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1、第六章第六章 数数列列第一节第一节数列的概念与简单表示数列的概念与简单表示本节主要包括本节主要包括 2 2 个知识点：个知识点：1.1.数列的通项公式；数列的通项公式；2.2.数列的单调性数列的单调性.突破点突破点(一一)数列的通项公式数列的通项公式基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流”1 1数列的定义数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项
2、(通常也叫做首项通常也叫做首项)2 2数列的通项公式数列的通项公式如果数列如果数列 a an n 的第的第 n n 项与序号项与序号 n n 之间的关系可以用一个式子来表示，之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做那么这个公式叫做这个数列的通项公式这个数列的通项公式3 3数列的递推公式数列的递推公式如果已知数列如果已知数列 a an n 的第一项的第一项(或前几项或前几项)，且任何一项，且任何一项 a an n与它的前一项与它的前一项 a an n1 1(或前几项或前几项)间间的关系可以用一个式子来表示，即的关系可以用一个式子来表示，即 a an nf f(a an n1 1)()(或
3、或 a an nf f(a an n1 1，a an n2 2)等等)，那么这个式子叫做，那么这个式子叫做数列数列 a an n 的递推公式的递推公式4 4S Sn n与与 a an n的关系的关系已知数列已知数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，则，则 S S1 1，n n1 1，a an n 这个关系式对任意数列均成立这个关系式对任意数列均成立 S Sn nS Sn n1 1，n n2 2，考点考点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神”由数列的前几项求数列的通项公式由数列的前几项求数列的通项公式 例例 11写出下面各数列的一个通项公式：写出下面各数
4、列的一个通项公式：(1)3,5,7,9(1)3,5,7,9，；，；1 13 37 715153131(2)(2)，；，；2 24 48 8161632323 31 13 31 13 3(3)(3)1 1，；，；2 23 34 45 56 6(4)3,33,333,3 333(4)3,33,333,3 333，.解解(1)(1)各项减去各项减去 1 1 后为正偶数，所以后为正偶数，所以 a an n2 2n n1.1.2 2n n1 1(2)(2)每一项的分子比分母少每一项的分子比分母少 1 1，而分母组成数列，而分母组成数列 2 2 2 2 2 2 2 2，所以，所以 a an nn n.2
5、21,1,2,2,3,3,4 4(3)(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(1)1)n n；各项绝对值的分母组成数列；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,41,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1 1，偶数项为，偶数项为 3 3，即奇数项为，即奇数项为 2 22 2 1 1 n n1 1，偶数项为，偶数项为 2 21 1，所以，所以 a an n(1)1)n n.n n 也可写为也可写为 a a 3 3 n n，n n为正偶数为正偶数.n n1 1，n n为正奇数，为正奇数，n
6、 n9 999999999999 9999 999(4)(4)将数列各项改写为将数列各项改写为，分母都是，分母都是 3 3，而分子分别是，而分子分别是 10101,101,102 23 33 33 33 31 11,101,103 31,101,104 41 1，所以，所以 a an n(10(10n n1)1)3 3 方法技巧方法技巧 由数列的前几项求通项公式的思路方法由数列的前几项求通项公式的思路方法给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些
7、是不变的，再探索各项中变化部分与序数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)(2)若第若第 n n 项和第项和第 n n1 1 项正负交错，那么符号用项正负交错，那么符号用(1)1)n n或或(1)1)n n(3)(3)熟悉一些常见数列的通项公式熟悉一些常见数列的通项公式(4)(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系
