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1、第一讲第一讲数与式数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即a,a 0,|a|0,a 0,a,a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离（3）两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式f(x)a(a 0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是a f(x)a。f(x)a(a 0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)a或f(x)a。f(x)g(x)f(x)g(x)。（2 2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：找到使
2、多个绝对值等于零的点分区间讨论，去掉绝对值而解不等式一般地n个零点把数轴分为n1 段进行讨论将分段求得解集，再求它们的并集例 1.求不等式3x5 4的解集22例 2.求不等式2x1 5的解集例 3.求不等式x3 x2的解集例 4.求不等式|x2|x1|3 的解集例 5.解不等式|x1|2x|3x例 6.已知关于x的不等式|x5|x3|a 有解，求a的取值范围练习练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x1 x34+x（2）|x+1|x2|（3）|x1|+|2x+1|4（4）3x2 7(5)5x7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式(ab)(ab)a b（2）完全平方公式(a b)a 2abb（
3、3）立方和公式(ab)(a abb)a b（4）立方差公式(ab)(a abb)a b（5）三数和平方公式(abc)a b c 2(abbcac)（6）两数和立方公式(ab)a 3a b3ab b（7）两数差立方公式(a b)a 3a b3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1分解因式：332233322322222233223322222（1）x3x2；（2）6x 7x22222（3）x(ab)xy aby；（4）xy1 x y2提取公因式法例 2.分解因式：（1）ab5a5b2（2）x 93x 3x323
4、公式法4例 3.分解因式：（1）a 16（2）3x 2yx y224分组分解法例 4.（1）x xy 3y 3x（2）2x xy y 4x5y 65关于x的二次三项式ax+bx+c(a0)的因式分解2若关于x的方程ax bxc 0(a 0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax bx c(a 0)就可分22222解为a(x x1)(x x2).例 5.把下列关于x的二次多项式分解因式：2（1）x 2x1；（2）x 4xy 4y22练习练习（1）x 5x6（2）x2a1xa（3）x 11x182222（4）4m 12m9（5）57x6x（6）12x xy 6y22（7）62pq211q2p3
5、（8）a35a2b6ab2（9）（10）x42x21（11）x2 y2a2b22ax 2by（12）a24ab4b26a12b9 (13)x22x1（14）a31；（15）4x413x29；（16）b2c22ab2ac2bc；（17）3x25xy 2y2 x9y 4第二讲第二讲一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有:（1）当0 时，方程有两个不相等的实数根xbb24ac1，22a；（2）当0 时，方程有两个相等的实数根x1x2b2a；（3）当0 时，方程没有实数根4x24x22(2)根与系数的关系（韦达
6、定理）如果axbxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2定理2bc，x1x2这一关系也被称为韦达aa2、二次函数y ax2bx c的性质b4ac b2b 1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为，。2a4a2a4acb2bbb当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最小值。4a2a2a2ab4ac b2bb2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ，顶点坐标为，时，y随。当x 2a4a2a2a4acb2bbx的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y有最大值4a.2a2a3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方
7、程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c 0是二次函数y ax2bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：0，Bx2，0(x1 x2)，其中的x1，x2是一元二次方程 当 b24ac 0时，图象与x轴交于两点Ax1，b24acax bx c 0a 0的两根。这两点间的距离AB x2 x1.a2 当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0。2例 1.若x1和x2分别是一元二次方程 2x5x30 的两根（1）求|x
