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1、2 26 6.1 1.1 1二二次次函函数数【学习目标】【学习目标】1.了解二次函数的有关概念2.会确定二次函数关系式中各项的系数。3.确定实际问题中二次函数的关系式。一、知识链接：一、知识链接：1.若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的，x 叫做。2.形如y _（k 0)的函数是一次函数二、自主学习：二、自主学习：1用 16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y()与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为米，如果将面积记为y平方米，那么y与x之间的函数关系
2、式为y=，整理为y=.2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数m 与球队数 n 之间的关系式_3.用一根长为 40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是。4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。5.归纳：一般地，形如，（a,b,c是常数，且a）的函数为二次函数次函数。其中x是自变量，a是_，b是_，c是_三、合作交流：三、合作交流：（1）二次项系数a为什么不等于 0？答：。（2）一次项系数b和常数项c可以为 0 吗？答：.四、跟踪练习四、跟踪练习221观察：y 6x；y 3x 5；y200 x2400 x200；y x 2x；y
3、x 2313；xy x1 x这六个式子中二次函数有。（只填序号）222.y (m1)xm2m3x1是二次函数，则 m 的值为_y ax2的图象的图象【学习目标】【学习目标】1知道二次函数的图象是一条抛物线；2会画二次函数 yax2的图象；3掌握二次函数 yax2的性质，并会灵活应用（重点）一、知识链接：一、知识链接：1.画一个函数图象的一般过程是；。2.一次函数图象的形状是；.二、自主学习二、自主学习（一）画二次函数 yx2的图象列表：xyx23210123在图（3）中描点，并连线y y8y yy y101）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？1.1.思考：思考：图（10
4、799答：答：6882.2.归纳：归纳：7576642y x的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，由图象可知二次函数5534423即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；3221x x21 x是轴对称图形，对称轴是x x抛物线y；1x xO O1 2 3 443211O O1 2 3 443211O O432111 2 3 42y x的图象开口_；222（3）（1）（2）2与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y x的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0 时，y 有最值等于 0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势
5、；即x0 时，y随x的增大而。（二）例（二）例 1 1 在图（4）中，画出函数y 解：列表：x43210123412x，y x2，y 2x2的图象2x-4-3-2-101234归归 纳纳：抛 物 线x2-1.51-0.500.511.52y 12x2，y x2，y 2x2的图象的形状都是；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数a_0；开口都；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”）12x，y x2，y 2x2的的图象的形状都是；顶点都是_；2对称轴都是_；二次项系数a_0；开口都；顶点都是抛物线的最_点（填归纳：归纳：抛物线y “高”或“低”）例 2请在图（4）中画出函数y 12x，2y 2x
6、2的图象列表：10987654321y yy x2，x xO O1 2 3 4 55432112345678910（4）xx321-0.50010.5211.532三、合作交流：三、合作交流：归纳：归纳：抛 物 线y ax22-1.51的性质图象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值当 x_时，y 有最_值，是_当 x_时，y 有最_a0a0值，是_2.当a0 时，在对称轴的左侧，即x0 时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x0 0 时y随x的增大而。3在前面图（4）中，关于x轴对称的抛物线有对，它们分别是哪些？答：。由此可知和抛物线y ax关于x轴对称的抛物线是。4 当2a0 时，a
7、越大，a越大，抛物线的开口越_；当a0 时，抛物线的开口越_；因此，a越大，抛物线的开口越_。四、课堂训练1函数y 32x的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当 x_72时，有最_值是_2.函数y 6x的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当 x_时，有最_值是_3.二次函数y m 3x的图象开口向下，则 m_24.二次函数 ymxm22有最高点，则 m_5.二次函数 y(k1)x2的图象如图所示，则 k 的取值范围为_6若二次函数y ax的图象过点（1，2），则a的值是_7 如 图，抛 物 线 y 5xy 2xy 5xy 7x开 口 从 小 到 大 排 列 是_；（只 填 序 号）其 中
