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1、应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,基本思路：化为定积分基本思路：化为定积分 二重积分的计算二重积分的计算1.直角坐标系下的计算法直角坐标系下的计算法yxoabDyxoabDyxoabD(1)X型积分区域型积分区域D:1(x)y 2(x),a xb 特点特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边轴的直线与区域边界相交不多于两个交点界相交不多于两个交点.zxoabyx+dxxA(x)A(x)1(x)2(x)z=f(x,y)yz后积分的先定限后积分的先定限,先积分的后定限先积分的后定限,限内作条线限内作条线,先交的为下限先交的
2、为下限,后交的为上限。后交的为上限。D是是X型区域，二重积分化为先对型区域，二重积分化为先对y，后对后对x的二次积分。的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。关键：确定各积分变量的积分限。例例1其中其中D为为y2=x 和和y=x2 所围的闭区域所围的闭区域.yxoy=x2 11解解:D D为为X型区域型区域(2)Y型积分区域型积分区域D：1(y)x 2(y),c ydyxocdDx=1(y)x=2(y)yxoDx=1(y)x=2(y)cdyxocdDx=1(y)x=2(y)后积分的先定限后积分的先定限,先积分的后定限先积分的后定限,限内作条线限内作条线,先先交的为下限交的为下限,后交的为上限
3、。后交的为上限。D是是Y 型区域，二重积分化为先对型区域，二重积分化为先对x，后对后对y的二次积分。的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。关键：确定各积分变量的积分限。yxox=y2 11D D也为也为Y型区域型区域例例1其中其中D为为y2=x 和和y=x2 所围的闭区域所围的闭区域.X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个
4、区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.例例2其中其中D为由为由 x=0 和和 y=0 及及 y=2 2x所围成闭域所围成闭域.y yx xo o2 21 1y y=2=2 2 2x x解解:D为为X型区域型区域yxo21D也为也为Y型区域型区域y yx xo ox=y 例例3 计算计算其中其中D由由y=2,y=x及及xy=1所围闭区域所围闭区域2 21 1解解:D为为Y型区域型区域若先对若先对y再对再对x积分积分yxo21x=yD1D2 D也也为为X型区域型区域解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图yxoy=xy=1x=0D解解区域区
5、域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的但但siny2的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数原积分不能直接得到原积分不能直接得到先交换积分顺序先交换积分顺序例例6yxoy=xy=1x=0D解解区域区域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的例例7求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的体积。体积。yxzoRD1解解如图设两个圆柱的方程为如图设两个圆柱的方程为例例8xoDyR二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结Y型型X型型思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案作业作业P154 1(2),2(1)