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1、2018初高衔接-数学回顾初中-衔接高中-精准定位-配套练习目录初升高数学衔接班（上：初中部分）第1讲：数与式的运算 3 页第2讲：因式分解 1 1 页第3讲：一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题、简单的二元二次方程组 1 9页第4讲：不等式 3 6 页第5讲：分式方程和无理方程的解法 4 3 页初升高数学衔接班（下：高中部分）第6讲：第1 章集合的含义及其表示 4 9 页第7讲：第1 章子集 5 5 页第8讲：第1 章全集、补集 6 0 页第9T0讲：第1 章交集、并 集（1/2）6 5页第11T4讲：第2 章函数的概念和图像（1/2/3/4）7 5页第15-16讲：第2 章函数的
2、表示方法（1/2）9 7页第17T8讲：第2 章函数的单调性（1/2）1 0 9页第19-20讲：第2 章函数的奇偶性（1/2）1 2 1页第21讲：第3 章分数指数第 1 3 5 页第22-24讲：第3 章指数函数（1/2/3）1 4 3页第25-26讲：第3 章对数（1/2）1 5 9页第27-29讲：第3 章对数函数（1/2/3）1 7 3 页初升高数学衔接班（上）第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式.它们具有实数的属性，可以进行运算.在多项式的乘法运算中，我们学习
3、了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充.基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容.一、乘法公式【公式 1】(a +/?+c)2 =/+/+*+2ab+2bc+2ca证明：(a +c)2 =(Q+力)+c/=(Q+6)2+2(a+h)c+c2=a2+2ah+b1+2ac-2bc+c2a
4、2+h2+c2+2ah+2bc+2ca/.等式成立【例1】计算：(X2-V 2X+-)23解：原式=r+(J X)4-23=(/)2 +(-V I r)2 +(g)2 +2/(一 扬x+2%2 x 1 +2 x|x(-V 2 x)=2同逆 x +工3 3 9说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降寨或升早排列.【公式 2 (+Z?)(a2-ab+b2)=ay+/(立方和公式)证明：(a +b)(a-ab+b)=a -a2b+ab+a2b ab+/=a +b说明：请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：(4-0)(/+。力+/)解：原式=。+(-3 。2-。(一加+(份2 =。3+(_ 0
5、3=/一 匕3我们得到：【公式3 (a-份(/+/)=/_/(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式.【例3】计算：,1 1 1,1 1 ,(1)(4 +/n)(1 6 -4 m +m)(2)(m )(m H-mn+n)5 2 2 5 1 0 4(3)(a +2)(a 2)(a +4。+1 6)(4)(x +2 x y +y -)(x xy+y -)解：(1)原式=4、+7*=6 4 +(2)原式=(相)3 _5 2 1 2 5 8(3)原式=(/-4)(a4+4 2+42)=(2)3-43=6(4)原式=(X+y)2(x 2 -x y+y2)2=(
6、X +-y)(%2-Xy+J2)2=(/+川2 =/+2 x 3 y 3+y 6说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.(2)为了更好地使用乘法公式，记 住1、2、3、4、2 0的平方数和1、2、3、4、1 0的立方数，是非常有好处的.【例 4】已知2-3X=1 =0,求JT+二的值.X91解：-3 x=1 =0 x wO x+=3x原式,二(x+-1 )(x,2-1 +1 )=(x+-1)(x+-1 )92 -3 =3(3?2-3)=1 8X X X X说明：本题若先从方程/一3%=1 =0中解出X的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.本题是根
7、据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.【例 5】已知Q+Z?+C=O,求 0(！+1)+伙工+工)+。(4+工)的值.h c c a a b解：:a +b +c =0,/.Q+/?=c,b+c=a,c +a =bh -b+c,a +c a+b/.原式-+b-+c-be ac abQ(-a)+b(-b)+c(-c)Q-+/7*+c he ac ab abc/a3+/=(。+/?)(+/?)2 -3ab=-c(c2-3ab)=-c3+3abcQ I,:.a3+b3+c3=3 a b c，把
8、代入得原式=一 一-=-3abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用.引申：同学可以探求并证明：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-a b-b c-co)二、根式式子G(a N O)叫做二次根式，其性质如下：(1)(历 2=。320)(2)必=|a|(3)4ab=4a-4b(a 0,b 0)(4)g =苧(。0,/?2 0)【例 6】化简下列各式：(1)J(6-2)2 +J(百 1)2 (2)(17)2+J(2 x)2(X 1)解：(1)原式=|百 2|+|旧 1|=2 6+G 1 =1(2)原式=|x-l|+|x-2|=(x-1)-b (x-2)=2 x-3 (x 2
