN 故选：C.2已知tan2，则tan2（）A34 B34 C43 D43【答案】D【分析】根据二倍角的正切公式，化简求值.【详解】22tan4tan21tan3.故选：D 3某运动物体的位移 s（单位：米）关于时间 t（单位：秒）的函数关系式为22stt，则该物体在2t 秒时的瞬时速度为（）A10 米/秒 B9 米/秒 C7 米/秒
2、D5 米/秒【答案】B【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度.【详解】由 22s ttt，得 41s tt，则物体在2t 秒时的瞬时速度29tvs米/秒.故选：B 4下列区间中，函数 sin4f xx单调递增的区间是（）A,2 2 B0,C0,2 D3,22【答案】C 第 2 页 共 15 页【分析】根据选项，代入求4x的范围，根据正弦函数的性质，判断选项.【详解】A.当,2 2x 时，3,444x，函数在区间3,42单调递减，在区间,2 4单调递增，故 A 错误；B.当0,x时，3,444x，函数在区间,4 2单调递增，在区间 3,24单调递减，故B 错误；C.当0,2x时，,4 44
3、x，函数在区间,4 4单调递增，故 C 正确；D.当3,22x时，5 7,444x，函数在区间5 3,42单调递减，在区间3 7,24单调递增，故 D 错误.故选：C 5若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A36 B24 C12 D9【答案】A【分析】根据外接球半径求法和球的表面积公式即可求解.【详解】根据题意，体对角线的长度为外接球的直径，所以 2222 32 32 36322R，故该球的表面积为2436SR.故选：A.6若随机变量5,XBp，54D X，则 E X（）A15 B14 C1516 D52【答案】D【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条
4、件，列出方程，即可求出结果.【详解】因为5,XBp，54D X，则 5514D Xpp，解得12p，所以 552E Xp.故选：D.7设1ab，111bya，2bya，311bya，则1y，2y，3y的大小关系是（）第 3 页 共 15 页 A123yyy B213yyy C321yyy D231yyy【答案】C【分析】通过作差法分别比较1y与2y，2y与3y的大小，从而得出1y，2y，3y的大小关系.【详解】因为1ab，所以0,10aba，所以121(1)(1)01(1)(1)bba bb aabyyaaa aaa，231(1)(1)01(1)(1)bbb aa babyyaaa aa a，
5、所以1223,yyyy，即321yyy.故选：C.8如图，已知正方体1111ABCDABC D，M，N分别是1A D，1D B的中点，则（）A直线1A D与直线1D B相交 B直线1A D与直线1D B平行 C直线/MN平面ABCD D直线MN 平面ABCD【答案】C【分析】根据中位线定理证明平行，再由线面平行的判定定理即可求解.【详解】直线1A D与直线1D B既不平行，也不相交，故选项 A 错误，选项 B 错误；根据题意，MN是1D AB中位线，所以/MNAB，MN面ABCD，而AB面ABCD，所以直线/MN平面ABCD，故选项 C 正确，选项 D 错误.故选：C.9用清水冲洗衣服，若每次
6、能洗去污垢的12，要使存留的污垢不超过11000，则至少要洗的次数是（）A11 B10 C9 D8 第 4 页 共 15 页【答案】B【分析】设洗的次数是(N)n n，根据题意列出关于 n 的不等式，再解不等式即可作答.【详解】设洗的次数是(N)n n，令原有污垢为 1，因为每次能洗去污垢的12，则每次洗后留存的污垢为11122，于是得n次冲洗后存留的污垢为1()2n，由11()21000n得：21000n，而910210002，则10n，所以至少要洗的次数是 10.故选：B 10“x R，220 xaxa”是“01a”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条
7、件【答案】A【分析】求出不等式220 xaxa恒成立的 a 的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为x R，220 xaxa，则有2440aa，解得01a，而|01aa|01aa，所以“x R，220 xaxa”是“01a”的充分不必要条件.故选：A 11已知函数()yf x的导函数()fx的图像如图所示，那么函数y()f x（）A在(,1)上单调递增 B在(1,)上单调递减 C在1x 处取得最大值 D在2x 处取得极大值【答案】D【分析】根据给定的函数图象，判断()fx为正或负的 x取值区间，再逐项判断作答.【详解】由函数()yf x的导函数()fx的图像知，当1x或
8、2x 时，()0fx，当12x 时，()0fx，当且仅当0 x 时取等号，第 5 页 共 15 页 因此函数()f x在(,1)，(2,)上单调递减，在(1,2)上单调递增，选项 A，B 不正确；()f x在=1x处取得极小值，在2x 处取得极大值，有 12ff，C 不正确，D 正确.故选：D 12已知椭圆22:143xyC的右焦点为F，上顶点为A，点P在椭圆C上，则PAF周长的最大值为（）A2 B4 C6 D8【答案】D【分析】设椭圆的左焦点为1F，连接1PF，进而结合椭圆定义得PAF的周长为13PaAAFFPPFPA，再根据11aPPFAAF求解即可.【详解】解：设椭圆的左焦点为1F，连接
