高考数学突破点：平面向量.pdf-淘文阁

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1、第五章第五章平面向量平面向量第一节第一节平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算本节主要包括本节主要包括 2 2 个知识点：个知识点：1.1.平面向量的有关概念；平面向量的有关概念；2.2.平面向量的线性运算平面向量的线性运算.突破点突破点(一一)平面向量的有关概念平面向量的有关概念基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流”名称名称向量向量零向量零向量单位向量单位向量定义定义既有大小又有方向的量叫做向量；向既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度量的大小叫做向量的长度(或称模或称模)长度为长度为 0 0 的向量；其方向是任意的的向量；其方向是任意的长度

2、等于长度等于 1 1 个单位的向量个单位的向量方向相同或相反的非零向量，又叫做方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量共线向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量备注备注平面向量是自由向量，平面向量可自平面向量是自由向量，平面向量可自由平移由平移记作记作 0 0a a非零向量非零向量 a a 的单位向量为的单位向量为|a a|0 0 与任一向量平行或共线与任一向量平行或共线两向量只有相等或不等，不能比较大两向量只有相等或不等，不能比较大小小0 0 的相反向量为的相反向量为 0 0 平行向量平行向量相等向量相等向量相反向量相反向量考点考

3、点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神”平面向量的有关概念平面向量的有关概念a ab b 典例典例(1)(1)设设 a a，b b 都是非零向量，都是非零向量，下列四个条件中，下列四个条件中，使使成立的充分条件是成立的充分条件是()|a a|b b|A Aa ab bC Ca a2 2b bB Ba ab bD Da ab b 且且|a a|b b|(2)(2)设设 a a0 0为单位向量，下列命题中：若为单位向量，下列命题中：若 a a 为平面内的某个向量，则为平面内的某个向量，则 a a|a a|a a0 0；若；若 a a与与 a a0 0平行，则平行，则 a a|a a|

4、a a0 0；若；若 a a 与与 a a0 0平行且平行且|a a|1 1，则，则 a aa a0 0.假命题的个数是假命题的个数是()A A0 0B B1 1C C2 2D D3 3a ab ba ab b 解析解析(1)(1)因为向量因为向量的方向与向量的方向与向量 a a 相同，向量相同，向量的方向与向量的方向与向量 b b 相同，且相同，且，|a a|b b|a a|b b|a a2 2b bb b所以向量所以向量 a a 与向量与向量 b b 方向相同，故可排除选项方向相同，故可排除选项 A A，B B，D.D.当当 a a2 2b b 时，时，故，故 a a|a a|2|2b b

5、|b b|a ab b2 2b b 是是成立的充分条件成立的充分条件|a a|b b|(2)(2)向量是既有大小又有方向的量，向量是既有大小又有方向的量，a a 与与|a a|a a0 0的模相同，的模相同，但方向不一定相同，但方向不一定相同，故是假命故是假命题；题；若若 a a 与与 a a0 0平行，平行，则则 a a 与与 a a0 0的方向有两种情况：的方向有两种情况：一是同向，一是同向，二是反向，二是反向，反向时反向时 a a|a a|a a0 0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.3.答案答案(1)C(1)C(2)D(2)D 易错提醒易错

6、提醒(1)(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上能力能力练通练通抓应用体验的抓应用体验的“得得”与与“失失”1 1给出下列命题：给出下列命题：若若|a a|b b|，则，则 a ab b；若若 A A，B B，C C，D D 是不共线的四点

7、，则是不共线的四点，则ABABDCDC是四边形是四边形 ABCDABCD 为平行四边形的充为平行四边形的充要条件；要条件；若若 a ab b，b bc c，则，则 a ac c；a ab b 的充要条件是的充要条件是|a a|b b|且且 a ab b.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是()A AB BC CD D解析：解析：选选 A A不正确不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABABDCDC，|ABAB|DCDC|且且ABABDCDC.又又 A A，B B，C C，D D 是不共线的四点，四边形是不共线的四点，四边形ABC

