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1、第 1 页 共 12 页 2022 届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（文）试题 一、单选题 1已知集合1Ax x，6,5,3,1B，则AB（）A6,5,3 B6,5 C3,1 D5,3,1【答案】A【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，6,5,3AB.故选：A 2函数 ln 11xf xx的定义域为（）A,1 B 1,1 C,11,D(,1 【答案】B【分析】根据二次根式、分母不为零的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】由函数的解析式可知101110 xxx ，故选：B 3已知sin2sinxx，0,x，则cosx（）A0 B2 C0.5 D0 或 2【答
2、案】C【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.【详解】因为0,x，所以sin0 x，所以由sin 22sincossinxxxx得1cos2x，故选：C 4某运动物体的位移 s（单位：米）关于时间 t（单位：秒）的函数关系式为22stt，则该物体在2t 秒时的瞬时速度为（）A10 米/秒 B9 米/秒 C7 米/秒 D5 米/秒【答案】B 第 2 页 共 12 页【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度.【详解】由 22s ttt，得 41s tt，则物体在2t 秒时的瞬时速度29tvs米/秒.故选：B 5下列函数中，既是偶函数又在（0,）上单调递增的是（）Ae1xy Byx Clgyx Dl
3、gyx【答案】C【分析】利用奇偶性定义判断奇偶性（可从图象的对称性、定义域的对称性进行排除），再确定单调性得出结论【详解】e1xy 的图象是由指数函数exy 向下平移一个单位得到的，它不关于y轴对称，不是偶函数，函数yx的定义域是0,)，无奇偶性，函数lgyx的定义域是(0,)，无奇偶性，lgyx的定义域是|0 x x，关于原点对称，且lglgxx，是偶函数，又0 x 时，lgyx是增函数，满足题意 故选：C 6若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A36 B24 C12 D9【答案】A【分析】根据外接球半径求法和球的表面积公式即可求解.【详解】根据题意，体对角线的长
4、度为外接球的直径，所以 2222 32 32 36322R，故该球的表面积为2436SR.故选：A.7下列统计量中，能度量样本1x，2x，nx的离散程度的有（）A样本1x，2x，nx的方差 B样本1x，2x，nx的中位数 C样本1x，2x，nx的众数 D样本1x，2x，nx的平均数【答案】A 第 3 页 共 12 页【分析】根据样本的数字特征的知识确定正确答案.【详解】能度量样本离散程度、波动程度、稳定性的是方差.故选：A 8设1ab，111bya，2bya，311bya，则1y，2y，3y的大小关系是（）A123yyy B213yyy C321yyy D231yyy【答案】C【分析】通过作差
5、法分别比较1y与2y，2y与3y的大小，从而得出1y，2y，3y的大小关系.【详解】因为1ab，所以0,10aba，所以121(1)(1)01(1)(1)bba bb aabyyaaa aaa，231(1)(1)01(1)(1)bbb aa babyyaaa aa a，所以1223,yyyy，即321yyy.故选：C.9如图，已知正方体1111ABCDABC D，M，N分别是1A D，1D B的中点，则（）A直线1A D与直线1D B相交 B直线1A D与直线1D B平行 C直线/MN平面ABCD D直线MN 平面ABCD【答案】C【分析】根据中位线定理证明平行，再由线面平行的判定定理即可求解
6、.【详解】直线1A D与直线1D B既不平行，也不相交，故选项 A 错误，选项 B 错误；根据题意，MN是1D AB中位线，所以/MNAB，MN面ABCD，而AB面ABCD，所以直线/MN平面ABCD，故选项 C 正确，选项 D 错误.第 4 页 共 12 页 故选：C.10已知函数()yf x的导函数 fx的图象如图所示，那么函数y()f x（）A在(,1)上单调递增 B在(1,)上单调递减 C在(,2)上单调递增 D在(2,)上单调递减【答案】D【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.【详解】根据导函数的图象可知，f x在区间,1,2,上 0,fxf x递减，在区间1,2上，0,fxf