9、)(x-l)-(x-2)=l (l x/2x-xxV2X2说明：（1）二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解3因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式（如，广）或被开方2+V3数有分母（如后）.这时可将其化为塔 形式（如 也 可 化 为 关），转 化 为“分母中有根式”的情况.化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如广化为 一3 1 心）,其中2+6与2-0叫做互为有理化因式）.2+V3（2+V3）（2
10、-V 3）【例8】计算:(1)+yb+1)(1 fci+(ci+yfb)(2)解：(1)原式=(1+厂(a+2A/ab+。)=2a 2ylab+2,xh+1/a1（2）原式:-1-=-1-a(y/a-yb)/a(fa+b)a-b a+b(4a+b)+(fa-4b)_ 2a(a+-/b)a-b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.【例9】设x=2邙,丁 =三,求V+y3的值.2-V3 2+V3解：x=2/d=(2：百)=7+4百,丫=7-4 6 =x+y =14,xy=l2-V3 22-3原式=(x+y)(x2-x y +y2)=(x+y)(
11、x+y)2-3xy=14(142-3)=2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.三、分式A A当分式c的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用B B以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质.【例1 0 化 简 一7一x x解法一:X X X X _ x(x+l)_ x+l1-X (1-X)-X X x2+X-X X2 X-X H-X-X 1 (X+1)(X 1)X+l x+1X解法一：原式=X(1-X)X(XXXx(l-x)x+x2-1X
12、 _ x(x+)_ x+xx-X xx+T说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质4=牝”进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.B B xm【例i n化 简 士 兰 匕2+_ .一三二L%2-2 7 9 x-x2 6+2x解.原式=1+3 X +9_+6x 三!_ =6 x-(x-3)(W+3 x +9)x(9-x2)2(3+x)x-3 (x+3)(x-3)2(x-3)2(x+3)12 (x l)(x 3)(x 3)3 x2(x+3)(x-3)-2(x+3)(x-3)-2(x+3)说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当
13、分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式.练 习A 组1.二次根式J/=-a成立的条件是（）A.0 B.a 0 C.a 02.若x /2 -J(2-6)2+z=-3 V 5 +2x&+X y y x+y/xy +y孙一丁 x 4 x-y 4 yb(6+b-4 a b)(a+a-y b 4ab-b ab-a第一讲习题答案A组1.C 2.A3.(1)x2+9 y2+1 6 z2-6xy -S xz+2 4 y z3a2-5ah+3b2+4a-2h+(3)-3a1b-3ab2(4)-a3-6b344.-2 a G 2(6 +而一 也_ia-b 25.m
14、Vm 2yxyB组_ 1 o1.D 2.u cb 2/cic,3y/2+2/3 3.-5/364.-3,2 5.2A/3 6.3 7.3-758.X4-8X3+24X2-32X+169.X4-10X3+35X2-50X+2410.x4 y4 z4+2x2 y2+2x2 z2+2y2z2一3座，在 正 向 八3 y第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相
15、乘法和分组分解法等等.一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(+b)(a2-a b +b2)=+Z?3(立方和公式)(n-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：/+H =(a+b)(a2-a b +b2)a3-h3-(a-b)(a2+ab+b2)这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.例1 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8+?(2
16、)0.125-27/?分析：中，8=23,电)中 0125=0.53,27。3 =(3 6)3.解：(1)8+丁=2,+V =Q+X)(4 2x+/)(2)0.1 2 5-27b3=0.53-(3 b)3=(0.5-3O S+0.5x3b+(3b)2=(0.5-30)(0.25+1.5财)说明：(1)在 运 用 立 方 和(差)公 式 分 解 因 式 时，经 常 要 逆 用 寨 的 运 算 法 则，如8。为3 =(2,力)3,这里逆用了法则3与=归，；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号.【例2】分解因式：(1)3a%-818(2)/ab(分析：(1)中应先提取公
17、因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现。6庐，可看着是(/)2 -(尸)2或(/)3 _ ()3 .解：3a3b-8仍4=3b(a3-27b3)=3b(a-3h)(a2+3ab+9b2).(2)a1-ab6=a(a6-b6)=+6)(/-$)=a(a+bcr-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=a(a+ba-b)(a2+ab+b1)(a2-ab+b2)二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如+而+既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法