9、 b 不是不是 a ab b 的充要条件，而是必的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选故选 A.A.2 2给出下列命题：给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；aa0(0(为实数为实数)，则，则必为零；必为零；，为实数，若为实数，若 aabb，则，则 a a 与与 b b 共线共线其中错误的命题的个数为其中错误的命题的个数为()A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4解析：解析：选选

10、 C C错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当错误，当 a a0 0 时，不论时，不论为何值，为何值，aa0.0.错误，当错误，当 0 0 时，时，aabb0 0，此时，此时，a a 与与b b 可以是任意向量错误的命题有可以是任意向量错误的命题有 3 3 个，故选个，故选 C.C.3 3如图，设如图，设 O O 是正六边形是正六边形 ABCDEFABCDEF 的中

11、心，则图中与的中心，则图中与OCOC相等的向量有相等的向量有_答案：答案：ABAB，EDED，FOFO1 14 4如图，如图，ABCABC 和和A AB BC C是在各边的是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设处相交的两个全等的等边三角形，设3 3a aABCABC 的边长为的边长为 a a，图中列出了长度均为，图中列出了长度均为的若干个向量，则的若干个向量，则3 3(1)(1)与向量与向量GHGH相等的向量有相等的向量有_；(2)(2)与向量与向量GHGH共线，且模相等的向量有共线，且模相等的向量有_；(3)(3)与向量与向量EAEA共线，且模相等的向量有共线，且模相等的向量有_解析

12、：解析：向量相等向量相等向量方向相同且模相等向量方向相同且模相等向量共线向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合表示有向线段所在的直线平行或重合答案：答案：(1)(1)LBLB，HCHC(2)(2)ECEC，LELE，LBLB，GBGB，HCHC(3)(3)EFEF，FBFB，HAHA，HKHK，KBKB 突破点突破点(二二)平面向量的线性运算平面向量的线性运算基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流”1 1向量的线性运算向量的线性运算向量运算向量运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律交换律：交换律：加法加法求两个向量和求两个向量和的运算的运算a ab bb

13、 ba a；结合律：结合律：(a ab b)c ca a(b bc c)求求a a与与b b的相反的相反减法减法向量向量b b的和的的和的运算运算求实数求实数与向与向数乘数乘量量 a a 的积的运的积的运算算2.2.平面向量共线定理平面向量共线定理向量向量 b b 与与 a a(a a0)0)共线的充要条件是有且只有一个实数共线的充要条件是有且只有一个实数，使得，使得 b baa.考点考点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神”平面向量的线性运算平面向量的线性运算例例 11(1)(1)在在ABCABC 中，中，ABABc c，ACACb b.若点若点 D D 满足满足BDBD

14、2 2DCDC，则则ADAD()1 12 2A.A.b b c c3 33 32 21 1C.C.b b c c3 33 35 52 2B.B.c c b b3 33 32 21 1D.D.b b c c3 33 3|aa|a a|，当当 0 0 时，时，aa 与与 a a 的方向相同；的方向相同；当当 0 0 时，时，aa 与与 a a 的方向相反；的方向相反；当当 0 0 时，时，aa0 0(a a)()a a；()a a a a a a；(a ab b)a a b ba ab ba a(b b)1 1(2)(2)在在ABCABC 中，中，N N 是是 ACAC 边上一点且边上一点且ANA

15、NNCNC，P P 是是 BNBN 上一点，若上一点，若APAPm mABAB2 22 2ACAC，则实数，则实数 m m 的值是的值是_9 92 22 2 解析解析(1)(1)由题可知由题可知BCBCACACABABb bc c，BDBD2 2DCDC，BDBDBCBC(b b3 33 32 22 21 1c c)，则，则ADADABABBDBDc c(b bc c)b b c c，故选，故选 D.D.3 33 33 31 11 1(2)(2)如图，如图，因为因为ANANNCNC，所以所以ANANACAC，所以所以APAPm mABAB2 23 32 22 22 21 1ACACm mABA

