北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析5187.pdf

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1、石景山区 2020 届高三第一学期期末 数学 第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 1.已知集合02Axx,1,0,2,3B ,则AB()A.0,1,2 B.0,2 C.1,3 D.1,0,1,2,3【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算,得到答案.【详解】因为集合02Axx,1,0,2,3B ,所以0,2AB.故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题.2.复数21 iz 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解

2、析】【分析】先对复数z进行化简,然后得到其共轭复数z,再找到其再复平面对应的点,得到答案.【详解】22 12111iziii,所以1zi z在复平面对应的点为 1,1,在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查复数的运算,共轭复数,复数在复平面对应的点,属于简单题.3.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是()A.3()f xx B.()lg|f xx C.()f xx D.()cosf xx【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在0,1上的单调性,得到答案.【详解】选项 A 中,3f xx,是奇函数,但在0,1上单调递增,不满足要求;选项 B 中,lgf xx,

3、是偶函数,不满足要求,选项 C 中,f xx,是奇函数,在0,1上单调递减,满足要求;选项 D 中,cosf xx,是偶函数,不满足要求.故选:C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,属于简单题.4.已知向量5,am,2,2b,若abb,则实数m ()A.-1 B.1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到ab,再根据向量垂直的坐标表示,得到关于m的方程,解出m的值,得到答案.【详解】因为向量5,am,2,2b 所以3,2abm,因为abb,所以0abb 所以6220m 解得1m.故选:B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示,根据向量垂直关系求参数的值,

4、属于简单题.5.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为()A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石【答案】B【解析】【详解】设夹谷x石,则281534254x,所以153428169.1254x,所以这批米内夹谷约为169石,故选 B.考点:用样本的数据特征估计总体.【此处有视频,请去附件查看】6.已知3log 4a,log 3b,5c,则a,b,c的大小关系是()A.abc B.acb C.bca D.bac【答案】D【解析】【分析】分别对a,b

5、,c与特殊值1或2进行比较,从而判断出出它们的大小关系,得到答案.【详解】因为3331log 3log 4log 92,所以12a,因为log 3log1,所以1b,因为542,所以2c,所以bac.故选:D.【点睛】本题考查判断对数的大小关系,属于简单题.7.艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分,得到 5 个有效评分5 个有效评分与 7 个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解,得到答案.【详解

6、】从 7 个原始评分去掉 1 个最高分、1 个最低分,得到 5 个有效评分,其平均数、极差、方差都可能会发生改变,不变的数字特征数中位数.故选:A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念,属于简单题.8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与原正方体体积的比值为()A.18 B.17 C.16 D.15【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出几何体,得到是在正方体1111ABCDABC D中,截去四面体111AAB D,利用体积公式,求出其体积,然后得到答案.【详解】根据三视图还原出几何体,如图所述,得到是在正方体1111ABCDABC D中,截去

7、四面体111AAB D 设正方体的棱长为a,则1 1133111326A A B DVaa,故剩余几何体的体积为3331566aaa,所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为15.故选:C.【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积;关键是正确还有几何体,利用体积公式解答,属于简单题.9.在等差数列 na中,设*,k l p rN,则klpr 是klpraaaa的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】举出特殊数列的例子,即可排除选项【详解】若等差数列为123455,4,3,2,1.aaaaa 则当1,5,2,3klpr时

8、,klpr 成立,但klpraaaa不成立,所以非充分条件 当1,2,3,4klpr时,klpraaaa成立,但klpr 不成立,所以非必要条件 综上可知,klpr 是klpraaaa的既非充分非必要条件 所以选 D.【点睛】本题考查了等差数列的定义,充分必要条件的判定,注意特殊值法在选择题中的应用,属于基础题 10.关于曲线:C224xxyy给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2 曲线C上任意一点到原点的距离都不小于 2 其中,正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】将曲线:C224x

9、xyy,看成关于y的方程,利用方程有解,得到x的范围,再分别研究对应的整数x和y的情况;根据基本不等式,得到22xy的范围,从而判断出曲线C上一点到原点的距离范围.【详解】曲线:C224xxyy,看成关于y的二次方程 则22440 xx,得2163x 所以整数x的取值为2,1,0,1,2,当2x 时,0y 或2y,满足题意 当1x 时,y不是整数,不满足题意 当0 x 时,2y 或2y ,满足题意 当1x 时,y不是整数,不满足题意 当2x 时,0y 或2y ,满足题意 故曲线C过的整点为2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,2,2,共 6 个,故命题正确.224xyxy,当0 xy 时,2