8、1x2|的值；（2）求1133的值；（3）x1x2x12x22例 2.函数y mx x2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（2）0 个1 个22 个1 个或 2 个2例 3.关于x的方程mx mx5 m有两个相等的实数根，则相应二次函数y mx mx5m与x轴必然相交于2点，此时m 0)和(x2，0)，若x1x2 x1 x2 49，要使抛物线例 4.抛物线y x(2m1)x6m与x轴交于两点(x1，经过原点，应将它向右平移个单位例 5.关于x的二次函数y 2mx(8m1)x8m的图像与x轴有交点，则m的范围是（）2m 116m111且m 0m m 且m 0161616练习21.一元二次方程
9、axbxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）|x1x2|和x1 x233；（2）x1x2222.如图所示，函数y (k 2)x 7x(k 5)的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标x00)，B(x2，0)(x1 x2)两点，顶点M的3.已知抛物线y ax bx c与y轴交于C点，与x轴交于A(x1，22222纵坐标为4，若x1，x2是方程x 2(m1)xm 7 0的两根，且x1 x210（1）求A，B两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C坐标；4.若二次函数y ax c，当x取x1、x2（x1 x2）时，函数值相等，则当x取x1 x2时，函数值为2（）aca ccc5、已知二次函数y 12
10、1x bxc，关于x的一元二次方程x2bxc 0的两个实根是1和5，22则这个二次函数的解析式为第三讲第三讲一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法1、定义：形如ax+bx+c0（a0）（或ax+bx+c0（a0）的不等式做关于x的一元二次不等式。2、一元二次不等式的一般形式：22ax2+bx+c0（a0）或ax2+bx+c0（a0）3、一元二次不等式的解集：=b-4ac20=00yyyy=ax2+bx+c0（a0）的图象x1Ox2xxxO x1(x2)Oax2+bx+c=0（a0）的根bb24acx1=2ax1=x2=-=-b2a没有实数根bb24acx2=2aax2+bx+c0（a0）的解
11、集xx1或xx2x-（x1x2）b2a全体实数ax2+bx+c0（a0）的解集x1xx2无解（x1x2）无解4、解一元二次不等式的一般步骤：（1）将原不等式化成一般形式ax+bx+c0（a0）（或ax+bx+c0（a0）；（2）计算=b-4ac；（3）如果0，求方程ax+bx+c=0（a0）的根；若0，方程ax+bx+c=0（a0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。例 1.解下列不等式：（1）4x-4x15；（2）-x-2x+30；（3）4x-4x+1022222222例 2.自变量 x 在什么范围取值时，函数y=-3x+12x-12 的值等于
12、 0 大于 0 小于 0例 3.若关于x的方程x-（m+1）x-m=0 有两个不相等的实数根，求m的取值范围。22练习1.解下列不等式：（1）4x-4x15；（2）-x-2x+30；（3）4x-4x+10（3）4x-20 x25；（4）-3x+5x-40；（5）x（1-x）x（2x-3）+10是什么实数时，关于x的方程mx-（1-m）x+m=0 没有实数根2222223.已知函数y=123x3x，求使函数值大于 0 的x的取值范围。24含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小
13、及二次系数的正负入手去解答.1.二次项系数含参数 a（按 a 的符号分类）例 1.解关于x的不等式：ax(a2)x1 0.例 2.解关于x的不等式：ax 5ax 6a 0(a 0)2.按判别式的符号分类例 3.解关于x的不等式：x ax4 0.例 4.解关于x的不等式：(m 1)x 4x1 0.(m为任意实数)222223.按方程ax bxc 0的根x1,x2的大小分类。例 5.解关于x的不等式：x(a)x1 0(a 0)例 6.解关于x的不等式：x 5ax 6a 0(a 0)22221a练习练习1.解关于x的不等式：x (a 2)x a 0.2.解关于x的不等式：ax (a 1)x 1 0.
14、3.解关于x的不等式：ax ax 1 0.222224.解关于x的不等式：(a 1)x 3ax 3 0第四讲第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法一元高次不等式及分式不等式的解法1.一元高次不等式的解法1.可解的一元高次不等式的标准形式(x x1)(x x2)(x xn)0(0)（1）左边是关于x的一次因式的积；（2）右边是 0；（3）各因式最高次项系数为正。2.一元高次不等式的解法穿根法：（1）将高次不等式变形为标准形式；（2）求根x1,x2,xn，画数轴，标出根；（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。(4)写出所求的解集。例 1.(x 1)(x