7、 x递增，所以 D 选项正确，ABC 选项错误.故选：D 11已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,m n l是空间不过同一点的三条直线，当,m n l在同一平面时，可能/m n l，故不能得出,m n l两两相交.当,m n l两两相交时，设,mnA mlB nlC ，根据公理2可知,m n确定一个平面，而,BmCn，根据公理1可知，直线BC即l，所以,m n l在
8、同一平面.综上所述，“,m n l在同一平面”是“,m n l两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.12已知椭圆2222:1xyCabcab的一个焦点为F，左顶点为 A，上顶点为 B，若30BAF，则该椭圆的离心率为（）第 5 页 共 12 页 A13 B23 C33 D63【答案】D【分析】根据题意可得tantanbBaFAOBA，可得33ba，利用222221cbeaa，即可求得答案.【详解】由题意知椭圆2222:1xyCabcab的一个焦点为F，左顶点为 A，上顶点为 B，若30BAF，则tan30tanta
9、nBbBAFOaA ，即33ba，设椭圆的离心率为e,则22222232611(),333cbeeaa ，故选：D 二、填空题 13双曲线222xy的焦点坐标是_【答案】2,0【分析】将双曲线方程化为标准形式，即可得答案.【详解】22222122xyxy，得2222，ab，则22242cabc，则焦点坐标为2,0.故答案为：2,0 14已知 na是正项等比数列，且32a，64a，则9a _【答案】8【分析】根据等比数数列的性质可得：9623aaa，代入数据即可求解.【详解】因为数列 na是正项等比数列，由等比数列的性质可得：9623aaa，也即9162a，所以98a，故答案为：8.15函数 2
10、sin26fxx的最小正周期是_【答案】2【分析】由倍角公式化简函数，即可由2T求得周期.第 6 页 共 12 页【详解】21 cos2 2116sin2cos 462232xf xxx，故最小正周期为242.故答案为：2 16如图，一艘船上午 8：00 在 A处测得灯塔 S在它的北偏东 30方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 8：30 到达 B处，此时又测得灯塔 S在它的北偏东 75方向，且与它相距4 2海里，则此船的航行速度是_海里/小时 【答案】16【分析】利用三角形的外角和定理及正弦定理，结合匀速运动的速度公式即可求解.【详解】因为在ABS中，30,4 2,BASBS 所以753
11、045,ASB 由正弦定理，得sin45sin30ABBS,即24 2sin45281sin302BSAB，又因为从 A到 B处匀速航行的时间为半小时，所以速度为81612海里/小时.故答案为：16.三、解答题 17已知等差数列 na的公差为 d，110a ，且3422aaa(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和nS【答案】(1)212nan 第 7 页 共 12 页(2)211nSnn 【分析】（1）根据已知条件求得公差d，由此求得na.（2）根据等差数列的前n项和公式求得nS.【详解】（1）依题意10(1)nand 3422aaa，210310102ddd，解得2d 2
12、12nan（2）212nan，110a ，2(10212)112nnnSnn 18近年来中国航天事业发展迅速，中国自行建造的空间站已经开启了有人长期驻留时代某中学为了调查学生对航天科普知识了解程度，从该校学生中随机抽取了 50 名同学回答航天科普知识问题，结果如下：得分分数段 70,80 80,90 90,100 学生人数 25 15 10 (1)从得分在 80 分以上的同学中用分层抽样方法抽取 5 名同学，求在得分超过 90 分的学生中应抽取几人？(2)在（1）中抽取的 5 名同学中，随机抽取 2 名同学，求这 2 名同学的得分都超过 90 的概率【答案】(1)2 人(2)110 【分析】（
13、1）求出两层的比例，按比例抽取.(2)列出所有的基本事件，再算出得分都超过 90 的基本事件为，按照古典概型概率求解.【详解】（1）15：103：2，第 8 页 共 12 页 在得分超过 90 分的学生中应抽取 2 人（2）由（1）知，得分在（80,90中的抽取 3 人（记作 a，b，c），得分在（90,100中的抽取 2 人（记作 D，E）所有基本事件为：（a,b），（a,c），（a,D），（a,E），（b,c），（b,D），（b,E），（c,D），（c,E），（D,E），共 10 种，其中 2 名同学的得分都超过 90 的基本事件为(,)D E这 1 种，所求概率为110 19如图，四边形