9、1PF 由椭圆定义知12PFPFa，故12PFaPF，所以PAF的周长为1123PAAFFPFaPAAaPPFFPA，因为11aPPFAAF当且仅当1,P A F三点共线时，等号成立，所以，1348PAAFPFPaaAPF，所以PAF周长的最大值为8，故选：D 二、填空题 13双曲线222yx的焦点坐标是_【答案】0,2，第 6 页 共 15 页【分析】将方程化为双曲线的标准方程，再求焦点坐标.【详解】双曲线方程化简为标准方程为22122yx，由方程可知焦点在y轴，其中222ab，则2224cab，所以焦点坐标是0,2.故答案为：0,2 14已知 na是正项等比数列，且358a a，则2226
10、loglogaa_【答案】3【分析】根据等比数列的下标和性质结合对数的定义与运算求解.【详解】22262262235loglogloglogl8g3oaaa aa a.故答案为：3.15函数()sin()0,0,22f xAxA的部分图像如图所示，则23f=_ 【答案】1【分析】根据函数的最值，周期，最小值点等信息代入即可求解.【详解】根据函数图像，1A，35134362T,解得2T 所以22(0)2T.又5()13f，所以5sin()13，所以532,Z32kk，所以12,Z6kk，又因为22，所以令0k，则16，所以()sin()6f xx，第 7 页 共 15 页 所以22sin()si
11、n13362f.故答案为：1.16若某几何体为一个棱长为 2 的正方体被过顶点 P 的平面截去一部分后所剩余的部分，且该几何体以图为俯视图，其正视图和侧视图为图中的两个，则正视图和侧视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）【答案】(答也正确)【分析】根据点 P 的位置排除不可能为正视图的选项和，分正视图为时，分别讨论即可.【详解】由截面过顶点P可知，正视图不可能为和，正视图为时，侧视图为，其直观图如图所示：当正视图为时，侧视图为，其直观图如图所示：故答案为：(答也正确)三、解答题 第 8 页 共 15 页 17已知 na是公差不为 0 的等差数列，110a ，且4a是2a和5a的等比中
12、项(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和nS的最小值【答案】(1)212nan(2)-30 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项性质即可求解；（2）根据等差数列的求和是二次函数即可求解.【详解】（1）设等差数列 na的公差为0d d，则101nand 4a是2a和5a的等比中项，2(310)10410ddd，解得2d 212nan（2）由（）可知210212112nnnSnn，当 n=5 或 6 时 nS的最小值为30 18甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统
13、计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d 第 9 页 共 15 页 2P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200,乙机床生产的产品中的一
14、级品的频率为12060%200.（2）22400 150 80 120 50400106.635270 13020020039K,故能有 99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.19如图，四边形ABCD是正方形，DE平面ABCD，/AFDE，4ADDE，1AF (1)求证：AC 平面BDE；(2)求平面BDE与平面BEF夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)1313.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理作答.（2）以点 D为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答.【详解】（1）四边形ABCD是正方形，有ACBD，而DE平面ABCD，AC平面ABC
15、D，则ACDE，又BDDED，,BD DE 平面BDE，第 10 页 共 15 页 所以AC 平面BDE.（2）由（1）知，,DA DC DE两两垂直，以D为原点,DA DC DE分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图，则4,0,0A，4,4,0B，0,4,0C，0,0,4E，4,0,1F，即有4,4,4BE ，0,4,1BF，4,4,0AC ，由（1）知AC是平面BDE的一个法向量，设平面BEF的法向量为,mx y z，则444040m BExyzm BFyz ，令1y，得3,1,4m，设平面BDE与平面BEF夹角为，则有|4 34 1 0|13coscos,|13|2|64 2|m
16、 ACm ACmAC 所以平面BDE与平面BEF夹角的余弦值为1313.20已知抛物线2:2(0)C ypx p上的点2,b到焦点F的距离为 4(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线:(0)l xtym m与抛物线C交于11,A x y，22,B xy两点，且以线段AB为直径的圆过原点O，求证直线l恒过定点，并求出此定点的坐标【答案】(1)28yx(2)证明见解析，定点8,0 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合121k k ，即可进一步求解.【详解】（1）由题设知，抛物线C的准线方程为2px ，第 11 页 共 15 页 由点2,b到焦点F的距离为 4，
