线性代数习题二解答.pdf

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1、习习题题二二解解答答1.两个零和对策问题.两个儿童玩石头-剪刀-布的游戏，每人的出法只能在石头-剪刀-布选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得 1 分，负者得-1 分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的A得分.解B策略石头 剪刀 布A石头 011策剪刀101略布110删了 2.有 6 名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1 胜选手 2，4，5，6 负于 3；选手 2 胜选手4，5，6 负于 1，3；选手 3 胜选手 1，2，4 负于 5，6；选手 4 胜选手 5，6 负于 1，2

2、，3；选手 5 胜选手 3，6 负于 1，2，4；若胜一场得 1 分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.123456120解314050601011101111100，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.00110101010035721320A 2043，B 215701230648试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.2.某种物资以 3 个产地运往 4 个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B.且35721320解A B 2043215701230648111 123T3.设A 111，B 124，求3AB2A与A B.111051111 123111 解3AB3A

3、 311112421111110511114.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10 元，8 元，7 元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.1072解A 8 44，方法一获利最多.7595.设A1210，B，问1312222（1）AB BA吗？（2）A B A 2AB B吗？（3）ABAB A2B2吗？解（）AB BA，3412因为AB，BA，所以AB BA4638（）A B A 2AB B222因为A B 222538 68 101016411812341527但A22AB B2所以A B2 A2

4、2AB B222（）A BAB A B因为A B 2202，AB，250122 0206，25010938 1028，4113417A BAB22而A B 故A BAB A2B226.举反例说明下列命题是错误的：（1）若A O，则AO；（2）若A A，则AO或A E；2（3）若AX AY，且A O，则X Y.11 2解（1）取A O，而A O，11（2）取A102，有，而A A，A O，A E00101010，X，Y，有X Y，而AX AY.000001（3）取A7.设A 1023kA，A，A，求.110 10 10；1121解A2 AA 10 10 10A A A；2113132由此推出Ak

5、 103，k 2，k1下面利用数学归纳法证明这个结论当k 1，k 2时，结论显然成立假设k 1时结论成立，即有Ak101k 11010 101则对于k时，有A AA，故结论成立k 111k1kk110k8.增加设A 01,求A.00解首先观察kk由此推测A 00kk1k0k(k 1)k22kk1(k 2)k用数学归纳法证明:当k 2时,显然成立.假设k时成立，则k 1时，kk由数学归纳法原理知:A 00kk1k0k(k 1)k22k1kk8.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA.证明由已知：AT ABT B充分性：由AB BA，得AB BTAT，所以AB AB

6、即AB是对称矩阵.必要性：由AB AB得，TTBTAT AB所以BA AB.删了 9.设A、B为n矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明已知：A则B ABT ATTT BTBTAA BTATB BTAB从而BTAB也是对称矩阵.11.求下列矩阵的逆阵（1）、（3）用公式法和初等行变换法求解）：a112134234541解(1)公式法：故A1a2，a a12an10an 0改400234123012001 5221初等行变换法：52所以A211(2)A 1 0故A存在从而A11 cossinsincos1(3)公式法;A 2,故A存在而A12 13A22 6A32 1 210 11

7、311A故A3A221671初等行变换法：210 131所以A13221671 1a11（）由对角矩阵的性质知A01a201an10改400234 1000 1123 01000r12r20012 00100001 0001034 1200 123 0100012 0010001 000110.解下列矩阵方程：（1）2546X；53212111130（2）X21；111432010100143（3）100X00120100101012025 46解(1)X 1321 211113(2)X 21043211111 14 31 20(3)X 12 0111删了 13.利用逆阵解下列线性方程组：11

8、123 x11 解(1)方程组可表示为225x2 2 351x33 x112311 故x222520 x351303 1 x11从而有x2 0 x 03111 x12(2)方程组可表示为213x21325x03 x111125 故x221310 x325033 1x1 5故有x2 0 x 331021删了 14.把矩阵2031化为行最简形矩阵30431021r 2r1021r323r110013解20313043002015.设方阵A满足A A2E O，证明A与A2E均可逆，并求其逆矩阵2证明由A A2E O得A A 2E22两端同时取行列式:A A 2即A AE 2,故A 0所以A可逆,而A