18、.分组分解法的关键在于如何分组.1.分组后能提取公因式【例3】把+分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降早排列，然后从两组分别提出公因式2a与一 力，这时另一个因式正好都是x-5y,这样可以继续提取公因式.解：2ax-10ay+5by-b x-2a(x-5y)-b(x-5y)-(x-5y)(2a-b)说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.【例4】把4伙12)(4 b2)c d分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分
19、解因式.解：ah(c-d)一(6(-h)cd=ahc-abd crcd+hcd=(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2)=ac(Jbc-ad)+bd(be-ad)=(be-ad)(ac+bd)说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.2.分组后能直接运用公式【例5】把/一 y2+Gc+ay分解因式.分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x+y；把第三、四项作为另一组，在提出公因式。后，另一个因式也是x+y.解：
20、X2-y2+ax+ay=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)【例6】把2 +4孙+2/8z2分解因式.分析：先将系数2提出后，得到丁+2孙+y 2-4 z 2,其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.解：+4.+2)2-8 z?=2(/+2孙+V-4Z2)=2 K x +y)2 -(2 z =2(x+y +2z)(x+y-2z)说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.三、十字相乘法1
21、.X?+(+q)x+p g型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2+(p+q)x+pq =x2+px+q x+pq =x(x+p)+q(x+p)=(x +p)(x +q)因此，x2+(/?+q)x+pq -(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.【例7】把下列各式因式分解：(1)f-7 x +6 (2)+1 3尤 +3 6解：6 =(-l)x(-6),(-l)+(-6)=-7/.x2-7 x +6 =x +(-l)J x +(-6)=(x -l)(x
22、-6).(2)3 6 =4 x 9,4 +9 =1 3x?+1 3+3 6 =(x +4)(x +9)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.【例8】把下列各式因式分解：%2+5x 2 4%2 2.x 1 5解：(1)2 4 =(3)x 8,(3)+8 =5/.x2+5 x-2 4 =x +(-3)(x +8)=(x-3)(x +8)(2)*.*1 5 (5)x 3,(5)+3 =2x 2 x 1 5 x +(5)(x +3)(x-5)(x +3)说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符
23、号相同.【例9】把下列各式因式分解：(1)x+xy 6y(2)(x?+x)8(x?+x)+12分析：(1)把/+不，-6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6 V，一次项系数是把 6尸 分解成3 y与一 2y的积，而3y+(2y)=y,正好是一次项系数.(2)由换元思想，只要把V+x整体看作一个字母。，可不必写出，只当作分解二 次 三 项 式8a+12.解：x2+xy-6y2=x2+-62=(x+3y)(x-2y)(2)(x)+x)8(x?+x)+12=(x?+x 6)(x?+x 2)=(x+3)(x 2)(x+2)(x-1)2.一般二次三项式以2+板+c型的因式分解大家知道，(4%+。1)
24、(。2尤 +，2)=+(aC2 +2Cl)-r +ClC2 反过来,就得到：aa2x2+(ayc2+a2ct)x+c,c2-(atx+c,)(a2x+c2)我们发现，二次项系数a分解成q a,常数项c分解成q Q，把4,4,J，Q写成 X。，a2 c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到。2+。2，如果它正好等于公2+法+。的一次项系数人，那么a r2+bx+c就可以分解成(。/+4)(。2+。2)，其中q,C1位于上一行，a2,c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能
25、确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.【例10把下列各式因式分解：(1)2x2-5 x-2 (2)5x2+6 x y-8 j23-2解：(1)1 2-5X 2=(3X-2)(4X+1)X 1I 2y(2)5x2+6xy-8/=(x+2j)(5x-4y)5 X 7),说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑“，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑“，先“凑绝对值，然后调整，添加正、负号.四、其它因式分解的方法1 .配方法【例1 1 分解因式f+6 x 1 6解：x2+6 x-1 6 =