15、2)(x 3)0例 2.x(x 1)(x 2)(x 1)02例 3.(x1)(x2)(3 x)0例 4.(x2)(x3)(x 2x1)0例 5.(x1)(x2)(x 4x5)022例 6.2x3 x22x1 0练习练习1.(x1)(x3)(x 6x8)022.(3x222x8)(1 x2x2)03.(x 2x3)(x26x7)04x5)(x2 x1)0234.(x25.(x2)(x3)(x6)(x8)06.x42x3 x2 07.x33x2 x3 02.分式不等式的解法例 1.（1）x3 0与x3x2 0解集是否相同，为什么x2x3 0与x3x2 0解集是否相同，为什么x2（2）通过例 1，得
16、出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）fx 0 fxgx 0gxfxfxgx 0 0（2）gxgx 0解题方法：穿根法。解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。x23x2 0例 2.解不等式：2x 7x12x29x11 7例 3.解不等式：2x 2x1x25x6 0(0)例 4.解不等式：2x 3x2例 5.解不等式：2x12x1x33x2例 6.解不等式：23x 32x x1练习练习解不等式：1.x3 02 x2.2x11x3x23x2 03.2x 2x3x22x1 04.x2x1x2
17、 x65.02x336.xx3 029 x11x7.0 x3.无理不等式的解法1、无理不等式的类型：f(x)0f(x)g(x)型g(x)0f(x)g(x)g(x)0g(x)0f(x)g(x)型 f(x)0或f(x)0f(x)g(x)2f(x)0f(x)g(x)型 g(x)0f(x)g(x)2例 1.解不等式3x 4 x 3 0例 2.解不等式 x23x2 43x例 3.解不等式2x26x 4 x 2第五讲第五讲1.集合的含义2.集合元素的三个特性3.元素与集合的关系4.常用的数集及其记法5.集合的表示方法6.集合的分类、空集例 1.判断下列对象能否构成一个集合（1）身材高大的人（2）所有的一元
18、二次方程（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点集合的含义与表示集合的含义与表示（4）细长的矩形的全体（5）2的近似值的全体（6）所有的数学难题例 2.已知集合Aa,ab,a2b,B a,ac,ac2,若A B,求实数c的值。例 3.已知集合 S 中三个元素a,b,c是ABC的三边长，那么ABC一定不是三角形。例 4.用适当的方法表示下列集合。（1）x29 0的解集；（2）不等式2x13的解集：（3）方程组x y 2x y 4的解集；（4）正偶数集；例 5.已知集合A x x22xa 0,aR,xR若A中至多有一个元素，求a的取值范围。例 6.下列关系中，正确的有(1)12R;(2)2Q;(3)3
19、N;(4)3 Q.练习练习1.已知集合A1,2,3,4,5,B(x,y)x A,y A,x y A,则 B 中所含元素的个数为（2.已知集合A0,1,2,则集合B x-y x A,yA中元素的个数是（）3.已知A1,2,3,B 2,4,定义A、B间的运算AB x x A且xB,则集合AB等于（）A.1,2,3 B.2,4 C.1,3 D.24.若集合A xR ax2ax1 0中只有一个元素，则 a=()或 45.设集合A1,2,3,B 1,3,9,xA且xB,则x（）6.定义集合运算：AB z z xy(x y,x A,yB).设A0,1,B 2,3,则集合AB的所有元素之和为（）7.下列各组
20、对象中不能构成集合的是（）A.某中学高一（2）班的全体男生 B.某中学全校学生家长的全体B.李明的所有家人 D.王明的所有好朋友8.已知 a,b 是非零实数，代数式aabbabab的值组成的集合是 M，则下列判断正确的是（A.0MB.1MC.3MD.1M9.已知A 1,2,0,1,B x x y,y A，则 B=10.集合Aa2,2a25a,12,且3 A,则a=11.设集合Ax x 2k 1,kZ,a 5，则有（）Aa.AB.aAC.aAD.aA12.下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A.x x 1B.x x21C.1D.y(y1)2 013.已知集合A x ax 3x2 0，若 A 中
21、至多有一个元素，则 a 的取值范围是214.集合1,ab,a0,b,b,则ab=a15.已知集合A x x ax1 0,aR.（1）若 A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若 A 中有两个元素，求 a 的取值范围.第六讲第六讲集合间的基本关系集合间的基本关系1.子集的概念2.集合相等的定义3.真子集的定义4.子集的性质5.确定集合子集与真子集个数例 1.判断集合 A 是否为集合 B 的子集。（1）A1,3,5,B 1,2,3,4,5,6（2）A1,3,5,B 1,3,6,92（3）A 0,B x x22 0（4）Aa,b,c,d,B d,b,c,a例 2.写出集合a,b,a,b,c的所有子集
22、，并指出其中哪些是它的真子集。例 3.判断下列写法是否正确。（1）A (2)A (3)A A (4)A A例 4.已知A x x22x3 0,B x ax1 0,若B A,求 a 的值。例 5.已知集合M x x23x2 0,N 0,1,2,则 M 与 N 的关系正确的是（AM.NB.M NC.M ND.N M例 6.已知集合Ax 2 x 5,B x m1 x 2m1。（1）若B A,求实数 m 的取值范围；（2）若xZ,求 A 的非空真子集的个数。练习练习1.已知集合Ax23x2 0,xR,B x 0 x 5,xN,则满足条件A C B的集合 C 的个数（）2.集合1,0,1共有个子集。3.