9、2E A22A2E A2 A 0故A2E也可逆.由A A2E O得1所以A A(A E)2A E，则A11221(A E)2又由A A2E O(A2E)A3(A2E)4E所以(A2E)(A2E)(A3E)4(A2E)则(A2E)11121(3E A)42.改改 11.设方阵A满足A 2A5E O，证明A3E可逆，并求其逆矩阵.由A 2A5E O得A3EAE 2E，即A3E21A E E，2所以，A3E11AE.2k12.已知对给定方阵A，存在正整数k，成立A O，试证E A可逆，并指出E A的表达式.证明E AkE AE A所以E AE A1 Ak1，而Ak O，1 Ak1 E，则E A=E

10、A11，求2A5A.2 Ak113.设A为 3 阶方阵，A 解因为A11A，所以A A A1，代入，得A1111A5 A A1A15A1 2A1，2222A15A又AA1 E 1,A 1，故A1 2.214.设方阵A可逆，证明其伴随矩阵A也可逆，且A证明由A1 1A1.1A，得A A A1，An所以当A可逆时，有A A因为A A A，所以A1A1 A A1n1 0，从而A也可逆.1111A，又A1A AA，所以A另外：1 辅导书中n阶矩阵A的伴随矩阵为A的性质证明.(1)AA AA A EP41.定理，(2)当A可逆时，A A A1(证：由AA A E左乘A逆得出)；(3)当A可逆时，A 1A

11、11AA(证：由A A A左乘A得AA A E,由定理推论，得A1 11A，A又A1A1 A1E AE左乘A，得A111A)；A(4)A ATT(证：由AA A E,得AA同样ATTA E,即AAT A E，TTTAT ATE A E，所以AAT)n1(5)A=1Ann1(证：AA=AA=A E 1A E,AA=1又AA A E,故AA=1n1A E.A).AA,当A可逆时，A=1n1(6)AB=B A(证：由ABAB=AB E A B E和ABBA A BBA A B EA B AA B A E，得AB=B A)；(7)A An2Ann1(证：AA A E，AA A A A E A，当A可逆

12、时，A A同样A 0.A AE An1n1E，左乘A，得AAA AAE An2n1A，A EA AA，故A AA).111(8)AA A E,当A可逆时，左乘A，A AA A A，即A A A，1故A A A1 A(9).2.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：(1)若A 0,则A 0;(2)A A证明(1)用反证法证明假设A 0则有A(A)1nA1 An1；n1.E，由此得A AA(A)1 A E(A)1OA O，与A 0矛盾，故当A 0时，有A 0.(2)由于A11nA,则AA A E，取行列式得到:A A A.An1若A 0则A A，n1若A 0由(1)知A 0此时命题也成立.故有A A.

13、131215.设A 020，AB E A B，求B.101解由AB E A2 B得即AEB AEA E00110 1 0，所以AE可逆，则因为A E 0100加了 16.设三阶矩阵A，B满足关系：A BA 6A BA，且1 12A 00求B.014000,17 033加了 17.设A 110，AX A2X，求X.123 033删了 19.设A 110，AB A2B，求B.123解由AB A2B可得(A2E)B A233 033 0331故B (A2E)A110110 123121123110删了 21.设P1AP ，其中P 1141011，求.A，=1102解因为P1AP ，故A PP1所以A

14、11 P11P11010 11而1102024 114 10 332731273211故A111102116836843311111 11，删了 22.设AP P，其中P 102，=1115求A A85E 6A A2.解因为AP P，所以A PP；1222 11181又P 6，P303，=681215111 1 222 111303所以A PP10265111121所以A A85E 6A A2 A8E A5E A100 120 020又因为E A 010 232 222001021020 55818所以A22568152258245822581582258558020 420 222222 0

15、20 024 100100 加了 18 已知AP P，其中P 210，=000，求A及A521100119.设A、B和A B均可逆，证明A1 B1也可逆，并求其逆矩阵.解因为A1 B1A E CA B1B B1A，由A BA B则1 E得A1 B1AA BB B1B E11所以A1 B1可逆，其逆为AB AB.解二 由A1ABB1 B1 A1 A1B1，又A、B和A B均可逆，故A1A BB1可逆，所以，A1 B1也可逆.解三A、B均可逆，A A E,BB11 E，A1 B1 A1E EB1 A1BB1 A1AB1 A1B AB1 A1ABB1，所以，A B也可逆，A B11111A1A BB

16、1 BA BA.11 2131 425420.将矩阵A 42622140化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A的一个最高阶非零子式.2131 2131 r22r1r3r242540012r r41解A 42620012 21400011131131B的秩为 3，其一个 3 阶非零子式为002100故0000312，对应于A的 3 阶非零子式为254.012621 131124.即为矩阵A的行阶梯形矩阵，矩阵A的一个最高阶非零子式为2501 26200，21.用初等变换法求下列矩阵的逆：111321（1）211；（2）315；120323320110221；（4）0（3）123200121022.求方阵A