8、不容易发现，这就需要将数列对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的常见数列对应项的“和和”“”“差差”“”“积积”“”“商商”后再进行归纳后再进行归纳利用利用a an n与与 S Sn n的关系求通项的关系求通项 例例 22已知下面数列已知下面数列 a an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n，求，求 a an n 的通项公式：的通项公式：(1)(1)S Sn n2 2n n2 23
9、 3n n；(2)(2)S Sn n3 3n nb b.解解(1)(1)a a1 1S S1 12 23 31 1，当当 n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n1 1(2(2n n2 23 3n n)22 n n1 12 23 3 n n11 4 4n n5 5，由于由于 a a1 1也适合此等式，也适合此等式，1 1或或(1)1)n n1 1来调控来调控所以所以 a an n 的通项公式为的通项公式为 a an n4 4n n5.5.(2)(2)a a1 1S S1 13 3b b，当当 n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n1 1(3(3n nb b
10、)(3(3n n1 1b b)2 23 3n n1 1.当当 b b1 1 时，时，a a1 1适合此等式适合此等式当当 b b1 1 时，时，a a1 1不适合此等式不适合此等式所以当所以当 b b1 1 时，时，a an n2 23 3n n1 1；3 3b b，n n1 1，当当 b b1 1 时，时，a an n2 23 3n n1 1，n n2.2.方法技巧方法技巧 已知已知 S Sn n求求 a an n的三个步骤的三个步骤(1)(1)先利用先利用 a a1 1S S1 1求出求出 a a1 1.(2)(2)用用 n n1 1 替换替换 S Sn n中的中的 n n 得到一个新的关
11、系，得到一个新的关系，利用利用 a an nS Sn nS Sn n1 1(n n2)2)便可求出当便可求出当 n n2 2时时 a an n的表达式的表达式(3)(3)对对 n n1 1 时的结果进行检验，看是否符合时的结果进行检验，看是否符合n n2 2 时时 a an n的表达式，如果符合，则可以把的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n n1 1 与与 n n2 2 两段来写两段来写利用递推关系求通项利用递推关系求通项1 11 1 例例 33(1)(1)已知数列已知数列 a an n 满足满足 a a1 1，a a
12、n n1 1a an n2 2，则，则 a an n_；2 2n n n nn n2 2(2)(2)若数列若数列 a an n 满足满足 a a1 1，a an n1 1a a，则通项，则通项 a an n_；3 3n n1 1n n(3)(3)若数列若数列 a an n 满足满足 a a1 11 1，a an n1 12 2a an n3 3，则，则 a an n_；2 2a an n(4)(4)若数列若数列 a an n 满足满足 a a1 11 1，a an n1 1，则，则 a an n_._.a an n2 2 解析解析(1)(1)由条件知由条件知 a an n1 1a an n，n
13、 n2 2n nn n n n1 1n nn n1 11 11 11 11 1则则(a a2 2a a1 1)(a a3 3a a2 2)(a a4 4a a3 3)(a an na an n1 1)1 11 11 11 11 11 11 11 1，2 22 23 33 34 4n n1 1n n1 11 1即即 a an na a1 11 1，又，又a a1 1，n n2 21 11 13 31 1a an n1 1n n n n.2 22 2(2)(2)由由 a an n1 1a an n1 1n nn na an n(a an n0)0)，得，得a a，n n1 1n n1 1n n故故
14、 a an na an na an n1 1a a2 2 a aa a1 11 1a an n1 1a an n2 2n n1 1 n n2 21 1 2 2 n nn n1 12 2 3 32 2.3 3n n(3)(3)设递推公式设递推公式 a an n1 12 2a an n3 3 可以转化为可以转化为 a an n1 1t t2(2(a an nt t)，即，即 a an n1 12 2a an nt t，则，则 t t3.3.故故 a an n1 13 32(2(a an n3)3)b bn n1 1a an n1 13 3令令 b bn na an n3 3，则，则 b b1 1a