16、BANAN.因为因为 B B，P P，N N 三点共线，所以三点共线，所以 m m 1 1，则，则 m m.9 93 33 33 31 1 答案答案(1)D(1)D(2)(2)3 3 方法技巧方法技巧 1 1平面向量的线性运算技巧平面向量的线性运算技巧(1)(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解量、三角形的中位线等性质，把未知向量用

17、已知向量表示出来求解2 2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)(3)比较，观察可知所求比较，观察可知所求平面向量共线定理的应用平面向量共线定理的应用例例 22设两个非零向量设两个非零向量 a a 和和 b b 不共线不共线(1)(1)若若ABABa ab b，BCBC2 2a a8 8b b，CDCD3(3(a ab b)

18、求证：求证：A A，B B，D D 三点共线三点共线(2)(2)试确定实数试确定实数 k k，使，使 kakab b 和和 a akbkb 共线共线解解(1)(1)证明：因为证明：因为ABABa ab b，BCBC2a2a8b8b，CDCD3(3(a ab b)，所以所以BDBDBCBCCDCD2a2a8b8b3(3(a ab b)5(5(a ab b)5 5ABAB，所以，所以ABAB，BDBD共线共线又又ABAB与与BDBD有公共点有公共点 B B，所以所以 A A，B B，D D 三点共线三点共线(2)(2)因为因为 kakab b 与与 a akbkb 共线，共线，所以存在实数所以存

19、在实数，使，使 kakab b(a akbkb)，k k，即即解得解得 k k 1.1.1 1kk，即即 k k1 1 或或1 1 时，时，kakab b 与与 a akbkb 共线共线方法技巧方法技巧平面向量共线定理的三个应用平面向量共线定理的三个应用(1)(1)证明向量共线：对于非零向量证明向量共线：对于非零向量 a a，b b，若存在实数，若存在实数，使，使 a abb，则，则 a a 与与 b b 共线共线(2)(2)证明三点共线：若存在实数证明三点共线：若存在实数，使，使ABAB ACAC，ABAB与与ACAC有公共点有公共点 A A，则，则 A A，B B，C C 三点

20、共线三点共线(3)(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组组)求参数的值求参数的值提醒提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点能力能力练通练通抓应用体验的抓应用体验的“得得”与与“失失”1.1.考点一考点一如图所示，下列结论正确的是如图所示，下列结论正确的是()3 33 33 33 31 1PQPQ a a b b；PTPT a ab b；PSPS a a b b；PRPR2 22 22 22 22 23 3a ab b.2 2A AC CB BD D3 33 3解析：解

21、析：选选 C C根据向量的加法法则，得根据向量的加法法则，得PQPQ a a b b，故正确；根据向量的减法法，故正确；根据向量的减法法2 22 23 33 33 33 33 31 1则，则，得得PTPT a a b b，故错误；故错误；PSPSPQPQQSQS a a b b2 2b b a a b b，故正确；故正确；PRPR2 22 22 22 22 22 23 33 33 31 1PQPQQRQR a a b bb b a a b b，故错误故选，故错误故选 C.C.2 22 22 22 22.2.考点二考点二已知已知 a a，b b 是不共线的向量，是不共线的向量，ABABaab

22、b，ACACa abb，R R，则，则 A A，B B，C C 三点共线的充要条件为三点共线的充要条件为()A A 2 2C C1 1B B 1 1D D1 1解析：解析：选选 D DA A，B B，C C 三点共线，三点共线，ABABACAC，设，设ABABm mACAC(m m0)0)，则，则aab b m m，m m(a abb)，1 1，故选，故选 D.D.1 1mm，3.3.考点一考点一在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 中，中，E E，F F 分别是分别是 BCBC，CDCD 的中的中点，点，DEDE 交交 AFAF 于于 H H，记，记ABAB，BCBC分别为分别为 a