8、关 于x轴 对 称 的 两 条 抛 物 线 是和。22222128点 A（，b）是抛物线y x上的一点，则 b=；过点 A2线交抛物线另一点 B 的 坐标是。9如图，A、B 分别为y ax上两点，且线段ABy 轴于点（0,6），该抛物线的表达式为。10.当 m=时，抛物线y (m1)xm22作x轴的平行2若 AB=6，则m开口向下11.二次函数y ax与直线y 2x 3交于点 P（1，b）（1）求 a、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随 x 的增大而减小26.1.3二次函数二次函数y ax h2 k的图象的图象（一）x一、一、知识链接：知识链接：直线y 2
9、x 1可以看做是由直线y 2x得到的。3210123练：若一个一次函数的图象是由y 2x平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。解：由此你能推测二次函数y x与y x 2的图象之间又有何关系吗？猜想：。二、自主学习二、自主学习（一）（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数22y x2，y x21，y x21的图象2可以发现，把抛物线y x向_平移_个单位，就 得 到 抛 物 线21.填表：开口方向顶点对称轴有最高（低）点增减性y yy x 1；把抛y=x22物线y x向_平移_个单位，就得到抛物线y x 1.3抛物线y x，y x 1，y x 1的形状_开口大小相同。O O1 1x
10、x22222三、知识梳理：（一）三、知识梳理：（一）抛物线y ax k特点：21.当a 0时，开口向；当a 0时，开口；2.顶点坐标是；3.对称轴是。（二）（二）抛物线y ax k与y ax形状相同，位置不同，y ax k是由y ax2222平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上下。（三）（三）a的正负决定开口的；a决定开口的，即a不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。三、跟踪练习：三、跟踪练习：1.抛物线y 2x向上平移 3 个单位，就得到抛物线_；抛物线y 2x向下平移 4 个单位，就得到抛物线_2 抛物线y 3x 2向
11、上平移 3 个单位后的解析式为，它们的形状_，当x=222时，y有最值是。3由抛物线y 5x 3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向2平移个单位得到的。4.写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线y x的方向相反，形状相同的抛物线解析式_5.抛物线y 4x 1关于 x 轴对称的抛物线解析式为_226.二次函数y ax ka 0的经过点 A（1，-1）、B（2，5）.2求该函数的表达式；若点 C(-2，m),D（n，7）也在函数的上，求m、n的值。26.1.326.1.3二次函数二次函数y ax h2 k的图象（二）的图象（二）二、自主学习二、自主学习画出二次函数y
12、(x 1)，y (x 1)的图象；先列表：10109 98 87 76 65 54 43 32 21 1y yy=x2224321012324归纳：（归纳：（1 1）y (x 1)的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。图象有最点，即x=时，y有最值是；在对称 轴的左侧，即x时，y随x的增 大而；在对称轴的右侧，即x时y随x的x x 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1O O1 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 2 2增大而。y (x 1)可以看作由y x向平移个单位22形成的。（2 2）y (x 1)的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是，图
13、象有最点，即x=时，y有最值是；在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时y随x的增大而。2y (x 1)2可以看作由y x2向平移个单位形成的。三、知识梳理三、知识梳理（一）（一）抛物线y a(x h)特点：1.当a 0时，开口向；当a 0时，开口；2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。2（二）（二）抛物线y a(x h)与y ax形状相同，位置不同，y a(x h)是由y ax平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第 8 页可知二次函数图象的平移规律：左右，上下。（三）（三）a的正负决定开口的；a决定开口的，即a不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形
14、状，所以平移前后的两条抛物线a值。四、课堂训练四、课堂训练1抛物线y 2x3的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当x时，22222y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。2.抛物线y 2(x1)的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当x时，2y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。3.3.抛物线y 2x 1的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；4.抛物线y 5x向右平移 4 个单位后，得到的抛物线的表达式为_5.抛物线y 4x向左平移 3 个单位后，得到的抛物线的表达式为_6将抛物线y 22212x2向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为_327抛物线y 4x2与 y