15、 a1 13 34 4，b bn n0 0，且，且2.2.b bn na an n3 3所以所以 b bn n 是以是以 4 4 为首项，为首项，2 2 为公比的等比数列为公比的等比数列所以所以 b bn n4 42 2n n1 12 2n n1 1，即即 a an n2 2n n 1 13.3.(4)(4)a an n1 1a an n0 0，即即1 11 1a a，a an n1 1n n2 21 11 1，a an n1 1a an n2 21 11 12 2a an n，a a1 11 1，a an n2 21 1又又 a a1 11 1，则，则1 1，a a1 1 1 1 1 1 a
16、 a 是以是以 1 1 为首项，为首项，为公差的等差数列为公差的等差数列2 2 n n 1 11 11 1n n1 1(n n1)1)，a an na a1 12 22 22 2a an n2 2.n n1 13 31 12 22 2 答案答案(1)(1)n n(2)(2)(3)2(3)2n n 1 13 3(4)(4)2 23 3n nn n1 1 方法技巧方法技巧 由递推关系式求通项公式的常用方法由递推关系式求通项公式的常用方法(1)(1)已知已知 a a1 1且且 a an na an n1 1f f(n n)，可用，可用“累加法累加法”求求 a an n.a an n(2)(2)已知已
17、知 a a1 1且且f f(n n)，可用，可用“累乘法累乘法”求求 a an n.a an n1 1(3)(3)已知已知 a a1 1且且 a an n1 1qaqan nb b，则，则 a an n1 1k kq q(a an nk k)()(其中其中 k k 可由待定系数法确定可由待定系数法确定)，可转，可转化为等比数列化为等比数列 a an nk k(4)(4)形如形如 a an n1 1数列求解数列求解AaAan n(A A，B B，C C 为常数为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新BaBan nC C(5)(5)形如形如 a an
18、 n1 1a an nf f(n n)的数列，可将原递推关系改写成的数列，可将原递推关系改写成 a an n2 2a an n1 1f f(n n1)1)，两式相减，两式相减即得即得 a an n2 2a an nf f(n n1)1)f f(n n)，然后按奇偶分类讨论即可，然后按奇偶分类讨论即可能力能力练通练通抓应用体验的抓应用体验的“得得”与与“失失”0 0，n n为奇数，为奇数，1 1 1 1 n n1.1.考点一考点一 已知已知 n nN N，给出，给出 4 4 个表达式：个表达式：a an n a an n，2 2 1 1，n n为偶数，为偶数，*1 1coscos n n n n
19、 sinsin.其中能作为数列：其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,10,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是，的通项公式的是()a an n，a an n 2 2 2 2A AB BC CD D解析：解析：选选 A A检验知都是所给数列的通项公式检验知都是所给数列的通项公式5 57 79 92.2.考点一考点一 数列数列 1 1，的一个通项公式是，的一个通项公式是()8 815152424A Aa an n(1)1)n nB Ba an n(1)1)n n1 12 2n n1 1(n nN N*)n n2 2n n1 12 2n n1 1(n nN N*)n n3 33 3n
20、n2 2n n1 1(n nN N*)n n2 22 2n n2 2n n1 1(n nN N*)2 2n n 2 2n n3 35 57 79 9，通过对比各，通过对比各1 13 32 24 43 35 54 46 6C Ca an n(1)1)n nD Da an n(1)1)n n1 11 1解析：解析：选选 D D所给数列各项可写成：所给数列各项可写成：选项，可知选选项，可知选 D.D.3.3.考点二考点二 已知数列已知数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn nn n2 22 2n n2 2，则数列，则数列 a an n 的通项公式为的通项公式为()A Aa an
21、 n2 2n n3 3B Ba an n2 2n n3 3 1 1，n n1 1，1 1，n n1 1，C Ca an n D Da an n 2 2n n3 3，n n2 2 2 2n n3 3，n n2 2 解析：解析：选选 C C当当 n n1 1 时，时，a a1 1S S1 11 1，当，当 n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n1 12 2n n3 3，由于，由于 n n1 1 1 1，n n1 1，时时 a a1 1的值不适合的值不适合 n n2 2 的解析式，故的解析式，故 a an n 的通项公式为的通项公式为 a an n 2 2n n3 3，n n2.