23、 a，b b，则，则AHAH()2 24 4A.A.a a b b5 55 52 24 4C C a a b b5 55 52 24 4B.B.a a b b5 55 52 24 4D D a a b b5 55 5解析：解析：选选 B B如图，过点如图，过点F F 作作 BCBC 的平行线交的平行线交 DEDE 于于 G G，则，则G G 是是1 11 11 1DEDE 的中点，且的中点，且GFGFECECBCBC，GFGFADAD，则，则AHDAHD2 24 44 41 14 4FHGFHG，从而从而HFHFAHAH，AHAHAFAF，AFAFADADDFDF4 45 51 11 14 4

24、2 24 4b b a a a a b b，故选，故选 B.B.b b a a，AHAH 2 25 5 2 2 5 55 51 14.4.考点二考点二已知已知 a a，b b 是两个不共线的非零向量，且是两个不共线的非零向量，且 a a 与与 b b 起点相同若起点相同若 a a，tb tb，(a ab b)3 3三向量的终点在同一直线上，则三向量的终点在同一直线上，则 t t_._.1 1解析：解析：a a，tb tb，(a ab b)三向量的终点在同一条直线上，且三向量的终点在同一条直线上，且 a a 与与 b b 起点相同起点相同a atb tb3 32 21 1 1 12 21 1与

25、与 a a(a ab b)共线，即共线，即 a atb tb 与与 a a b b 共线，存在实数共线，存在实数，使，使 a atb tb 3 3a a3 3b b，3 33 33 3 1 1 t t3 3，2 21 1 ，3 33 31 11 11 1解得解得，t t，若，若 a a，tb tb，(a ab b)三向量的终点在同一条直线上，则三向量的终点在同一条直线上，则 t t.2 22 23 32 21 1答案答案：2 2 全国卷全国卷 5 5 年真题集中演练年真题集中演练明规律明规律 1.(20151.(2015新课标全国卷新课标全国卷)设设 D D 为为ABCABC 所在平面内一

26、点，所在平面内一点，BCBC3 3CDCD，则，则()1 14 4A AADADABABACAC3 33 31 14 4B BADADABABACAC3 33 34 41 1C CADADABABACAC3 33 34 41 1D DADADABABACAC3 33 31 11 14 41 1解析：解析：选选A AADADACACCDCDACACBCBCACAC(ACACABAB)ACACABAB3 33 33 33 31 14 4ABABACAC，故选，故选 A.A.3 33 32 2(2014(2014新课标全国卷新课标全国卷)设设 D D，E E，F F 分别为分别为ABCABC 的三边

27、的三边 BCBC，CACA，ABAB 的中点，则的中点，则EBEBFCFC()1 11 1A AADADB.B.ADADC CBCBCD.D.BCBC2 22 21 11 1解析：解析：选选 A AEBEBFCFC(ABABCBCB)(ACACBCBC)2 22 21 1(ABABACAC)ADAD，故选，故选 A.A.2 23 3(2015(2015新课标全国卷新课标全国卷)设向量设向量 a a，b b 不平行，向量不平行，向量aab b 与与 a a2 2b b 平行，则实数平行，则实数 _._.解析：解析：aab b 与与 a a2 2b b 平行，平行，aab bt t(a a2 2b

28、 b)，t t，即即 aab bta ta2 2tb tb，解得解得 1 12 2t t，1 1 t t2 2.1 1 ，2 21 1答案：答案：2 2 课时达标检测课时达标检测重点保分课时重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题练基础小题强化运算能力强化运算能力 1 1(2017(2017杭州模拟杭州模拟)在在ABCABC 中，中，已知已知 MM 是是 BCBC 中点，中点，设设CBCBa a，CACAb b，则则AMAM()1 1A.A.a ab b2 21 1C Ca a b b2 21 1B.B.a ab b2 21 1D Da a b b

29、2 21 11 1解析：解析：选选 A AAMAMACACCMCMCACACBCBb b a a，故选，故选 A.A.2 22 22 2 已知已知 O O，A A，B B，C C 为同一平面内的四个点，为同一平面内的四个点，若若 2 2ACACCBCB0 0，则向量则向量OCOC等于等于()2 21 1A.A.OAOAOBOB3 33 3C C2 2OAOAOBOB1 12 2B BOAOAOBOB3 33 3D DOAOA2 2OBOB解析：解析：选选 C C因为因为ACACOCOCOAOA，CBCBOBOBOCOC，所以所以 2 2ACACCBCB2(2(OCOCOAOA)(OBOBOCO