26、x2+2 x%x 3 +32-32-1 6 =(x +3)2-52=(x +3+5)(%+3-5)=(x +8)(%-2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.2 .拆、添项法【例1 2 分解因式d-3x2+4分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行.细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决.解：x，3x+4 =(X)+1)(3%2 3)=(x +l)(x2-x +1)-3(x +l)(x -
27、1)=(x +l)f(x2-x +1)-3(x -1)=(x +l)(x2-4 x +4)=(x +l)(x -2)2说明：本解法把原常数4拆 成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将-3炉 拆成/-4丁，将多项式分成两组(J?+*2)和-4X2+4 .一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再
28、分解为止.练 习A 组1.把下列各式分解因式:(1)a3+2783(3)-2 7X3+82./、1 3 1 3-”R把下列各式分解因式:8 x3/-1 2 5(6)?2 1 6 -2 7+x4x+3-xy3(3)a2(m+n)3-a2b3(4)9(彳 2 一 2 x)3+y 23.把下列各式分解因式:(1)%2-3x +2 (2)x2+3 7 尤+36(3)f+1 a-2 64.(4)X2-6X-27(5)m2-Amn-5n2(6)(a b)*+1 l(a Z?)+2 8把下列各式分解因式:(1)ax,-l()a x4+1 6 a r3(2)an+2+an+b-()a,b1(x2-2x)2-9
29、(4)X4-7X2-1 8(5)6 尤 2 7 x 3(6)8 x2+2 6 x y -1 5,2(8)(6 x2-7 x)2-2 55.把下列各式分解因式:(1)3ax-3ay +xy-y28 x3+4 x2-2 x-1 (3)5 x2-1 5 x +2 x y-6 j(4)4 a 2 -2 0 仍+25 3 6(5)4xy +-4x2-y2(6)04b+a3b2-crb1-ab4(7)x6-y6-2 x3+1(8)x2(x +1)-y(xy +x)B 组1 .把下列各式分解因式：(1)ab(c2-d2)+cd(a2-h2)(2)x2-4/n x +S mn-4/?2(3)/+6 4 (4)
30、X3-1 U2+31X-2 1 (5)x3-4xy2-2 x2y +S y322 .已知a +Z?=,a =2 ,求 代 数 式+。加 的值.33 .证明：当为大于2的整数时，/5/+4 能被1 2 0 整除.4 .已知a +/?+c =0,求证：a3+a2c+b2c-ahc+h3=0.第二讲因式分解答案A 组1.(。+3)(a2 一 3。+9),(2 -根)(4 +2m+nV),(2 一 3 x)(4 +6 x +9x2),一(2 p +q)(4 p 2 -2%+夕2),(2移 一3(42 2 +1 x y +J-),-L (x y +2c)(x2y2-2xy c+4 c2)6 4 5 5
31、2 5 2 1 62.x(x+y)(y2-AY+x2),xn(x-y)(x2+xy +y2),a2(m+n b)(m+n)2+b(j n+)+/,y2(x-1)2(x4-4x3+3 x2+2 x +l)3.(x-2)(尤-l),(x +3 6)(%+1),(+1 3)(x-2),(x-9)(x +3)(x 9)(x +3),(m -5)。%+),(一)+4)(。-b+7)4.a x3(x-2)(x 一 8),an a+3b)(a-2b),(x-3)(x +1)(2-2 x +3),(x -3)(x +3)(x2+2)(2x-3)(3%+1),(2%-y)(4 x +1 5 y),(7Q+7 b
32、 +2)(a+Z?-1),(2%+1)(3%-5)(6/-7 x +5)5.(x-y)(3 a +y),(2x+1)2(2x-1),(x-3)(5九 +2y),(2a-5b-6)(2。-5。+6)(l-2 x+y)(l +2 x y),ab(a+/?)2(t z-b(x3-1 -y3)(x3-1 +y，),x(x-y)(x+y +1).B组1 .(be +ad)(ac-bd),(x 4m+2 )(x 2 n),(x2-4 x +8)(x2+4 x +8),(x-l)(x _ 3)(x _ 7),(x -2 y产(x +2y).2 82 .33 ._ 5n3+4n=(-2)(-l)n(n +1)
33、(+2)4 ./+c i c+bc ci hc+b =(a ci h+h)(Q+Z?+C)第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程62+云+。=0(。/0),用配方法将其变形为:/b、?b2-4ac(x+y=-2a 4 a 当 店 一4 a c o时,右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根:-b y/b2-4acx=-2 a当。2 4QC
34、=0 时,右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：Xl 2=2a当 从-4 a c 0,二 原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为：4 y 2 1 2 y +9=0.=(-1 2)2-4 x 4 x 9=0,原方程有两个相等的实数根.(3)原方程可化为：5 x2-6 x +1 5 =0v A=(-6)2-4 x 5 x 1 5 =-2 6 4 0 =2；34一1 2 女=0=左=，3(3)4-1 2 0=Z:-；34-1 2 0-,k =+4XX2+1 =5所以，当左=4时，方程两实根的积为5.(2)由|%|=%2得知：3当 NO时，=/，所以方程有两相等实数根，故 =0=左=5；当$