10、22xyxy,即222242xyxy,得228xy,即2222xy 当且仅当2,2yx或2,2xy 时,等号成立 所以得曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2,命题正确.当0 xy 时,222xyxy,即222242xyxy,得2283xy,即222 63xy,当且仅当2 33xy或2 33xy 时,等号成立 所以得曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2 63,故命题错误;故选:C【点睛】本题考查判断二次方程根的情况,基本不等式求最值,属于中档题.第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 11.在62()xx的二项展开式中,常数项等于 (用数值

11、表示)【答案】-160【解析】试题分析:6-6-2+1662=-=-2rrrrrrrTC xC xx,由6-2=0r得:r=3,所 366-2=-8=-160rrCC 考点:二项式定理 点评:熟记二项展开式的通项公式:-+1=(=0,1,2,)rn rrrnTC ab rn,此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化 12.双曲线2213xy的焦点到它的渐近线的距离为_;【答案】1【解析】试题分析:由双曲线方程可知223,1ab,则2224cab,即3,1,2abc,所 以 焦 点 为2,0,渐 近 线 为33yx 所 以 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为232313()1

12、3d 考点:1 双曲线的基本性质;2 点到线的距离 13.已知数列*()nannN为等比数列,11a,22a,则3a _【答案】5【解析】【分析】根据题意,得到2213213aaa,从而得到关于3a的方程,解出3a的值,得到答案.【详解】因为数列*()nannN为等比数列,所以2213213aaa,即23221 13a,解得35a.故答案为:5.【点睛】本题考查根据等比中项求值,属于简单题.14.已知平面,给出下列三个论断:;以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_【答案】或【解析】【分析】根据面面平行和面面垂直的性质,得到线面垂直,从而得到答案.【详解】由,可

13、得 故,由,可得 故,由,则平面与平面可以平行和可以相交,故.故答案为:或【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定,面面关系有关的命题,属于简单题.15.在 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1,2sin3sin4bcaBC,则cos A的值为_.【答案】14【解析】试题分析:32sin3sin,23,2BCbcbc代入14bca得2ac,由余弦定理得2221cos24bcaAbc 考点:1正弦定理;2余弦定理的推论【此处有视频,请去附件查看】16.已知向量1e,2e是平面内的一组基向量,O为内的定点,对于内任意一点P,当12OPxeye时,则称有序实数对(,)x y为点

14、P的广义坐标,若点A、B的广义坐标分别为11(,)x y、22(,)xy,对于下列命题:线段AB的中点的广义坐标为1212(,)22xxyy 向量OA平行于向量OB的充要条件是1221x yx y 向量OA垂直于向量OB的充要条件是12120 x xy y 其中,真命题是_.(请写出所有真命题的序号)【答案】【解析】【分析】根据定义,分别写出AB中点M的广义坐标,根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断,得到答案.【详解】点A、B的广义坐标分别为11(,)x y、22(,)xy 可得1 11 2OAx ey e,2 122OBx ey e 设M为AB中点,则1212121222xxy

15、yOMOAOBee 所以线段AB的中点的广义坐标为1212(,)22xxyy,故命题正确 向量OA平行于向量OB,则OAOB 即1122,x yx y,所以1221x yx y,故命题正确,向量OA垂直于向量OB,则0OA OB 即1 11221220 x ey ex ey e 2212 11221121220 x x ex yx y e ey y e,故命题不一定正确.故答案为:.【点睛】本题考查向量的新定义运算,向量平行和垂直的表示,向量的数量积的运算,考查理解推理能力,属于中档题.三、解答题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 17.已知函数1()cos(si

16、ncos)2f xxxx.()若02,且3sin5,求()f的值;()求函数()f x的最小正周期,及函数()f x的单调递减区间.【答案】()3150f()最小正周期.5+88k,k,kZ.【解析】【分析】()根据3sin5以及的范围,得到cos,代入到 f中,得到答案;()对 f x进行整理化简,得到 2sin 224f xx,根据正弦型函数的图像和性质,求出其周期和单调减区间.【详解】解:()因为0,2,且3sin5,所以 2415cossin.所以 4 34128131=5 55225250f.()1cossincos2f xxxx 21cossincos2xxx 11cos21sin

17、2222xx 1sin2cos22xx 2sin 224x 所以函数 f x的最小正周期22T.由32 22+,242kxkkZ,解得5+,88kxkkZ.所以函数 f x的单调递减区间5+88k,k,kZ.【点睛】本题考查同角三角函数关系,利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简,求正弦型函数的周期和单调区间,属于简单题.18.一款小游戏的规则如下:每盘游戏都需抛掷骰子三次,出现一次或两次“6 点”获得 15分,出现三次“6 点”获得 120 分,没有出现“6 点”则扣除 12 分(即获得12 分)()设每盘游戏中出现“6 点”的次数为X,求X的分布列;()玩两盘游戏,求两盘中