30、C)OCOC2 2OAOAOBOB0 0，所以，所以OCOC2 2OAOAOBOB.3 3在四边形在四边形 ABCDABCD 中，中，ABABa a2 2b b，BCBC4 4a ab b，CDCD5 5a a3 3b b，则四边形，则四边形ABCDABCD 的形状是的形状是()A A矩形矩形C C梯形梯形B B平行四边形平行四边形D D以上都不对以上都不对解析：解析：选选 C C由已知得，由已知得，ADADABABBCBCCDCDa a2 2b b4 4a ab b5 5a a3 3b b8 8a a2 2b b2(2(4 4a ab b)2 2BCBC，故，故ADADBCBC.又因为又因为

31、ABAB与与CDCD不平行，所以四边形不平行，所以四边形ABCDABCD 是梯是梯形形4 4已知向量已知向量 a a，b b，c c 中任意两个都不共线，但中任意两个都不共线，但 a ab b 与与 c c 共线，且共线，且 b bc c 与与 a a 共线，则共线，则向量向量 a ab bc c()A Aa aC Cc cB Bb bD D0 0解析：解析：选选 D D依题意，设依题意，设 a ab bmcmc，b bc cnana，则有，则有(a ab b)(b bc c)mcmcnana，即，即 a ac cmcmcnana.又又 a a 与与 c c 不共线，于是有不共线，于是有 m

32、m1 1，n n1 1，a ab bc c，a ab bc c0.0.5 5已知已知ABCABC 和点和点 MM 满足满足MAMAMBMBMCMC0.0.若存在实数若存在实数 m m 使得使得ABABACACm mAMAM成立，则成立，则 m m_._.解析：解析：由由MAMAMBMBMCMC0 0 知，点知，点 MM 为为ABCABC 的重心，设点的重心，设点 D D 为底边为底边 BCBC 的中的中2 22 21 11 1点，点，则则AMAMADAD (ABABACAC)(ABABACAC)，所以所以ABABACAC3 3AMAM，故故 m m3 33 32 23 33.3.答案：答案：3

33、 3 练常考题点练常考题点检验高考能力检验高考能力一、选择题一、选择题3 33 31 1设设MM 是是ABCABC 所在平面上的一点，且所在平面上的一点，且MBMBMAMAMCMC0 0，D D 是是 ACAC 的中点，的中点，2 22 2|MDMD|则则的值为的值为()|BMBM|1 11 1A.A.B.B.C C1 13 32 2D D2 2解析：解析：选选 A AD D 是是 ACAC 的中点，如图，延长的中点，如图，延长MDMD 至至 E E，使得，使得DEDE1 11 1MDMD，四边形四边形 MAECMAEC 为平行四边形，为平行四边形，MDMDMEME(MAMAMCMC)，2

35、ACACABAB)4 44 44 4ABAB4 4ACAC，1 14 4，2 24 4，1 1 2 21616.3 3设设 D D，E E，F F 分别是分别是ABCABC 的三边的三边 BCBC，CACA，ABAB 上的点，且上的点，且DCDC2 2BDBD，CECE2 2EAEA，AFAF2 2FBFB，则，则ADADBEBECFCF与与BCBC()A A反向平行反向平行C C互相垂直互相垂直B B同向平行同向平行D D既不平行也不垂直既不平行也不垂直3 31 13 33 31 1解析：解析：选选 A A由题意得由题意得ADADABABBDBDABABBCBC，BEBEBABAAEAEBA