17、得242p，解得4p，抛物线C的标准方程为28yx（2）由28,yxxtym消去x得2880ytym 128yyt，128y ym 设直线OA和直线OB的斜率分别为1k，2k，以线段AB为直径的圆过原点O，OAOB，121k k 2118yx，2228yx，11118ykxy，228ky 121288646418yyy ym，即8m 直线:8l xty 直线l恒过定点8,0 21已知函数 2exf xax(1)求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；(2)若函数 f x在0,上只有一个零点，求实数a的值【答案】(1)10 xy (2)2e4a 【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；（2
18、）分0a 和0a 两种情况讨论，根据题意结合导数与单调性的关系分析求解.【详解】（1）2exf xax，e2xfxax，则 01f，01f 即切点坐标为0,1，切线斜率1k，曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为10yx，即10 xy （2）2exf xax，e2xfxax，则有：当0a，则 e20 xfxax在0,x上恒成立，第 12 页 共 15 页 故函数 f x在0,上单调递增，则 010f xf，即 f x在0,无零点，不合题意，舍去；当0a，令 xfx，则 e2xxa在0,上单调递增，则 01 2xa，令 e1xg xx，则 e10 xgx 在0,x上恒成立，则 g x在0,上
19、单调递增，则 00g xg，故e1xx在0,x上恒成立，ln22 e2120aaaaa，（）当1 20a，即102a时，则 0 x，则函数 x在0,上单调递增，则 010 x，故函数 f x在0,上单调递增，则 010f xf，即 f x在0,无零点，不合题意，舍去；（）当1 20a，即12a 时，则函数 x在0,存在唯一的零点0 x，可得：当00 xx时，0 x，当0 xx时，0 x，故函数 x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，则 000e2xxxax，00e20 xxa，即002e xax，00000e2e1xxxaxx，当010 x，即001,x12e2a时，则 00 xx在0
20、,上恒成立，故函数 f x在0,上单调递增，则 010f xf，即函数 f x在0,无零点，不合题意，舍去；当010 x，即0e1,2xa时，结合可得：若1a 时，2e0 xf xx在0,上恒成立，故 2200,010,2e20axaa，故 x在0,内有两个零点，不妨设为12102,0 x xxxx，第 13 页 共 15 页 可得：当10 xx或2xx时，0 x，当12xxx时，0 x，故函数 f x在 120,xx 上单调递增，在12,x x上单调递减，若函数 f x在0,上只有一个零点，且 010f，2222e0 xf xax，又 222e20 xxax，即22e2xax，22222ee
21、02xxxx，解得22x，故2e4a；综上所述：2e4a.【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x轴的交点情况进而求解 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线OM极坐标方程为04(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知射线OM与曲线C的交点为A，求点A的直角坐标【答案】(1)2221 sin(2)66
22、,33 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式即可将参数方程化为普通方程，再利用极坐标方程方法即可求解；（2）根据极坐标方程代入即可求解.【详解】（1）曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），第 14 页 共 15 页 曲线C的普通方程为2212xy，根据cos,sin,xy转化为极坐标方程为2222cossin12，曲线C的极坐标方程为2221 sin（2）当4时，2224|3212OA，2 33OA 点A的极坐标为2 3,34 点A的直角标为66,33 23已知函数 2f xx(1)求不等式 f xx的解集；(2)若 3f xf xm对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)1,(2),33,【分析】（1）由题知2xx，进而平方解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式得22xxmm，进而解3m 即可得答案.【详解】（1）解：因为 f xx即为2xx，所以222xx，即440 x，解得1x，所以，不等式 f xx的解集为1,（2）解：因为 3f xf xm对任意实数x恒成立，所以223xxm对任意实数x恒成立，因为 2222xxmxxmm，当且仅当220 xxm时等号成立，第 15 页 共 15 页 所以3m，解得3m 或3m，所以，实数m的取值范围为,33,.