18、至少有一盘获得 15 分的概率;()玩过这款游戏的许多人发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象【答案】()分布列见解析()95144()见解析【解析】【分析】()先得到X可能的取值为0,1,2,3,根据每次抛掷骰子,出现“6 点”的概率为16p,得到X每种取值的概率,得到分布列;()计算出每盘游戏没有获得 15 分的概率,从而得到两盘中至少有一盘获得 15 分的概率;()设每盘游戏得分为Y,得到Y的分布列和数学期望,从而得到结论.【详解】解:()X可能的取值为0,1,2,3.每次抛掷骰子,出现“6 点”的概率为16p.0331125

19、(0)(1)6216P XC,1231175(1)(1)66216P XC,2231115(2)()(1)66216P XC,33311(3)()6216P XC,所以 X 的分布列为:X 0 1 2 3 P 125216 2572 572 1216 ()设每盘游戏没有得到 15 分为事件A,则 1251721621612P A.设“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”为事件B,则 P B 227951112144P A 因此,玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为95144.()设每盘游戏得分为Y.由()知,Y的分布列为:Y-12 15 120 P 125216 512 1216 Y的数

20、学期望为12551512151202161221636EY .这表明,获得分数Y的期望为负 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望,求互斥事件的概率,属于中档题.19.已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PAD是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点 ()求证:PO平面ABCD;()求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;()线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由【答案】()证明见解析()3()不存在,见解析【解析】【分

21、析】()正三角形PAD中POAD,由CD 平面PAD得到POCD,所以得到PO面ABCD;()以O点为原点建立空间直角坐标系,根据平面EFG的法向量,和平面ABCD的法向量,从而得到平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值,再得到所求的角;()线段PA上存在满足题意的点M,直线GM与平面EFG法向量的夹角为3,设PMPA,0,1,利用向量的夹角公式,得到关于的方程,证明方程无解,从而得到不存在满足要求的点M.【详解】()证明:因为PAD是正三角形,O是AD的中点,所以 POAD.又因为CD 平面PAD,PO 平面PAD,所以POCD.ADCDD,ADCD,平面ABCD,所以PO面ABCD.

22、()如图,以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2 3)OABCDGP,(1,2,3),(1,0,3)EF,(0,2,0),(1,2,3)EFEG,设平面EFG的法向量为(,)mx y z 所以00EF mEG m,即20,230,yxyz 令1z,则(3,0 1)m,又平面ABCD的法向量(0,0,1)n,设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为,所以 2211cos2311m nm n.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3.()假设线

23、段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6,即直线GM与平面EFG法向量m所成的角为3,设PMPA,0,1,,GMGPPMGPPA,所以2,4,2 3 1GM 所以23coscos,32 467GM m,整理得22320,方程无解,所以,不存在这样的点M.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定,利用空间向量求二面角,利用空间向量证明存在性问题.20.已知函数()xf xeax.(aR)()求函数()f x的单调区间;()若3a,()f x的图象与y轴交于点A,求()yf x在点A处的切线方程;()在()的条件下,证明:当0 x 时,2()31f xxx恒成立【答案】()0a 时,f x

24、单调增区间为R,无单调减区间,0a 时,f x单调增区间为ln,a,单调减区间为,lna.()21yx()证明见解析【解析】【分析】()对 f x求导,得到 fx,对a按照0a 和0a 进行分类讨论,研究 fx的正负,从而得到 f x的单调区间;()将0 x 代入 fx,得到切线斜率,点斜式写出切线方程;()令 2()(31)g xf xxx,得到 2xgxex,令 h xgx,得到 2xh xe,从而得到 ln20h xh,得到 g x在,上单调递增,即 01010g xg ,从而使得原命题得证.【详解】解:()()xfxea,当0a 时,()0fx恒成立,所以()f x在R上单调递增,当0

25、a 时,令()0fx,解得lnxa.当x变化时,()fx,()f x的变化情况如下表:x(,ln)a lna(ln,)a ()fx 0+()f x 减 极小值 增 所以0a 时,()f x在,lna上单调递减,在ln,a 上单调递增.综上所述,0a 时,f x单调增区间为R,无单调减区间,0a 时,f x单调增区间为ln,a,单调减区间为,lna.()3a 时,3xf xex 令0 x,得1y,则0,1A,因为 e3xfx,所以 0132f ,所以在A点处的切线方程为12(0)yx ,即21yx.()证明:令 22()(3+1)=e1xg xf xxxx,则 2xgxex.令 e2xh xx,