14、ABCD是正方形，DE平面ABCD，AFDE，24ADDEAF (1)求证：AC 平面BDE；(2)求三棱锥BDEF的体积【答案】(1)证明见解析(2)323 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可；（2）通过图形中的垂直关系得到三棱锥的底面积和高，利用三棱锥的体积公式求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACDE，又因为BDDED，,BD DE 平面BDE，所以AC 平面BDE（2）因为DE平面ABCD，AD 平面ABCD，所以DEAD，因为AFDE，所以点F到DE的距离为 4，14 482DEFS，因为ABAD，D
15、EAB，ADDED，,AD DE 平面ADEF，所以AB平面ADEF,所以点B到平面DEF的距离为 4，所以1328 433B DEFV 20已知函数32()3f xxxax在 x1 处取得极值 第 9 页 共 12 页（1）求 a 的值；（2）求 f（x）在区间4，4上的最大值和最小值【答案】（1）9；（2）最大值为 76，最小值为5.【分析】（1）求出导函数，利用()f x在1x 处取得极值，10f，求解a即可（2）求出2()369fxxx判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可【详解】解：（1）因为32()3f xxxax，所以2()36fxxxa 因为
16、()f x在 x1 处取得极值，所以()01f，即360a，解得9a 经检验，符合题意（2）由（1）得3239()f xxxx 所以2()369fxxx 令()0fx，得43x 或14x；令()0fx，得31x 所以()f x的单调递增区间为 4,3)，1,4，单调递减区间为(3,1)所以()f x的极大值为(3)27f，极小值为 15f 又420f，476f，所以 1434ffff 所以()f x的最大值为 76，最小值为5 21已知抛物线2:2(0)C ypx p上的点2,b到焦点F的距离为 4(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线:(0)l xtym m与抛物线C交于11,A x y，
17、22,B xy两点，且以线段AB为直径的圆过原点O，求证直线l恒过定点，并求出此定点的坐标【答案】(1)28yx(2)证明见解析，定点8,0 第 10 页 共 12 页【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合121k k ，即可进一步求解.【详解】（1）由题设知，抛物线C的准线方程为2px ，由点2,b到焦点F的距离为 4，得242p，解得4p，抛物线C的标准方程为28yx（2）由28,yxxtym消去x得2880ytym 128yyt，128y ym 设直线OA和直线OB的斜率分别为1k，2k，以线段AB为直径的圆过原点O，OAOB，121k k 2118yx
18、，2228yx，11118ykxy，228ky 121288646418yyy ym，即8m 直线:8l xty 直线l恒过定点8,0 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线OM极坐标方程为04(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知射线OM与曲线C的交点为A，求点A的直角坐标【答案】(1)2221 sin(2)66,33 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式即可将参数方程化为普通方程，再利用极坐标方程方法即可求解；（2）根据极坐标方程代入即可求解.第 11 页 共 12 页【详解】（1）曲线C的参
19、数方程为2cos,sinxy（为参数），曲线C的普通方程为2212xy，根据cos,sin,xy转化为极坐标方程为2222cossin12，曲线C的极坐标方程为2221 sin（2）当4时，2224|3212OA，2 33OA 点A的极坐标为2 3,34 点A的直角标为66,33 23已知函数 2f xx(1)求不等式 f xx的解集；(2)若 3f xf xm对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)1,(2),33,【分析】（1）由题知2xx，进而平方解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式得22xxmm，进而解3m 即可得答案.【详解】（1）解：因为 f xx即为2xx，所以222xx，即440 x，解得1x，所以，不等式 f xx的解集为1,（2）解：因为 3f xf xm对任意实数x恒成立，第 12 页 共 12 页 所以223xxm对任意实数x恒成立，因为 2222xxmxxmm，当且仅当220 xxm时等号成立，所以3m，解得3m 或3m，所以，实数m的取值范围为,33,.