15、 轴的交点坐标是_，与 x 轴的交点坐标为_8.写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y 2x都相同的二次函数解析式_2y ax h k的图象（三）的图象（三）2【学习目标】【学习目标】1会画二次函数的顶点式y ax h k的图象；22掌握二次函数y ax h k的性质；2【学习过程】【学习过程】一、知识链接：一、知识链接：1.将二次函数y -5x的图象向上平移 2 个单位，所得析式为。2.将抛物线y x的图象向左平移 3 个单位后的抛物式为。二、自主学习二、自主学习2210987654321y yy=x2图象的解线的解析x xO O1 2 3 4 54321123在右图中做出开口方
16、向顶点对称轴y x12的 图象：观 察：1.抛 物 线2y x12开 口2向；顶点坐标是；对称轴是直线。2.抛物线y x12和y x的形状，位置。（填“相同”或“不同”）223.抛物线y x12是由y x如何平移得到的？答：22。三、三、合作交流合作交流平移前后的两条抛物线a值变化吗？为什么？答：。四、四、知识梳理知识梳理结合上图和课本第 9 页例 3 归纳：（一）（一）抛物线y a(xh)+k的特点：1.当a 0时，开口向；当a 0时，开口；2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。（二）（二）抛物线y a(xh)+k与y ax形状，位置不同，y a(xh)+k是由y ax平移得到的。二次函数图象的
17、平移规律：左右，上下。（三）（三）平移前后的两条抛物线a值。五、跟踪训练五、跟踪训练1.二次函数y 2222211(x 1)2 2的图象可由y x2的图象（）22A.向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到B.向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到C.向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到D.向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到12x65开口，顶点坐标是，对称轴是，当x3时，y有最值为。3.填表：2.抛物线y 4.函数y 2x31的图象可由函数y 2x的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向22平移个单位得到。5.若把函数y 5x23的图象分别向下、向左移动
18、 2 个单位，则得到的函数解析式2为。6.顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线y 12x相同的解析式为（）212x23212Cy x232Ay By 12x23212Dy x2327.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线坐标为 0，求此抛物线的解析式.y 2x2相同，对称轴和抛物线y x 22相同，且顶点纵2y ax h k的图象（四）的图象（四）一、知识链接：一、知识链接：1.1.抛物线y 2(x+1)3开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x时，y有最值为。当x时，y随x的增大而增大.2.抛物线y 2(x+1)3是由y 2x如何平移得到的？答：。二、自主学习二、自主学习1.抛物线的顶点坐标
19、为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。二、跟踪练习：二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为 12 米.AO=3 米，现以O点为原点，OM为x轴建立直角坐标系.求出这条抛物线的函数解析式；三、能力拓展三、能力拓展1.知识准备如图抛物线y x14与x轴交于 A,B 两点，交y轴于2222y yA AO O所在直线P PB Bx xMM点 D，抛物线的顶点为点 C（1）求ABD 的面积。（2）求ABC 的面积。（3）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 4 时
20、，求所有符合条件的点P 的坐标。（4）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 8 时，求所有符合条件的点P 的坐标。（5）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 10 时，求所有符合条件的点P 的坐标。2y ax bxc的图象的图象2【学习过程】【学习过程】一、知识链接：一、知识链接：1.抛物线y 2x31的顶点坐标是；对称轴是直线；当x=时y有最值是；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。22.二次函数解析式y a(xh)+k中，很容易确定抛物线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数y