22、2.4.4.考点三考点三 设数列设数列 a an n 满足满足 a a1 11 1，且，且 a an n1 1a an nn n1 1，求数列，求数列 a an n 的通项公式的通项公式解：解：由题意有由题意有 a a2 2a a1 12 2，a a3 3a a2 23 3，a an na an n1 1n n(n n2)2)n n1 1 2 2n n n n2 2n n2 2以上各式相加，得以上各式相加，得 a an na a1 12 23 3n n.2 22 2n n2 2n n又又a a1 11 1，a an n(n n2)2)2 2当当 n n1 1 时也满足此式，时也满足此式，n n
23、2 2n na an n(n nN N*)2 25.5.考点三考点三 若数列若数列 a an n 满足：满足：a a1 11 1，a an n1 1a an n2 2n n，求数列，求数列 a an n 的通项公式的通项公式解：解：由题意知由题意知 a an n1 1a an n2 2n n，a an n(a an na an n1 1)(a an n1 1a an n2 2)(a a2 2a a1 1)a a1 12 2n n 1 12 2n n2 21 12 2n n2 21 12 2n n1.1.又因为当又因为当 n n1 1 时满足此式，所以时满足此式，所以 a an n2 2n n1
24、.1.1 12 2突破点突破点(二二)数列的单调性数列的单调性基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流”数列的分类数列的分类分类标准分类标准按项数分类按项数分类按项与项间按项与项间的大小关系的大小关系分类分类按其他标准按其他标准分类分类类型类型有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递减数列递减数列常数列常数列有界数列有界数列摆动数列摆动数列a an n1 1a an na an n1 1a an na an n1 1a an n满足条件满足条件项数有限项数有限项数无限项数无限其中其中 n nN N*存在正数存在正数 MM，使，使|a an n|MM从第二项起，从第二
25、项起，有些项大于它的前一项，有些项大于它的前一项，有些项小有些项小于它的前一项于它的前一项考点考点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神”利用数列的单调性研究最值问题利用数列的单调性研究最值问题 例例 11已知数列已知数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，常数，常数 00，且，且aa1 1a an nS S1 1S Sn n对一切正整数对一切正整数 n n 都都成立成立(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；1 1(2)(2)设设 a a1 100，100.100.当当 n n 为何值时，数列为何值时，数列 lg lga a 的前
26、的前 n n 项和最大？项和最大？n n 2 22 2S S 2 2a a，解解(1)(1)取取 n n1 1，得，得 aa1 11 11 1即即 a a1 1(aa1 12)2)0.0.若若 a a1 10 0，则，则 S Sn n0 0，当，当 n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n1 10 00 00 0，所以所以 a an n0.0.2 22 22 2若若 a a1 10 0，则，则 a a1 1，当，当 n n2 2 时，时，2 2a an n S Sn,n,2 2a an n1 1 S Sn n1 1，两式相减得，两式相减得 2 2a an n2 2a an n
27、1 1 a an n，所以所以 a an n2 2a an n1 1(n n2)2)，从而数列，从而数列 a an n 是等比数列，是等比数列，所以所以 a an na a1 1 2 2n n1 12 2n n1 12 2n n 2 2.综上，当综上，当 a a1 10 0 时，时，a an n0 0；2 2n n当当 a a1 10 0 时，时，a an n.1 1(2)(2)当当 a a1 100 且且 100100 时，令时，令 b bn nlg lg，a an n100100由由(1)(1)知知 b bn nlg lgn n2 2n nlg 2.lg 2.2 2所以数列所以数列 b b
28、n n 是单调递减的等差数列是单调递减的等差数列(公差为公差为lg 2)lg 2)100100100100则则 b b1 1 b b2 2 b b6 6lg lg6 6lg lglg 1lg 10 0，2 26464100100100100当当 n n7 7 时，时，b bn nb b7 7lg lg7 7lg lglg 100数列数列 a an n 是单调递增数列；是单调递增数列；a an n1 1a an n000时，时，a a11数列数列 a an n 是单调递增数列；是单调递增数列；a a11数列数列 a an n 是单调递减数列；是单调递减数列；a an nn nn n1 1数列数列