26、则 2xh xe,当0ln2x时,0h x,h x单调递减,当ln2x 时,0h x,h x单调递增;所以 ln2ln2e2ln222ln20h xh,即 0gx恒成立.所以 g x在,上单调递增,所以 01010g xg ,所以2e10 xx,即当0 x 时,231fxxx恒成立【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线,利用导数研究不等式恒成立问题,属于中档题.21.已知椭圆222:12xyCa过点(2,1)P()求椭圆C的方程,并求其离心率;()过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),直线PA关于l的对称直线P

27、B与椭圆交于另一点B设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由【答案】()22182xy,离心率32()直线AB与直线OP平行见解析【解析】【分析】()将点2,1代入到椭圆方程,解得a的值,根据22cab,得到c的值,从而求出离心率;()直线:1(2)PA yk x,:1(2)PB yk x ,点A11,x y,B22,xy,将直线与椭圆联立,得到1x和2x,从而得到AB的斜率,得到ABOPkk,得到直线AB与直线OP平行【详解】解:()由椭圆222:12xyCa过点(2,1)P,可得24112a,解得28a 所以222826cab,所以椭圆C的方程为22182xy,离心率6

28、322 2e ()直线AB与直线OP平行 证明如下:由题意,设直线:1(2)PA yk x,:1(2)PB yk x ,设点A11,x y,B22,xy,由2218221xyykxk得 22241812161640kxkk xkk,所以128(21)2+41kkxk,所以21288241kkxk,同理2228+8241kkxk,所以1221641kxxk,由1121ykxk,2221ykxk,有121228()441kyyk xxkk,因为A在第四象限,所以0k,且A不在直线OP上,所以121212AByykxx,又12OPk,故ABOPkk,所以直线AB与直线OP平行.【点睛】本题考查求椭圆

29、方程,直线与椭圆相交求交点,判断两直线的位置关系,属于中档题.22.已知由*()n nN个正整数构成的集合1212,(,3)nnAa aaaaan,记12AnSaaa,对于任意不大于AS的正整数m,均存在集合A的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于m.()求12,a a的值;()求证:“12,na aa成等差数列”的充要条件是“(1)2An nS”;()若2020AS,求n的最小值,并指出n取最小值时na的最大值.【答案】()11a,22a ()证明见解析()n的最小值为 11,此时na的最大值1010.【解析】【分析】()1m 和2m 时,根据AS的定义,以及集合1212,(,3)nnAa

30、 aaaaan的性质,得到答案;()必要性:iai,可得112ASn n,充分性:由条件可得iai,从而有1(1)2ASn n,当且仅当iai时,等号成立,从而得证;()含有n个元素的非空 子 集 个 数 有21n,当10n 时,不 满 足 题 意,当11n 时,集 合1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024A,可以表示1,2,3,2046,2047共2047个正整数,满足题意,由10112020Sa并且10111Sa 得到1120212a,结合*11aN,得到na的最大值1010【详解】解:()1m 时,由条件知1AS,必有1A,又12naaa均为整数,11a.2m

31、 时,由条件知2AS,由AS的定义及12naaa均为整数,必有2A,22a.()必要性:由“12,na aa成等差数列”及11a,22a 得(1,2,)iai in此时1,2,3,An满足题目要求 从而1123(1)2ASnn n .充分性:由条件知12,naaa且均为正整数,可得(1,2,3,),iai in 故1123(1)2ASnn n ,当且仅当(1,2,3,)iai in时,上式等号成立.于是当1(1)2ASn n时,(1,2,3,)iai in,从而12,na aa成等差数列.所以“12,na aa成等差数列”的充要条件是“1(1)2ASn n”.()由于含有n个元素的非空子集个数

32、有21n,故当10n 时,10211023,此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m,不符合要求.而用11个元素的集合1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024A的非空子集的元素之和可以表示1,2,3,2046,2047共2047个正整数.因此当2020AS 时,n的最小值为 11.记101210Saaa 则10112020Sa并且10111Sa.事实上若10111Sa,10111120202Saa,则111010a,10111010Sa,所以1010m 时无法用集合A的非空子集的元素之和表示,与题意不符.于是101111202021Saa,得1120212a,*11aN,所以111010a.当111010a时1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010A满足题意 所以当2020AS 时,n的最小值为 11,此时na的最大值1010.【点睛】本题考查集合与数列的新定义,求数列中的项,等差数列的条件证明,考查求数列的项数的最小值和项的最大值,属于难题.

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