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1、.精品文档.八年级数学下册第十七章勾股定理例析及训练第十七勾股定理1.在非直角三角形中作辅助线的方法(1)作高(垂线)法：解一般三角形的问题常常通过作高 或作某一边的垂线段，转化为直角三角形，利用勾股定理计 算或证明.【例 1】在厶 AB 中,AB=2,A=4,B=2,以 AB 为边向 AB 外作厶 ABD,ABD 为等腰直角三角形，求线段 D 的长.【标准解答】A=4,B=2,AB=2,A2+B2=AB2,AB 为直角三角形，/AB=90 .分三种情况：情况 1：如图，过点 D 作 DEIB,垂足为点 E.易证BED,易求 D=2;情况 2:如图，过点 D 作 DEI A,垂足为点 E.易证
2、 ABDEA,易求 D=2;情况 3:如图，过点 D 作 DEI B,垂足为点 E,过点 A 作 AF 丄DE,垂足为点 F.易证 AFDADEB,易求 D=3.(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法：有些几2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创1 1/9 9.精品文档.何图形，比如四边形，本身就具备直角的已知条件，但没有直角三角形，此时要根据图形特点巧构直角三角形【例 2】如图,/B=ZD=90 ,/A=60 ,AB=4,D=2.求四 边形 ABD 的面积.【标准解答】延长 AD,B 交于 E 点，如图./B=90,/A=60 ,/E=30.AE=2AB=8,E=2
3、D=4,贝 y BE=4./DE=2,四边形 ABD 的面积=ABE 的面积-DE 的面积=6.AB 中,AB=4,B=3,/BA=30 ,则厶 AB 的面积为2.运用数学思想处理问题(1)分类讨论思想：在一些求值计算中出图形，当画出符合题意的图形不唯一时,有些题目没有给,要注意分情况进行讨论,避免漏解.【例 1】已知三角形相邻两边长分别为边上的高为 10,则此三角形的面积为20 和 30.第三2.【标准解答】设 AB=20,A=30,AD=10有两种情况:一种在直角三角形 ABD 中利用勾股定理得 BD=10.同理解得 D=20,则三角形 AB 的面积=XBXAD2016 全新精品资料-全新
4、公文范文-全程指导写作-独家原创2 2/9 9.精品文档.=x X 10=(100+50)2.二种：在直角三角形 ABD 中,BD=10.在直角三角形 AD 中,D=20.则 B=(20-10),所以三角形 AB 的面积为(100-50)2.答案:(100+50)或(100-50)(2)方程思想：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时可由此列出方程分析问题、解决问题，以便简化求解.【例 2】如图，长方形 ABD 沿着对角线 BD 折叠,使点落在处,B 交 AD 于点 E,AD=8,AB=4,则 DE 的长为【标准解答I：/BD=ZDBE,ZBD=ZADB,，运用方程思想/D
5、BE=/ADB,DE=BE.设 DE 的长为 x,则 AE=8-x,在 Rt ABE 中,AB2+AE2=BE2,即 42+(8-x)2=x2,解得:x=5.答案：51.已知直角三角形两边的长分别是3 和 4,则第三边的长为2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创3 3/9 9.精品文档.2.长方形纸片 ABD 中,已知 AD=8,AB=6,E 是边 B 上的点,以AE 为折痕折叠纸片，使点 B 落在点 F 处，连接 F,当厶 EF 为直角三角形时,BE 的长为3.折叠问题及最短路径问题几何图形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点,这两类问题都需要构造直角三角形(1)利
6、用勾股定理解决图形折叠问题【例 1】如图，在 Rt AB 中，/=90,B=6,A=8,按图中 所示方法将 BD 沿 BD 折叠，使点落在 AB 边的点，那么 AD 的面 积是【标准解答I：/=90,B=6,A=8,AB=10,将 BD 沿 BD 折叠,使点落在 AB 边的点，D=D,B=B =6,A=4,设 D=x,则 AD=(8-x),在 Rt AD 中，AD2=A 2+D2,，借助勾股定理解决.2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创4 4/9 9.精品文档.即(8-x)2=42+x2,解得 x=3,AD 的面积=X 4 X 3=6(2).答案:6 2【例 2】如图，