29、 a an n 是常数列是常数列a an n1 1a an n1 1a an n1 1当当a an n011数列数列 a an n 是单调递减数列；是单调递减数列；a a100，且且a a1)1)，若数列若数列 a an n 满足满足a an nf f(n n)()(n n a a2 2x x 9 9x x1111，x x22 N N*)，且，且 a an n 是递增数列，则实数是递增数列，则实数 a a 的取值范围是的取值范围是()A A(0,1)(0,1)C C(2,3)(2,3)8 8，3 3 B.B.3 3 D D(1,3)(1,3)3 3a a00，解析解析 因为因为 a an n
30、是递增数列，是递增数列，所以所以 a a11，3 3a a 2 22 2a a，8 8 取值范围是取值范围是 3 3，3 3.答案答案 B B 方法技巧方法技巧 8 8解得解得 a a3 3，所以实数所以实数 a a 的的3 3已知数列的单调性求参数取值范围的两种方法已知数列的单调性求参数取值范围的两种方法(1)(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理可通过分离参数将其转化为最值问题处理(2)(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相
31、应函数的单调性，利用利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中 n n 的取值范围的取值范围能力能力练通练通抓应用体验的抓应用体验的“得得”与与“失失”1.1.考点一考点一 设设 a an n3 3n n2 21515n n1818，则数列，则数列 a an n 中的最大项的值是中的最大项的值是()1616A.A.3 3C C4 41313B.B.3 3D D0 05 53 3n n 2 2，由二次函数性质，得当，由二次函数性质，得当 n n2 2 或或 n n3 3
32、时，时，a an n取最大取最大解析：解析：选选 D Da an n3 3 2 2 4 4值，最大值为值，最大值为 a a2 2a a3 30.0.故选故选 D.D.2.2.考点一考点一 若数列若数列 a an n 满足：满足：a a1 11919，a an n1 1a an n3 3，则数列，则数列 a an n 的前的前 n n 项和数值最大时，项和数值最大时，n n 的值为的值为()A A6 6C C8 8B B7 7D D9 9解析：解析：选选 B Ba a1 11919，a an n1 1a an n3 3，数列，数列 a an n 是以是以 1919 为首项，为首项，3 3 为公差
33、的等差为公差的等差数列，数列，a an n1919(n n1)1)(3)3)22223 3n n，则，则 a an n是递减数列设是递减数列设 a an n 的前的前 k k 项和数值最大，项和数值最大，a ak k0 0，22223 3k k0 0，19192222则有则有 即即 k k，k kN N*，k k7.7.满足条件的满足条件的 n n 的的3 33 3 a ak k1 10 0，22223 3 k k1 1 0 0，值为值为 7.7.3.3.考点二考点二 已知已知 a an n 是递增数列，且对于任意的是递增数列，且对于任意的 n nN N*，a an nn n2 2nn 恒成立
34、，则实数恒成立，则实数 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：对于任意的对于任意的 n nN N*，a an nn n2 2nn 恒成立，恒成立，a an n1 1a an n(n n1)1)2 2(n n1)1)n n2 2nn2 2n n1 1.又又 a an n 是递增数列，是递增数列，a an n1 1a an n00，且当，且当 n n1 1 时，时，a an n1 1a an n最小，最小，a an n1 1a an na a2 2a a1 13 3 00，3.3.答案：答案：(3 3，)4.4.考点一、二考点一、二 已知数列已知数列 a an n 中，中，a an n1 11 1
35、(n nN N*，a aR R，且，且 a a0)0)a a2 2 n n1 1(1)(1)若若 a a7 7，求数列，求数列 a an n 中的最大项和最小项的值；中的最大项和最小项的值；(2)(2)若对任意的若对任意的 n nN N*，都有，都有 a an na a6 6成立，求成立，求 a a 的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)a an n1 11 1(n nN N*，a aR R，且，且 a a0)0)，a a2 2 n n1 1 1 1.2 2n n9 9又又a a7 7，a an n1 1结合函数结合函数 f f(x x)1 11 1的单调性，的单调性，2 2x x9 9可知
36、可知 11a a1 1 a a2 2 a a3 3 a a4 4，a a5 5 a a6 6 a a7 7 a an n1(1(n nN N*)数列数列 a an n 中的最大项为中的最大项为 a a5 52 2，最小项为，最小项为 a a4 40.0.1 12 21 1(2)(2)a an n1 11 1.a a2 2 n n1 1 2 2a an n2 21 12 22 2a a对任意的对任意的 n nN N*，都有都有 a an na a6 6成立，成立，结合函数结合函数 f f(x x)1 1的单调性，的单调性，知知 552 22 2a ax x2 266，1010a a 00，考虑函