23、已知集合A 1,3,m,B 1,m,B A,则 m=。4.已知集合A1,0,1,则下列关系式中正确的是（）A.A AB.0 AC.0AD.A5.设A x 1 x 3,B x x a,若AB,则 a 的取值范围是（）A.a a 3B.a a 1C.a a 3B.a a 16.设x,yR,A(x,y)y x,B(x,y)y1,则 A,B 的关系是x7.已知集合A2,3,4m4,集合B=3，m2.若B A,则实数 m=8.集合A x x y 6,xN,yN的真子集的个数为（）9.已知集合A2,0,1,集合B x x a,且xZ,则满足A B的实数 a 可以取的一个值是（）10.已知集合A1,2,B
24、x ax2 0,若B A,则 a 的值不可能是（）211.若集合A x x x6 0,B x mx1 0,B A,求 m 的值。12.已知A x k 1 x 2k,B x 1 x 3,A B,求实数 k 的取值范围。213.已知集合A x 2 x 7,B x m1 x 2m1,若B A,求实数 m 的取值范围。第七讲第七讲集合的基本运算集合的基本运算1.并集的定义及性质2.交集的定义及性质3.全集、补集的定义及性质例1.设A4,5,6,8,B 3,5,7,8,求A例2.设集合A1,0,1,B a,aBB A成立的 a 的值为B R,求实数 a 的取值范围。2,则使A例3.已知A x x 4,B
25、 x x a,若A例4.设A x x 2,B x x 3,求AB.例5.已知集合M (x,y)x y 2,N (x,y)x y 4,那么集合MN为（）A.x 3,y 1B.(3,1)C.3,1D.(3,1)例6.（1）若S 2,3,4,A4,3,则CSA(2)若U 1,3,a22a1,A1,3,CUA5,则 a=例7.已知A0,2,4,CUA1,1,CUB 1,0,2,求B 例8.(1)已知集合M 2,3,a24a2,N 0,7,a24a2,2 a,且MN 3,7,求实数 a 的值。（2）设全集U 1,3,a22a3,A 2a1,2,CUA5,求实数 a 的值。例 9.已知集合A x x 4m
26、x2m6 0,xR,B x x 0,xR,若A范围。练习练习1.若集合A1,2,3,B 1,3,4,则A2B ,求实数 m 的取值B的子集个数为2.已知全集U R,A x x 0,B x x 1,则集合CU(A3.已知集合A 1,3,m,B 1,m,AB)B A,则m（）或3或 3或3或 34.已知集合P x x 1,M a.若P2M P,则 a 的取值范围是（）A.,1 B.1,C.1,1 D.,1 1,5.设U 0,1,2,3,A xU x mx 0,若CUA 1,2,则实数 m=26.已知M x x 2或x 3,N x xa 0,若NCRM (R 为实数集)，则 a 的取值范围是7.若A
27、 x x22x 0,B x11,则AB x8.已知集合M 0,1,2,3,N x x 3x 0,则M2N 9.集合A x 1 x 3,B x 2x4 x2，（1）求AB.（2）若集合C x 2xa 0 满足BC C,求实数 a 的取值范围。10.已知非空集合A x 2a1 x 3a5,B x 3 x 22.（1）当 a=10 时，求AB,AB;（2）求能使AAB成立的 a 的取值范围。11.已知全集U 1,3,x33x22x,A 1,2x1,若CUA0,求 x 的值。12.设全集U x x 0,A x 2 x 4,B x 3x7 82x,求（1）AB,AB,CU(AB),(CUA)B;（2）若
28、集合C x 2xa 0,满足BC C,求实数 a 的取值范围。13.已知集合A x 2a x 2a,B x x 1或x 4.（1）当 a=3 时，求AB;（2）若a 0,且AB ,求实数 a 的取值范围。第八讲第八讲函数的概念函数的概念1.函数的定义2.函数三要素3.函数定义域及函数值域的求法4.区间的概念例1.下列图像中不能作为函数y fx的图像的是（）ABC例2.判断下列对应f是否为从集合 A 到集合 B 的函数。（1）A R,B N,对于任意的xA,x x2;D（2）A N,B R,对任意的x A,x x;（3）A1,2,3,B R,f1 f(2)3,f3 4;例3.已知fx1(xR且x