36、BA3 31 11 11 1ACAC，CFCFCBCBBFBFCBCBBABA，因此因此ADADBEBECFCFCBCB(BCBCACAC3 33 33 3ABAB)CBCB3 3BCBC3 3BCBC，故，故ADADBEBECFCF与与BCBC反向平行反向平行4 4已知点已知点O O 为为ABCABC 外接圆的圆心，且外接圆的圆心，且OAOAOBOBCOCO0 0，则，则ABCABC 的内角的内角 A A 等等于于()A A3030B B4545C C6060D D90902 21 1解析：解析：选选 A A由由OAOAOBOBCOCO0 0，得，得OAOAOBOBOCOC，由，由O O为为

38、心，过点 G G 作一条直线与作一条直线与 ABAB，ACAC 两边分别交于两边分别交于 MM，N N 两两xyxy点，且点，且AMAMx xABAB，ANANy yACAC，则，则的值为的值为()x xy y1 11 1A A3 3B.B.C C2 2D.D.3 32 2解析：解析：选选 B B由已知得由已知得 MM，G G，N N 三点共线，三点共线，所以所以AGAG AMAM(1(1)ANANxxABAB2 21 11 1(1(1)y yACAC.点点 G G 是是ABCABC 的重心，的重心，AGAG (ABABACAC)(ABABACAC)，3 32 23 3 1 1 1 1 y y

39、，3 31 1xx，3 3 即即 1 11 1，3 3y y1 1，3 3x x得得x xy yxyxy1 11 11 11 11 11 1，即，即 3 3，通分得，通分得3 3，.x xy yxyxy3 3x x3 3y yx xy y3 36 6若点若点 MM 是是ABCABC 所在平面内的一点，且满足所在平面内的一点，且满足 5 5AMAMABAB3 3ACAC，则，则ABMABM 与与ABCABC 的面积的比值为的面积的比值为()1 12 23 34 4A.A.B.B.C.C.D.D.5 55 55 55 5解析：解析：选选 C C设设 ABAB 的中点为的中点为 D D，如图，如图，

40、连接连接 MDMD，MCMC，由由 5 5AMAM2 23 3ABAB3 3ACAC，得，得 5 5AMAM2 2ADAD3 3ACAC，即，即AMAMADAD5 55 5ACAC，即即5 55 51 1，故故 C C，MM，D D 三点共线，三点共线，又又AMAMADADDMDM，3 3联立，得联立，得5 5DMDM3 3DCDC，即在，即在ABMABM 与与ABCABC 中，边中，边ABAB 上的高的比值为上的高的比值为，所以，所以5 53 3ABMABM 与与ABCABC 的面积的比值为的面积的比值为.5 5二、填空题二、填空题2 23 37 7已知已知 D D，E E，F F 分别为分

41、别为ABCABC 的边的边 BCBC，CACA，ABAB 的中点，且的中点，且BCBCa a，CACAb b，给，给1 11 11 11 1出下列命题：出下列命题：ADAD a ab b；BEBEa a b b；CFCF a a b b；ADADBEBECFCF2 22 22 22 20.0.其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为_1 11 11 1解析：解析：由由BCBCa a，CACAb b 可得可得ADADCBCBACAC a ab b，BEBEBCBCCACAa a2 22 22 21 11 11 11 11 11 11 1 b b，CFCF(CBCBCACA)(a ab b)a a

43、 2 3.3.3 3答案：答案：2 2 3 39 9若点若点 O O 是是ABCABC 所在平面内的一点，且满足所在平面内的一点，且满足|OBOBOCOC|OBOBOCOC2 2OAOA|，则则ABCABC 的形状为的形状为_解析：解析：因为因为OBOBOCOC2 2OAOAOBOBOAOAOCOCOAOAABABACAC，OBOBOCOCCBCBABABACAC，所以，所以|ABABACAC|ABABACAC|，即，即ABAB ACAC0 0，故，故ABABACAC，ABCABC 为直角三角形为直角三角形答案：答案：直角三角形直角三角形1010在直角梯形在直角梯形ABCDABCD 中，中，A

