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1、第五第五章章 平面平面向量、数系的扩充向量、数系的扩充与复数的引入与复数的引入 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识体系-2-5 5.1 1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双基自测2341自测点评1.向量的有关概念 大小 方向 长度 模 0 1个单位长度 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-5-知识梳理双基自测2341自测点
2、评相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-6-知识梳理双基自测自测点评23412.向量的线性运算 b+aa+(b+c)第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-7-知识梳理双基自测自测点评2341|a|相同 相反 aa+aa+b第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-8-知识梳理双基自测自测点评23413.向量共线定理(1)向量b与a(a
3、0)共线当且仅当有唯一一个实数,使得.注:限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有b=a第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-9-知识梳理双基自测自测点评2341第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理2-10-知识梳理双基自测341自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(
4、4)若向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若ab,bc,则ac.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-11-知识梳理双基自测自测点评23412.设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得ab=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D
5、答案解析关闭D 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-12-知识梳理双基自测自测点评2341A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0 答案解析解析关闭 答案解析关闭第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养知识梳理-13-知识梳理双基自测自测点评23414.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案解析解析关闭 答案解析关闭第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识
6、梳理核心考点学科素养知识梳理-14-知识梳理双基自测自测点评1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念,有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的.向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小.2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的,它与任何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是共线向量.3.向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上,而两条平行直线不能平移到同一直线上.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的
7、概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-15-考点1考点2考点3例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)给出下列命题:若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab.其中真命题的序号是.思考学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识?答案 答案关闭(1)A(2)第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体
8、系知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点1考点2考点3解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以ab.若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.又A,B,C,D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点1考点2考点3不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,正确命题的序号是.第五章第五章5.
9、1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-18-考点1考点2考点3解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征:大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)设a0为单位向量
10、,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为.(2)给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数),则必为零;已知,为实数,若a=b,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4 答案 答案关闭(1)3(2)C 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点1考点2考点3解析:(1)向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但
11、方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.(2)错误.当方向不同时,不是共线向量.正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.错误.当a=0时,不论为何值,a=0.错误.当=0时,a=b,此时,a与b可以是任意向量.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点1考点2考点3思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系
12、?答案 答案关闭(1)A(2)A 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-22-考点1考点2考点3第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-23-考点1考点2考点3解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.第五
13、章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-24-考点1考点2考点3 答案 答案关闭第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-25-考点1考点2考点3第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-26-考点1考点2考点3第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-27-考点1考点2考点3例3设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+
14、b和a+kb共线.思考如何用向量的方法证明三点共线?第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-28-考点1考点2考点3A,B,D三点共线.(2)解ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb,(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0,k=1.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-29-考点1考点2考点3解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区
15、别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-30-考点1考点2考点3 答案 答案关闭(1)1(2)=1 第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-31-考点1考点2考点3第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-32
16、-考点1考点2考点31.平面向量的重要结论:A,B,C三点共线.(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,平行向量与起点无关.2.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素,向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养核心考点-33-考点1考点2考点31.若两向量起点相同,终点相同,则这两个向
17、量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.向量 是共线向量,但A,B,C,D四点不一定在同一条直线上.4.在向量共线的充要条件中要注意“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养学科素养-34-易错警示都是零向量“惹的祸”典例下列命题正确的是.向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a;在ABC中,;不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;只
18、有方向相同或相反的向量是平行向量;若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.答案第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养学科素养-35-解析向量a与b不共线,向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b,故 此时无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.故正确;显然错误.第五章第五章5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知识体系知识梳理核心考点学科素养学科素养-36-反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得出错误的结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.