29、 1),gx x22(xR),求1 x（1）f2,fa1,g2的值；（2）f g2的值。例4.求下列函数的定义域：（1）fx1x2（2）fx24x（3）fxx10（4）y 2x3 12 x1x例5.求下列函数的值域：（1）y 2x1,x1,2,3,4,5;（2）y x24x6,x1,5;（3）y x x;（4）y 2x1x1例6.下列各组函数中，fx与gx表示同一函数的是（A.fx x1与gxx22x1）x2B.fx x与gxxC.fx x与gx3x3x24与gx x2D.fxx2例7.（1）已知函数fx的定义域为1,3，求函数f2x1的定义域；（3）已知函数f2x1的定义域为1,3，求函数f
30、x的定义域。练习练习1.下列图像中不能作为函数y fx的图像的是（）A BC D2.求下列函数的定义域。（1）fxx1 4 x 20 x1（2）y（3）fxx xx3 1x23.判断下列各组函数是否是相等函数。（1）fx x x1,gtt t 1;22（2）fxx1x1,gxx21.4.已知函数fx的定义域为1,0，则函数f2x1的定义域为。5.已知函数fxx1,若fa3,则实数 a=。6.已知fx11 x,gx x22,则f2，f g2=。7.已知函数f2x1的定义域为2,12，则fx的定义域为。8.若函数y x23x4的定义域为0,m,值域为254，-4，则 m 的取值范围是（A.0,4
31、B.2534，-4 C.2,3 D.32,9.函数fx的定义域是4,1，则函数y fx2x21的定义域为。10.已知函数y f2x1的定义域为1,1，求函数y fx2的定义域。11.求下列函数的值域。（1）y x 1（2）y x22x3,x0,3（3）y 2x1x3（4）y 2xx112.已知函数fx1x6x4。（1）求fx的定义域。）（2）求f1,f12的值。13.已知函数fx x22ax1a在x0,1上有最大值 2，求 a 的值。第九讲第九讲1.函数的三种表示方法2.分段函数3.映射例1.已知函数fx,gx分别由下表给出x123fx131函数的表示方法函数的表示方法x132231gx则f
32、g1的值为；g f2的值为。例2.已知fx2x3,x,02x21,x0,，求f0,f f1的值。例3.(1)作出函数y x1的图像。（2）图中的图像所表示的函数的解析式为（）A.y 333x10 x 2 B.y x10 x22223 x10 x 2 D.y 1 x10 x 2212 B.y 例 4.（1）A 0,1,2,B 0,1,f：取倒数，可以构成映射吗（2）有一个映射f:A B,使集合 A 中的元素x,y，映射成 B 中的元素x y,x y，则在映射的作用下：2,1的象是；2,1的原象是。例 5.函数fxx22,x22x,x2，若fx08,则x0。2例 6.直线y 1与曲线y x x a
33、有四个交点，则 a 的取值范围是。练习1.x21,x1设函数fx2,x1,则f f3。x2.已知 a0,函数fx2xa,x1x2a,x1，若f1a f1a,则 a 的值为。3.设函数fxx1,x021,x0，若xfa a,则实数 a 的值是。4.设函数fxx22x2,x0，若x2,x0ffa 2,则a。5.已知函数fx3x2,x1x2ax,x1，若f f0 4a，则实数 a=。第十讲第十讲抽象函数解析式的求法抽象函数解析式的求法1.配凑法例1.2.换元法f（x-1）=x+1，求 f（x）的解析式.例2.f（x 1）=x+2x，求 f（x）.3.待定系数法例3.4.构造方程组已知 f(x)=ax
34、+bx+c,若 f(0)=0，且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).2例4.练习练习f(x)满足：f(x)2 f(x)3x2，求f(x).1 已知 f(3x+1)=4x+3,求 f(x)的解析式.2 已知 f(x+1)=x-3x+2,求 f(x)的解析式.3 已知f(x)x 21x21,求f(x)的解析式.x2x1x211)，求f(x)4.已知f(xxx25.已知f(x 1)x 2 x，求f(x)6.若一次函数f(x)满足：f f(x)4x1，求f(x)7.若一次函数f(x)满足：ff f(x)8x 7，求f(x)8.已知二次函数f(x)满足：f(x1)f(x1)2x 4x求f(x)9.f(x)满足：2 f(x)f()x1求f(x)21x10.设函数f(x)是定义(,0)(0,+)在上的函数,且满足关系式3f(x)2 f()4x,求1xf(x)的解析式.