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1、一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积第1页/共50页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。曲边梯形面积。（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第2页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第3页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过
2、程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第4页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第5页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第6页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第7页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意
3、当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第8页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第9页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第10页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第11页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分
4、割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第12页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第13页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第14页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第15页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分
5、割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第16页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第17页/共50页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第18页/共50页 设An为第n个小矩形的面积，当小矩形分得越来越细时(此时n不断变化增大，显然n个小矩形的面积之和 Bn=A1+A2+A3+An 变得越来越接近于曲边梯形的面积A,我们就说曲边梯形的面积A是当n无限增大时Bn的极
6、限，并记作第19页/共50页解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第20页/共50页3)近似和近似和.4)取极限取极限.令则曲边梯形面积第21页/共50页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变常代变.得已知速度n 个小段过的路程为第22页/共50页3)近似和近似和.4)取极限
7、取极限.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第23页/共50页二、定积分定义二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作第24页/共50页积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即第25页/共50页定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和第26页/共50页可积的充分条件可积的充分条件:取定理定理1.
8、定理定理2.且只有有限个间断点(证明略)例例1.利用定义计算定积分解解:将 0,1 n 等分,分点为第27页/共50页注注注 注.当n 较大时,此值可作为 的近似值第28页/共50页例例2.用定积分表示下列极用定积分表示下列极限限:解解:第30页/共50页三三.定积分的近似计定积分的近似计算算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a,b 分成 n 等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式第31页/共50页推导推导3.梯形公式梯形公式4.抛物线法公式第32页/共50页例例3.用梯形公式和抛物线法公用梯形公式和抛物线法公式式解解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.1
9、3.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分第34页/共50页四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)证证:=右端第35页/共50页证证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是第36页/共50页当当 a,b,c 的相对位置任意时的相对位置任意时,例如例如则有第37页/共50页6.若在若在 a
10、,b 上上则证证:推论推论1.若在 a,b 上则注注上连续上连续,则可得到严格不等式则可得到严格不等式第38页/共50页推论推论2.证证:即7.设则第39页/共50页例例4.试证试证:证证:设则在上,有即故即第40页/共50页8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 第41页/共50页注注1 1内取到内取到,事实上若事实上若 则由连续函数的介值定理则由连续函数的介值定理,必恒有必恒有因此因此第42页/共50页注注2 2 积分第一中值定理的几何意义如下图所示积分第一中值定理的几何意义如下图所示:第43页/共50页 可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因注注3 3注注4 4第44页/共50页例例5.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为故所求平均速度第45页/共50页内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式第46页/共50页思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解解:或第47页/共50页思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为 0!第48页/共50页2.解解:设则即第49页/共50页感谢您的欣赏！第50页/共50页