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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年四川省成都市天府新区太平中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 1命题“2,20 xR xx”的否定是（）A2000,20 xR xx B2000,20 xR xx C2000,20 xR xx D2000,20 xR xx【答案】B【分析】由命题的否定原则知，变量词，否结论【详解】命题2,20 xR xx 的否定是2000,20 xR xx 故选：B 2如图是某班篮球队队员身高(单位：厘米)的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是()A168 B181 C186 D191【答案】C【分析】利用茎叶图能求出该篮球队队员身高的众数【详解】如图是某
2、班篮球队队员身高(单位：厘米)的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是 186 故选 C【点睛】本题考查众数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 3如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是()第 2 页 共 15 页 A利润最高的月份是 2 月份，且 2 月份的利润为 40 万元 B利润最低的月份是 5 月份，且 5 月份的利润为 10 万元 C收入最少的月份的利润也最少 D收入最少的月份的支出也最少【答案】D【分析】利用收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图直接
3、求解【详解】在 A 中，利润最高的月份是 3 月份，且 2 月份的利润为 15 万元，故 A 错误；在 B 中，利润最小的月份是 8 月份，且 8 月分的利润为 5 万元，故 B 错误；在 C 中，收入最少的月份是 5 月份，但 5 月份的支出也最少，故 5 月分的利润不是最少，故 C错误；在 D 中，收入最少的月份是 5 月份，但 5 月份的支出也最少，故 D正确 故选 D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查收入与支出(单位：万元)情况的条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 4已知数据1x，2x，3x的方差24s，则12x，22x，32x 的方差为()A4
4、 B6 C16 D36【答案】A【分析】利用方差的性质直接求解【详解】数据1x，2x，3x的方差24S，12x，22x，32x 的方差为2214S 故选 A【点睛】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 5已知直线1:320lxay，2:310laxay，则“1a”是“12ll”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A 第 3 页 共 15 页【分析】根据直线垂直可得1a 或3a，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.【详解】若12ll，则330aa a，解得1a 或3a，故“1a”是12ll
5、的充分不必要条件 故选：A 6已知圆2211:40CxyxF与圆2222:80CxyxF外切,则圆1C与圆2C的周长之和为 A6 B12 C18 D24【答案】B【分析】求出两圆圆心坐标,利用外切关系求出两圆的半径之和,结合圆的周长公式进行计算,即可求得答案.【详解】两圆的一般方程为圆2211:40CxyxF与圆2222:80CxyxF,设1C半径为R,2C半径为r,两圆的圆心为12(2,0),(4,0)CC 两圆外切,两圆半径之和12|24|6RrCC 圆1C与圆2C的周长之和:222()12RrRr 故选:B.【点睛】本题主要考查了根据两圆相切求周长和,解题关键是掌握圆的一般方程的定义和两
6、圆相切时半径和与两圆心距离相等,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7采用系统抽样方法从960人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,.,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 A7 B9 C10 D15【答案】C【详解】从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则抽样距为 k，因为第一组号码为 9，则第二组号码为 913039，第 n 组号码为 9(n1)3030n21，由 45130n21750，第 4
7、 页 共 15 页 得，所以 n16,17，25，共有 2516110(人)【解析】系统抽样.8执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A112 B70 C40 D20【答案】B【分析】按照程序框图执行程序，直到不满足5i 时，输出结果即可.【详解】按照程序框图执行程序，输入1i，0S，则0 1 22S ，满足5i，进入循环；则2i，2238S，满足5i，进入循环；则3i，83 420S ，满足5i，进入循环；则4i，204 540S ，满足5i，进入循环；则5i，405 670S ，不满足5i，终止循环，输出70S.故选：B.9某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1