17、的秩.357123.0120011031A 解1214所以RA 4.01 10r23r13r103r01r4r1 020157041 000256023.设A为n阶矩阵，且A A,证明RA RAE n.2增加增加 矩阵秩的性质矩阵秩的性质1.1.0 RAmn minm,nP57；2.2.RA RkA其中k 0；3.3.R A RA，即行秩=列秩 P57；T4.4.若A,B等价，则RA RB；P585.5.若P,Q是可逆矩阵，则RA RPA RAQ RPAQ；6.6.max RA，RB RA,B RA+RB；注：注：证明RA，B RARB，特别地，当B b为列向量时，有证明证明设1，2，r为A的

18、列向量极大线性无关组，1，2，t为B的 列 向 量 极 大 线 性 无 关 组，则A，B的 列 向 量 均 可 由而1，2，r，1，2，t中线性无关的向量一1，2，r，1，2，t线性表出，定不超过rt个，所以RA，B RARB.特别地，当B b为列向量时，有RA，b RA1.为A的 列 均 可 由A，B线 性 表 出，B的 列 均 可 由A，B线 性 表 出，所 以RA RA，B，RB RA，B，于是maxRA，RB RA，B.7.7.RA B RA+RB；证明一证明一因为RA B R A BB A BB，对于方阵作初等变换，有BBBB A BBr1Er2 AOc1Ec2 AO，BBBBOBE

19、E A BB EO AO即，OEBBEEOB所以R A BB AO RBBOB AO从而RA B R RA RB.OB证明二证明二RA B RAE BE RA，BEE minRA，B，n RA，B RA RB.证明三证明三因为A B的列均可由A，B的列线性表出，所以RAB RA，B RARB.8.8.RAB min RA，RB；.Q，使得证明证明设Aml，Bln，RA r，RB s.因为RA r，所以存在可逆矩阵P、EOPAQ，于是OOEORAB RPAB RPAQQ1B RC，OO其中C Q1B cij b11br1EO所以RAB RC ROO00b1nbrn（）00显然最右边一个矩阵的秩不

20、超过它的非 0 行数（=r），也不超过C的秩（=s），所以RAB minRA，RB.9.9.若AmnBnl O，则RA+RB n；证明证明 P146.P146.34O43，求A8，A4.24.设A 20O2234O43，令A 34 A 20解A 12204322O22则A A1OO A2O A18A2O8 A18故A OO 8A25.5.设A 0，证明RAB RB.证明证明 因为A 0，故A可逆，则存在有限个初等矩阵P1，P2，Pl，使A PP12于是AB PP12Pl，PBl由于初等矩阵左乘某一矩阵相当于对该矩阵进行了一次初等行变换，这个矩阵的秩不改变，从而即RAB RB.2.2.设A为n阶

21、方阵（n 2），A为其伴随矩阵，证明证明证明 当RA n时，A为满秩矩阵，故A 0.由AA A E，得AA A A A E A，于是有A Ann1 0，则RA n.当RA n1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n1阶子式不为 0，从而A至少有一个元素不为 0，所以R A1，另一方面，因RA n1，故A 0，所以AA A E O根据秩的性质，有若A，B为n阶矩阵，且AB O，则 RARB n，有RA RA n，从而RA nn11，故RA1；当RA n1时，由矩阵秩的定义知，A的所有n1阶子式全为 0，从而A O，故R A 0.AO27.设n阶方阵A和s阶方阵B均可逆，求，利用这个结果求矩阵CB

22、的逆矩阵.1 An解Csn利用这个结果取A1OBsEnOO Es103021，B，C，121412O 得Bs11An AO则由1B1CsnAnCBs1 201 401A1，B，2111213-B1CA1 1 40 21 1 201 124，1312113512224则A11 240 1 801，B2412122426111故21000 24002001121201302412482143520006改 25.设矩阵A和B均可逆，求分块矩阵OA的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵BO0085052021的逆矩阵.300200*26.证明AB A B（A、B为n阶方阵）.证明设A aij，B bij.记2n阶行列式为而在D中以b1 j乘第 1 列，b2 j乘第 2 列，bnj乘第n列，都加到第n j列上j 1，2，n，有 D ACEO，其中C cij，cnij ai1b1jai2b2 jainbnj，故C AB，再对D的行作ri rn jj 1，2，n，有从而由第一章的例题结果有于是AB A B