37、数，考虑函数 y yt tt t，易知其在，易知其在(0,1(0,1上单调递减，在上单调递减，在(1(1，)上单调上单调递增，且当递增，且当 t t1 1 时，时，y y 的值最小，再考虑函数的值最小，再考虑函数 t t5 5x x，当，当 00 x x1 1 时，时，t t(1,5(1,5，则可知，则可知 a an n1 1 n n1 15 5n n 在在(0,1(0,1上单调递增，所以当上单调递增，所以当 n n时，时，a an n取得最小值取得最小值 5 5 1010答案：答案：1 11010 练常考题点练常考题点检验高考能力检验高考能力 一、选择题一、选择题1 1已知数列已知数列 a
38、an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn nn n2 22 2n n，则，则 a a2 2a a1818()A A3636B B3535C C3434D D3333解析：解析：选选 C C当当 n n2 2 时，时，a an nS Sn nS Sn n1 12 2n n3 3；当；当 n n1 1 时，时，a a1 1S S1 11 1，所以，所以 a an n2 2n n3(3(n nN N*)，所以，所以 a a2 2a a181834.34.2 2 数列数列 a an n 中，中，a a1 11 1，对于所有的对于所有的 n n2 2，n nN N*都有都有 a a1 1 a a2
39、 2 a a3 3 a an nn n2 2，则则 a a3 3a a5 5()6161252525253131A.A.B.B.C.C.D.D.16169 9161615159 925256161解析：解析：选选 A A令令 n n2,3,4,52,3,4,5，分别求出，分别求出 a a3 3，a a5 5，a a3 3a a5 5.4 4161616163 3在各项均为正数的数列在各项均为正数的数列 a an n 中，对任意中，对任意 m m，n nN N*，都有，都有 a am mn na am m a an n.若若 a a6 66464，则，则a a9 9等于等于()A A256256
40、C C512512B B510510D D1 0241 024解析：解析：选选 C C在各项均为正数的数列在各项均为正数的数列 a an n 中，对任意中，对任意m m，n nN N*，都有，都有a am mn na am m a an n.a a6 6a a3 3 a a3 36464，a a3 38.8.a a9 9a a6 6 a a3 364648 8512.512.4 4已知数列已知数列 a an n 满足满足 a a1 11515，且，且 3 3a an n1 13 3a an n2.2.若若 a ak k a ak k1 100，则正整数，则正整数 k k()A A2121C C
41、2323B B2222D D24242 2解析：解析：选选 C C由由 3 3a an n1 13 3a an n2 2 得得 a an n1 1a an n，则，则 a an n 是等差数列，又是等差数列，又 a a1 11515，a an n3 347472 2 45452 2 47472 245454747 k k k k 00，k k，k k2323，故选，故选 C.C.n n.a ak k a ak k1 102)2n n 1 1(n n1 1p p)，则，则 p p 00，(n n1)1)a an n1 1nanan n0 0，即，即a a，n n1 1n nn n1 1a a2
42、2a a3 3a a4 4a a5 5a an n1 12 23 34 41 1 ，a a1 11 1，a an n.n nn na a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a an n1 12 23 34 45 51 1答案：答案：n n三、解答题三、解答题1 11 1*1111已知已知 S Sn n为正项数列为正项数列 a an n 的前的前 n n 项和，且满足项和，且满足 S Sn n a a2 2n n a an n(n nN N)2 22 2(1)(1)求求 a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4的值；的值；(2)(2)求数列求数列 a an n 的通项公式的通
43、项公式1 11 1*解：解：(1)(1)由由 S Sn n a a2 2n n a an n(n nN N)，可得，可得2 22 21 11 1a a1 1 a a2 21 1 a a1 1，解得，解得 a a1 11 1；2 22 21 11 1S S2 2a a1 1a a2 2 a a2 22 2 a a2 2，解得，解得 a a2 22 2；2 22 2同理，同理，a a3 33 3，a a4 44.4.1 11 1(2)(2)S Sn n a a2 2n n a an n，2 22 21 11 1当当 n n2 2 时，时，S Sn n1 1 a a2 2n n1 1 a an n1
44、 1，2 22 2，整理得，整理得(a an na an n1 11)(1)(a an na an n1 1)0.0.由于由于 a an na an n1 10 0，所以，所以 a an na an n1 11 1，又由又由(1)(1)知知 a a1 11 1，故数列故数列 a an n 是首项为是首项为 1 1，公差为，公差为 1 1 的等差数列，故的等差数列，故 a an nn n.1212已知数列已知数列 a an n 的通项公式是的通项公式是 a an nn n2 2knkn4.4.(1)(1)若若 k k5 5，则数列中有多少项是负数？，则数列中有多少项是负数？n n 为何值时，为何