8、120 名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在80,150内现将这 100 名学生的成绩按照80,90),90,100),100,110),110,120)，120,130),130,140),140,150分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）第 5 页 共 15 页 A频率分布直方图中 a的值为 0.040 B样本数据低于 130 分的频率为 0.3 C总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123 D总体分布在90,100)的频数一定与总体分布在100,110)的频数相等【答案】C【分析】由频率分布直方图先计算出a值，判断 A，然后计算频率判断 B，由
9、频率分布直方图计算中位数判断 C，根据频率判断 D【详解】由频率分布直方图，(0.0050.0100.0100.0150.0250.005)101a，0.030a，A错；样本数据不低于 130 分的频率为(0.0250.005)100.3，因此低于130分的频率为0.7，B 错；分数低于 120 分的频率为(0.0050.0100.0100.015)100.4，因此中位数在210,130)这一组，设中位数为n，则1200.50.4100.3n，解得123n，C 正确；总体分布在90,100)与100,110)的频率相等，因此频数只能大致相等但不一定相等，D 错误 故选：C 10某人午睡醒来，发
10、现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于 15 分钟的概率是（）A23 B13 C14 D34【答案】C【详解】想听电台整点报时，时间不多于 15 分钟的概率可理解为:一条线段长为 60，其中听到整点报时的时间不多于 15 分钟为线段长为 15 则由几何概型，化为线段比得：151604p,故选 C.第 6 页 共 15 页 11（2017 新课标全国卷文科）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C的离心率为 A63 B33 C23 D13【答案】A【详解】以线段12A A为直径
11、的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为ra，圆的方程为222xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222abdaab，整理可得223ab，即2223,aac即2223ac，从而22223cea，则椭圆的离心率2633cea，故选 A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,a b c的方程或不等式，再根据,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理
12、论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美平面直角坐标系中，曲线C：22xyxy就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：曲线C围成的图形的面积是2；曲线C上的任意两点间的距离不超过2；若,P m n是曲线C上任意一点，则3412mn的最小值是175 22 其中正确结论的个数为（）A0 B1 C2 D3【答案】C【分析】结合已知条件写出曲线C的解析式，进而作出图像，对于，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于，根据图像求出曲线C上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为
13、圆心到直线的距离减去半径即可求解.第 7 页 共 15 页【详解】当0 x 且0y 时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy；当0 x 且0y 时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy；当0 x 且0y 时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy；当0 x 且0y 时，曲线C的方程可化为：22111()()222xy，曲线C的图像如下图所示：由上图可知，曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2的正方形的面积之和，从而曲线C所围成的面积2114(2)222，故正确；由曲线C的图像可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即2222
14、 222，故错误；因为(,)P m n到直线34120 xy的距离为22|3412|3412|534mnmnd，所以34125mnd，当d最小时，易知(,)P m n在曲线C的第一象限内的图像上，因为曲线C的第一象限内的图像是圆心为1 1(,)2 2，半径为22的半圆，所以圆心1 1(,)2 2到34120 xy的距离2211|3+412|17221034d，从而min2175 2210dd，即minmin175 2341252mnd，故正确，故选：C.二、填空题 13某学校有教师 100 人，学生 900 人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取 20 人，则应抽取第 8 页 共 15 页 的