7、长方形纸片 ABD 中，已知 AD=8,折叠纸片使 AB 边与对角线 A 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE,且EF=3,则 AB 的长为()A.3B.4.5D.6【标准解答】选 D.四边形 ABD 是长方形,AD=8,B=8,AEF 是厶 AEB 翻折而成，BE=EF=3,AB=AF,EF 是直角三角形，E=8-3=5,在 Rt EF 中，F=4,设 AB=x,在 Rt AB 中,A2=AB2+B2,即(x+4)2=x2+82,解得 x=6.(2)最短距离问题求立体图形表面上两点之间的最短距离问题，关键是把2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创5 5/9 9.精
8、品文档.立体图形的侧面展开成平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用平面上“两点之间，线段最短”的公理解题.把空间图形 转化为平面图形是解数学题的重要转化思想之一【例 31如图，已知圆柱底面的周长为 4 d,圆柱高为 2 d,在圆柱的侧面上，过点 A 和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝 的周长最小为（A.4 d B.2 d.2 d D.4 d【标准解答】选 A.如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2A 的长度.圆柱底面的周长为 4 d,圆柱高为 2 d,AB=2 d,B=B =2 d,A2=22+22=4+4=8,A=2,这圈金属丝的周长最小为 2A=4 d.1.如图,Rt
9、AB 中,AB=9,B=6,/B=90 ,将厶 AB 折叠，使A 点与 B 的中点 D 重合，折痕为 N,则线段 BN 的长为（A.4B.D.5）2.如图,圆柱形容器高 18,底面周长为 24,在杯内壁离 杯底 42016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创6 6/9 9.精品文档.的点 B 处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为2 题图3 题图3.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个
10、圆柱体，因 丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3尺，有葛藤 自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处.则问题 中葛藤的最短长度是尺.答案解析：1.在非直角三角形中作辅助线的方法【跟踪训练】【解析】根据题意画出图形可知符合要求的AB 共有两个(如图),过点 B 作 BD 丄 A,AB=4,/BA=30,BD=2,AD=2,D=,故 A=2-或 A=2+,SAAB=X(2-)X2=2-2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创7 7/9 9.精品文档.或 SAAB=X(2+)X2=2+.答案:2-或 2+2.运用数学思想处理问题【跟踪训练】1.【解析】
11、当 3,4 为直角边长时，则第三边是斜边，其长为 5;当长为 4 的边是斜边时，第三边是直角边，其长是.故第 三边长为 5 或.答案：5 或2.【解析】/EF=90 时，如图 1,/AFE=Z B=90,/EF=90 ,点 A,F,共线，长方形 ABD 的边 AD=8,B=AD=8,在 Rt AB 中，A=10,设 BE=x,则 E=B-BE=8-x,由翻折的性质得，AF=AB=6,EF=BE=x,F=A-AF=10-6=4,在 Rt EF 中，EF2+F2=E2,即 x2+42=(8-x)2,2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创8 8/9 9.精品文档.解得 x=3,
12、即 BE=3;/EF=90 时,如图 2,由翻折的性质得，/AEB=/AEF=X90=45四边形 ABEF 是正方形，BE=AB=6.综上所述,BE 的长为 3 或 6.答案:3 或 63.折叠问题及最短路径问题【跟踪训练】1.【解析】选.设 BN=x,则依据折叠原理可得 DN=AN=9-x,又 D 为 B 的中点，所以 BD=3,在 Rt NBD 中，利用勾股定理，可得BN2+BD2=DN2,则有 32+x2=（9-x）2,解得 x=4,即 BN=4.2.【解析】如图，将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A,根据两点之间线段最短可知 A B 的长度即为所求.由题意知EA=2,BD=18-4+2=16,A D=12.由勾股定理得 A B=20（）.2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创9 9/9 9.精品文档.答案:203.【解析】把这个圆柱沿一条母线剪开，一条边（即枯木的高）长 20 尺，另一条边长为 5X3=15（尺）,因此葛藤长=25（尺）.答案:252016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创1010/9 9