35、Z r +l =0=A:=-l,由于3 0n攵 一,故左=一1不合题意，舍去.23综上可得，氏=5时，方程的两实根石,满足1%|=.说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足之().例6已知西,工2是一元二次方程4日2 一4丘+左+1 =0的两个实数根.3(1)是否存在实数左，使(2王一尤2)(王一2/)=一万成立？若存在，求出左的值;若不存在，请您说明理由.(2)求 使%+2-2的值为整数的实数左的整数值.3解：（1）假设存在实数左，使（2罚一XX2）=-5成立.V 一元二次方程4日2 -4日+%+1 =0的两个实数根 4女7 0
36、n%0又占,2是一元二次方程4日2 -4日+左+1 =0的两个实数根X +/=1(2%-x2)(xl-2X2)=2(xt2+X22)-5X1X2=2(%+x2)2-9%k +9 3 7 9 八-=k =_,但女 v O.4k 2 5、3 不存在实数左，使（2%一工2）（西一2）二 5成立.（2）土 +1 2 =x：+.j _ 2 =（+&）2_ 4 =_ 4 =x2 百 xx2 xxx2 攵+1 Z +l,.要使其值是整数，只需A+1能被4整除，故攵+1 =1,2,4,注意到左v O,要 使 五+三 一2的值为整数的实数左的整数值为-2,3,-5.x2%说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假
37、设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在.4（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法.k +练 习A 组1.一元二次方程（1 一6Y 2 x 1 =0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是（）A.k 2 B.攵 2,且H 1 C.k M C.M D.大小关系不能确定b 1 z 15 .若实数。工人，且见匕满足/-8。+5 =0,-8人+5 =0,则代数式+的值a-b-为()A.-2 0 B.2 C.2或-2 0 D.2或2()6.如果方程3。2+(g 4)*+(4 与=0的两根相等，则a,。,c之间的关系是7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2/8x +7=()
38、的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 .8.若方程2/一伏+1口+左+3 =0的两根之差为1,则左的值是 _ _ _.9.设 是 方 程/+p x +q =0的两实根，%+1,苫2+1是关于工的方程%2+4%+0 =0的两实根，则p=,q=.1 0 .已知实数a,0,c满足a=6-b,0,关于x的方程/一(加一 2)x +?=0有两个相等的的正实数根，求一的4n值.1 3 .已知关于X的一元二次方程f+(4 w+l)x +2 m-1 =0 .(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为M,彳2,且满足-!-+-=-！，求7的值.x,X.21 4.已知关于X 的方
39、程/一(左+l)x +2 +1 =0的两根是一个矩形两边的长.4(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是不 时，求左的值.B 组1 .已知关于x的方程(左一1)/+(2%一3 +后+1 =0有两个不相等的实数根玉,.(1)求左的取值范围；(2)是否存在实数左，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出左的值；如果不存在，请您说明理由.2 .已知关于x的方程f+3x机=()的两个实数根的平方和等于1 1.求证：关于x的方程(k -3)x2+km x-m2+6 加一4 =0 有实数根.3 .若为,工 2 是关于x的方程/一(2%+l)x +女 2+1 =0的两个实数根，且不,都
40、大于L(1)求实数人的取值范围；(2)若 五 =2，求左的值.x2 2一元二次方程根与系数的关系习题答案A 组1.B 2.A 3.A 4.A 5.A6.a+c=2。,且。wc7.3 8.9 或一3 9.p=-1,=310.a 3,b=3,c=0 1 1.正确 12.47113.(1)A=16m+5 0(2)m=-314.O-(2)攵=2B组131.(1)攵(一 且Zw l(2)不存在122.m=1(1)当女=3时，方程为3x+l=O,有实根；(2)当女w 3时，()也有实根.33.(1)kN且攵 W 1；(2)k.4二次函数的最值问题二次函数y=o%2+历;+c(a r O)是初中函数的主要内
41、容，也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当。0时，h 4-cic-b2 b函 数 在 处取得最小值-，无最大值；当a v O时，函数在元二处取得2a 4a 2a4-cic b最大值一，无最小值.4。本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例1】当一2 x 无最大值.所以，当x NO时，函数的取值范围是y -l.1 ,5【例4】当，+1时，求函数y =2 x 的最小值(其中t为常数).2 2分析：由于x所给的范围随着/的变化而变化，所以需要比较对称轴与
42、其范围的相对位1 ,5解：函数 =一/一%一二的对称轴为x=i,画出其草图.2 21 .5(1)当对称轴在所给范围左侧.即，1时：当*=，时，jmi n=-t2-t-；2 2(2)当 对 称 轴 在 所 给 范 围 之 间.即+1时：当 x=l 时，)ni i n=xl2-l-1 =-3；(3)当对称轴在所给范围右侧.即r+l l =r 0时:1 0 5 1 o当 x=/+时，ymi n=-(r+l)-(r+l)-=-z-3.1 ,-Z2-3,Z02综上所述：y =J-3,O r 11 2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：例5 某商场以每件3 0元的价格购进一种商品，试销