15、教师人数为_【答案】2【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用教师的人数乘以此概率，即得所求【详解】每个个体被抽到的概率等于20110090050，则应抽取的教师人数为1100250，故答案为 2【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题 14在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点(3,P2，1)，(1,Q 0，1)，则PQ _【答案】2 5【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解【详解】在空间直角坐标系 Oxyz中，点(3,P2，1)，(1,Q 0，1)，222(3 1)(20)(1 1)2 5PQ 故答案为2 5【点睛
16、】本题考查两点间的距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 15若直线(1)210axy 与直线10 xay 平行，则a_【答案】1【详解】试题分析：因为直线(1)210axy 与直线10 xay 平行 所以(1)()(2)10aa ，即1a 或2a 经检验，当2a 时，两直线重合 所以1a 故答案为1【解析】两直线平行的充要条件【易错点睛】充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l和2l，1212/llkk，12121llkk，若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意 16
17、利用随机模拟的方法计算图中阴影部分(抛物线22yxx和 x 轴围成的部分)的面积 S 第 9 页 共 15 页 第一步，利用计算机产生两组0 1区间的均匀随机数；1aRAND，1bRAND 第二步，进行伸缩变换12aa，12bb；第三步，数出落在阴影内的样本点数1N 现做了 100 次试验，模拟得到131N，由此估计S _【答案】1.24【分析】由计算器做模拟试验结果试验估计，得出点落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解阴影部分的面积【详解】根据题意：点落在阴影部分的点的概率是31100，矩形的面积为2 24，阴影部分的面积为 S，则有314100S，1.24S 故答案为1.24【
18、点睛】本题考查了模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型的概率问题，是基础题在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的 三、解答题 17已知ABC的顶点坐标为(1,5)(2,1)(4,3)ABC、(1)求AB边所在的直线方程；(2)过点C做AB边上的高CH，求高CH所在的直线方程【答案】(1)6110 xy(2)6220 xy 第 10 页 共 15 页【分析】（1）利用点斜式即可得出直
19、线AB的方程（2）由直线AB的斜率15621 ，由此可得AB边的高CH所在直线的斜率为16，再利用点斜式即可得出【详解】（1）解：(1,5)A，(2,1)B 直线AB的方程为：155(1)21yx ，化为：6110 xy 则AB边所在的直线方程为:6110 xy（2）解：直线AB的斜率15621 ，由此可得AB边的高CH所在直线的斜率为16，高CH所在的直线方程：13(4)6yx 化为：6220 xy 故高CH所在的直线方程为：6220 xy.18某车间有 5 名工人其中初级工 2 人，中级工 2 人，高级工 1 人.现从这 5 名工人中随机抽取 2名()求被抽取的 2 名工人都是初级工的概率
20、；()求被抽取的 2 名工人中没有中级工的概率【答案】（）110；（）310.【分析】()设初级工为1a，2a，中级工为1b，2b，高级工为 c，从中随机取 2 人，利用列举法能求出被抽取的 2 名工人都是初级工的概率;()利用列举法求出没有抽取中级工的情况有 3 种，由此能求出被抽取的 2 名工人中没有中级工的概率【详解】()设初级工为1a，2a，中级工为1b，2b，高级工为 c，从中随机取 2 人，基本事件有 10 个，分别为：12,a a，11,a b，12,a b，1,a c，21,a b，22,a b，2,a c，12,b b，1,b c，2,b c 抽到 2 名工人都是初级工的情况
21、为：12,a a，共 1 种，被抽取的 2 名工人都是初级工的概率110p ()没有抽取中级工的情况有 3 种，分别为：12,a a，1,a c，2,a c，第 11 页 共 15 页 被抽取的 2 名工人中没有中级工的概率310p 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19已知动点 P 到点 M（-3，0）的距离是点 P 到坐标原点 O 的距离的 2 倍，记动点 P 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C 的方程；（2）若直线10 xy 与曲线 C 相交
22、于 A，B 两点，求AB的值.【答案】（1）22(1)4xy（2）2 2【解析】（1）设动点坐标，由几何条件转化为代数方程即可；（2）求出圆心到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】解：（1）设,P x y.由题，知|2|PMPO 2222(3)2xyxy.2233690 xyx.曲线 C 的方程为22(1)4xy.（2）由题，曲线 C 的圆心1,0到直线10 xy 的距离为|1 0 1|21 1.22 4(2)2 2AB.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆相交弦长的计算，属于基础题.20某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀（体育成绩满分 100分，