44、 A9090，B B3030，ABAB2 2 3 3，BCBC2 2，点，点E E 在线段在线段 CDCD上，若上，若AEAEADAD ABAB，则，则的取值范围是的取值范围是_解析：解析：由题意可求得由题意可求得 ADAD1 1，CDCD 3 3，所以所以ABAB2 2DCDC.点点 E E 在线段在线段 CDCD 上，上，DEDE DCDC(0(0 1)1)AEAEADADDEDE，又，又AEAEADAD ABABADAD2 2 DCDCADAD1 12 2 2 2 1 10 0，.DEDE，1 1，即，即 .0 0 1 1，0 0 ，即，即的取值范围是的取值范围是 2 2 2 22

45、21 10 0，答案：答案：2 2 三、解答题三、解答题1 111.11.如图，以向量如图，以向量OAOAa a，OBOBb b 为邻边作为邻边作 OADBOADB，BMBM3 3BCBC，CNCN3 3CDCD，用，用 a a，b b 表示表示OMOM，ONON，MNMN.1 11 11 11 1解：解：BABAOAOAOBOBa ab b，BMBMBABA a a b b，6 66 66 61 11 1 1 15 5OMOMOBOBBMBMb b 6 6a a6 6b b 6 6a a6 6b b.又又ODODa ab b，1 11 11 1ONONOCOCCDCDODODODOD3 32

46、 26 62 22 22 2ODOD a a b b，3 33 33 32 22 21 15 51 11 1MNMNONONOMOM a a b b a a b b a a b b.3 33 36 66 62 26 61 15 52 22 21 11 1综上，综上，OMOM a a b b，ONON a a b b，MNMN a a b b.6 66 63 33 32 26 612.12.如图所示，如图所示，在在ABCABC 中，中，D D，F F 分别是分别是 BCBC，ACAC 的中点，的中点，AEAE2 2ADAD，ABABa a，ACACb b.3 3(1)(1)用用 a a，b b

47、表示向量表示向量ADAD，AEAE，AFAF，BEBE，BFBF；(2)(2)求证：求证：B B，E E，F F 三点共线三点共线解：解：(1)(1)延长延长 ADAD 到到 G G，1 1使使ADADAGAG，2 2连接连接 BGBG，CGCG，得到，得到 ABGCABGC，如图，如图，所以所以AGAGABABACACa ab b，ADAD2 2AGAG2 2(a ab b)，AEAE3 3ADAD3 3(a ab b)，AFAF2 2ACAC2 2b b，1 11 12 21 11 11 1BEBEAEAEABAB3 3(a ab b)a a3 3(b b2 2a a)，BFBFAFAFA

48、BAB2 2b ba a2 2(b b2 2a a)2 2(2)(2)证明：由证明：由(1)(1)可知可知BEBEBFBF，3 3又因为又因为BEBE，BFBF有公共点有公共点 B B，所以所以 B B，E E，F F 三点共线三点共线1 11 11 11 1第二节第二节平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括本节主要包括 2 2 个知识点：个知识点：1.1.平面向量基本定理；平面向量基本定理；2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示.突破点突破点(一一)平面向量基本定理平面向量基本定理基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流”平面向量基本定理平面

49、向量基本定理如果如果 e e1 1，e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有且，有且只有一对实数只有一对实数 1 1，2 2，使，使 a a 1 1e e1 1 2 2e e2 2.其中，不共线的向量其中，不共线的向量 e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底考点考点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神”基底的概念基底的概念例例 11如果如果 e e1 1，e e2 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平

50、面是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是内所有向量的一组基底的是()A Ae e1 1与与 e e1 1e e2 2C Ce e1 1e e2 2与与 e e1 1e e2 2B Be e1 12 2e e2 2与与 e e1 12 2e e2 2D De e1 13 3e e2 2与与 6 6e e2 22 2e e1 1 1 1，解析解析选项选项 A A 中，设中，设 e e1 1e e2 2ee1 1，则，则无解；无解；1 10 0 1 1，选项选项 B B 中，设中，设 e e1 12 2e e2 2(e e1 12 2e e2 2)，则

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