43、中发现这种商品每天的销售量加(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数机=1 6 2-3 x,3 0 W xW 5 4.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每件商品的销售利润为。-3 0)元，那么机 件的销售利润为y =m(x-3 0),又加=1 6 2 3 x.y =(x-3 0)(1 6 2 -3 x)=-3 x2+2 5 2%-4 8 6 0,3 0 x ma x=-3 x 4 22+2 5 2 x 4 2 -4 8 6 0 =4 3 2当每件商品的
44、售价定为4 2元时每天有最大销售利润，最大销售利润为4 3 2元.A 组1 .抛物线y =/(m-4)x+2加-3,当机=时，图象的顶点在y轴上；当，7?=,时，图象的顶点在x轴上；当相=时，图象过原点.2.用一长度为/米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 .3 .求下列二次函数的最值：(1)y =2x2-4 x+5 ；(2)y =(1 -x)(x 4-2).4 .求二次函数y =2 d 3 x+5在一2%W 2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.5 .对于函数y =2/+4 x-3 ,当x 0时，求y的取值范围.6 .求函数y =3-,5 x 3、一2的最大值和最小值.7
45、 .已知关于x的函数y =f+(2/+l)x+产-1,当。取何值时，y的最小值为0?B 组1 .已知关于x的函数y =x?+2 a x+2在一5 x M 5上.(1)当a =l时，求函数的最大值和最小值；(2)当。为实数时，求函数的最大值.2 .函数y =x?+2 x+3在x 0,当一 I K xW l时，函数y =-a x+0+1的最小值是一4,最大值是0,求 7,的值.4 .已知函数y =X?+2 a x+1在一1 V 2上的最大值为4,求a的值.5 .求关于x的二次函数丁 =/-2比+1在一1X-56.当=时，mi n=3 g；当=1或 1 时,X1 1 a x=3.6 6 37.当,=
46、一(时，稣而=0 B组1-当 X =1 时，ymi n=1;当 x=-5 时，yi na x=3 7 .(2)当 a NO时，X na x=2 7 +1 0。；当 a0时，=2 7-1 0 z.2.2 K /7 2 K 1.3.a=2,b=2.4.a=-或 a =-1.45.当，0 时，ym a x=2-2r,此时x =l；当，0 时，W a x =2 +2(,此时x =-L简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法.因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组
47、的解法.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组.一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解.2 x-y-0 例 1 解方程组，f _ y 2 +3 =0(1)分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(D,得 y =2 x,代入方程(2)消去y.解：由(1)得：y =2 x (3)将 代 入 得：X2-(2X)2
48、+3=0,解得：%=1 或4=1把 x =l 代入(3)得：y2=2；把 x =1 代入(3)得：y2=-2.x,=1 x,=-1 原方程组的解是：1 或 7 1 =2 旧=-2说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；解消元后得到的一元二次方程；把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未知数的值;写出答案.(2)消x,还是消y,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程无一2 y +l=0,可
49、以消去x,变形 得x =2 y -l,再代入消元.(3)消元后，求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记.【例2】解方程组x+y =1 1孙=2 8分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x、y看成是方程z 2 U z +2 8 =0的两根，则更容易求解.解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程z 2-l l z +2 8 =0的两根，解方程得：2=4或2=7.原方程组的解是：|芯=4 或，*=7.,X=7 1 X=4x+y =。说明：(1)对于这种对称性的方程组 7
50、,利用一元二次方程的根与系数的关xy-b系构造方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z.x -4 x =7(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解 (x +y)(x y)-5(x +y)=0 =(x +y)(x-y 5)=0 x+y =O或x y 5 =0 x-y-5 =0 x+y =0原方程组可化为两个方程组：9 7 9 或1 ,9x+孙+y =4 3 x+x y +y =4 3用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：X j =1 x2=6 x3=V 4 3 x4=-V 4 3=-6 1%=y3=-V 4 3 y4=43说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解