23、不低于 85 分称优秀）人数之间的关系进行分析研究，他们从本校初二，初三，高一，高二，高三年级各随机抽取了 40 名学生，记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数，得到如下数据表：初二 初三 高一 高二 高三 周平均体育锻炼小时数工（单位：小时）14 11 13 12 9 第 12 页 共 15 页 体育成绩优秀人数 y（单位：人）35 26 32 26 19 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验.（1）若选取的是初三，高一，高二的 3 组数据，请根据这 3 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程y
24、bxa；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过 1，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否可靠？参考数据：3111 26 13 32 12 261014iiix y，322221111312434iix.参考公式：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx.【答案】（1）38yx（2）可靠【解析】（1）根据条件计算出x、y，从而求出b，a，即可求出回归方程.（2）代入回归方程计算可得.【详解】解：（1）11 13 12123x，263226283y.3132221310143 12 2810
25、14 100834343 124344323iiiiix yxybxx .283 128aybx .y 关于 x 的线性回归方程为38yx.（2）当14x 时，3 14834y ，|3435|1.当9x 时，3 9 819y ，|19 19|0.由此分析，（1）中得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题考查回归方程的计算以及其应用，属于基础题.21已知点1,2A，2,1B，2,3C在圆 E 上，过点1,0P的直线 l 与圆 E 相切 第 13 页 共 15 页()求圆 E 的方程；()求直线 l 的方程【答案】（）22(2)(2)1xy；（）直线 l 的方程为1x 或3430 xy.【分析】(
26、)根据题意，设圆 E 的圆心为,a b，半径为 r；将 A、B、C三点的坐标代入圆 E 的方程可得221abr，即可得圆 E的方程；()根据题意，分 2 种情况讨论：，当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为1x，验证可得此时符合题意，当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为1yk x，即0kxyk，由直线与圆的位置关系计算可得 k 的值，可得此时直线的方程，综合即可得答案【详解】()根据题意，设圆 E 的圆心为,a b，半径为 r；则圆 E 的方程为222()()xaybr，又由点1,2A，2,1B，2,3C在圆 E 上，则有222222222(1)(2)(2)(1)(2)(3)abra
27、brabr，解可得221abr，即圆 E 的方程为22(2)(2)1xy；()根据题意，分 2 种情况讨论：，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为1x，与圆 M 相切，符合题意；，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为1yk x，即0kxyk，圆心 E 到直线 l 的距离22222111kkkdkk，解可得34k，则直线 l 的方程为314yx，即3430 xy，综合可得：直线 l 的方程为1x 或3430 xy【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及圆的标准方程以及切线方程的计算，属于基础题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线
28、或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理 第 14 页 共 15 页 22已知椭圆 C的焦点为11,0F，21,0F，点31,2P在椭圆 C上()求椭圆 C的标准方程；()若斜率为12的直线 l与椭圆 C 相交于 A，B两点，点 Q 满足22PQQF，求ABQ面积的最大值【答案】()22143xy()3【分析】（I）根据椭圆的几何性质，即可求得标准方程；（II）假设直线l方程12yxm，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出线段AB的长度，再求出Q到直线l的距离，从而可以表示出ABQ的面积；再利用
29、基本不等式求解出面积的最大值【详解】（I）设椭圆 C的标准方程为22221(0)xyabab，椭圆 C的焦点为11,0F，21,0F，点31,2P在椭圆 C上 222211914abab，解得2a，3b，椭圆 C的标准方程为22143xy（II）设直线 l：12yxm，11,A x y，22,B x y，联立2212143yxmxy，消去 y，得2230 xmxm，由222433 40mmm，解得22m，21212,3xxm x xm，2222212112121()()(1()()42ABxxyyxxx x 21542m，由22PQQF，知11,2Q，点 Q 到直线 l的距离为25md，ABQ的面积22111542225mmSAB d 222233443222mmmm，第 15 页 共 15 页 当且仅当2m 时，3S ABQ面积的最大值为3【点睛】本题主要考察椭圆中面积的最值问题关键在于利用变量m将所求三角形的面积表示成一个关于m的函数的形式，然后利用函数值域或者基本不等式的方法来求解出所求的最值