45、值时，a an n有最小值？并求出最小值；有最小值？并求出最小值；(2)(2)对于对于 n nN N*，都有，都有 a an n1 1 a an n，求实数，求实数 k k 的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)由由 n n2 25 5n n4040，解得，解得 11n n4.a an n知该数列是一个递增数列，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式又因为通项公式 a an nn n2 2knknk k 3 34 4，可以看作是关于，可以看作是关于 n n 的二次函数，考虑到的二次函数，考虑到 n nN N*，所以，所以 3.3.2 2 2 2所以实数所以实数 k k 的取值范围为的取值范围
46、为(3 3，)第二节第二节等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和本节主要包括本节主要包括 3 3 个知识点：个知识点：1.1.等差数列的性质及基本量的计算；等差数列的性质及基本量的计算；2.2.等差数列前等差数列前 n n 项和及性质的应用；项和及性质的应用；3.3.等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明.突破点突破点(一一)等差数列的性质及基本量的计算等差数列的性质及基本量的计算基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的“源源”与与“流流”1 1等差数列的有关概念等差数列的有关概念(1)(1)定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第 2 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一
47、个常数，那项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为么这个数列就叫做等差数列符号表示为 a an n1 1a an nd d(n nN N*，d d 为常数为常数)a ab b(2)(2)等差中项：数列等差中项：数列a a，A A，b b 成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是 A A，其中，其中A A 叫做叫做 a a，b b 的等的等2 2差中项差中项2 2等差数列的有关公式等差数列的有关公式(1)(1)通项公式：通项公式：a an na a1 1(n n1)1)d d.(2)(2)前前 n n 项和公式：项和公式：S Sn nnana1 13
48、 3等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)(1)通项公式的推广：通项公式的推广：a an na am m(n nm m)d d(n n，m mN N*)(2)(2)若若 a an n 为等差数列，且为等差数列，且 k kl lm mn n(k k，l l，m m，n nN N*)，则，则 a ak ka al la am ma an n.(3)(3)若若 a an n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为 d d，则，则 a a2 2n n 也是等差数列，公差为也是等差数列，公差为 2 2d d.(4)(4)若若 a an n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为 d d，则，则 a ak
49、 k，a ak km m，a ak k2 2m m，(k k，m mN N*)是公差为是公差为 mdmd 的等的等差数列差数列(5)(5)若数列若数列 a an n，b bn n 是公差分别为是公差分别为 d d1 1，d d2 2的等差数列，的等差数列，则数列则数列 papan n，a an np p，papan nqbqbn n 都是等差数列都是等差数列(p p，q q 都是常数都是常数)，且公差分别为，且公差分别为 pdpd1 1，d d1 1，pdpd1 1qdqd2 2.考点考点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的“形形”与与“神神”等差数列的基本运算等差数列的基本运算 例例 11(1)
50、(2016(1)(2016东北师大附中摸底考试东北师大附中摸底考试)在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a1 1a a5 51010，a a4 47 7，则数，则数列列 a an n 的公差为的公差为()A A1 1B B2 2n n n n1 1 n n a a1 1a an n d d.2 22 2C C3 3D D4 4(2)(2016(2)(2016惠州调研惠州调研)已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，若，若 S S3 36 6，a a1 14 4，则公差，则公差 d d 等等于于()A A1 1C C2 2 解析解析(1)