21、x 2x 2的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：22y x2 2x 2的顶点坐标是，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：2212y x 2x 2y ax bx cy x 2x 522（5）归 纳：二 次 函 数 的 一 般 形 式y ax bx c可 以 用 配 方 法 转 化 成 顶 点式：，因此抛物线y ax bx c的顶点坐标是；2对称轴是，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做 公式法公式法。用公式法写出下列抛物线的
22、开口方向、对称轴及顶点坐标。y 2x 3x 4y 2x x 2y x 4x222（二）、用描点法画出y 12x 2x 1的图像.2（1）顶点坐标为；（2）列表：顶点坐标填在；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值）（3）描点，并连线：（4）观察：图象有最点，即x=时，y有 最值是；x时，y随x的增大而增大；x时y随x的增大而减小。该抛物线与y轴交于点。该抛物线与x轴有个交点.三、合作交流三、合作交流求出y 12x 2x 1顶点的横坐标x 2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。2一、知识链接：一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.解：二、
23、自主学习二、自主学习1.一次函数y kx b经过点 A(-1,2)和点 B(2,5),求该一次函数的解析式。分析：要求出函数解析式，需求出k,b的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于k,b的二元一次方程组即可。解：2.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有个待定系数，它们分别是，所以一般需要个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：三、知识梳理三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2 种方法：设顶点式y ax h k和一般式2y ax2bxc。1已
24、知抛物线过三点，通常设函数解析式为；2已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为。四、跟踪练习：四、跟踪练习：5.如图，直线y 3x 3交x轴于点 A，交y轴于点 B，过 A,B 两点的抛物线交x轴于另一点 C（3,0），（1）求该抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.26.2 用函数观点看一元二次方程（一）用函数观点看一元二次方程（一）一、知识链接：一、知识链接：1.直线y 2x 4与y轴交于点，与x轴交于点。2.一元二次方程ax bx c 0，当时，方程有两个不相等的2y yB BA AO O
25、C Cx x实没数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有实数根；2.观察二次函数的图象，写出它们与x轴的交点坐标：函数图象交与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是点3.对比第 1 题各方程的解，你发现什么？三、知识梳理：三、知识梳理：22一元二次方程ax bx c 0的实数根就是对应的二次函数y ax bx c与x轴交点的 .（即把y 0代入y ax bx c）2二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为x1、x2）二次函数二次函数y ax bx c2与一元二次方程一元二次方程ax bx c 02与x轴有个交点与x轴有个交点；这个交点是点与x轴有个交点2b2
26、 4ac 0，方程有的实数根b2 4ac 0，方程有实数根b2 4ac 0，方程实数根.二次函数y ax bx c与y轴交点坐标是 .四、跟踪练习四、跟踪练习2抛物线y x 4x 3与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；23.二次函数y x 4x 6，当x_时，y34.如图，一元解5.如图，一元解22二次方程ax2bx c 0的为。二（5）次方程ax2bx c 3的为。6.已知抛物线y x 2kx 9的顶点在 x 轴上，则k_7已知抛物线y kx 2x 1与x轴有两个交点，则k的取值范围是_226.2 用函数观点看一元二次方程（二）用函数观点看一元二次方程（二）一、知识链接：一、知识链接：2
27、根据y ax bx c的图象和性质填表：（ax bx c 0的实数根记为x1、x2）22（1）抛物线y ax bx c与x轴有两个交点b4ac 0；2222（2）抛物线y ax bx c与x轴有一个交点b4ac 0；2（3）抛物线y ax bx c与x轴没有交点b4ac 0.三、知识梳理：三、知识梳理：a的符号由决定：开口向a0；开口向a0.b的符号由决定：在y轴的左侧a、b；在y轴的右侧a、b；是y轴b0.c的符号由决定：点（0，c）在y轴正半轴c0；点（0，c）在原点c0；点（0，c）在y轴负半轴c0.b24ac的符号由决定：抛物线与x轴有交点b24ac0方程有实数根；抛物线与x轴有交点b
28、24ac0方程有实数根；抛物线与x轴有交点b24ac0方程实数根；特别的，当抛物线与 x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的点.四、典型例题：四、典型例题：抛物线y ax2bx c如图所示：看图填空：（1）a_0；（2）b0；（3）c0;（4）b24ac 0;(5)2ab_0；（6）abc0；（7）abc0；（8）9a3bc0；（9）4a2bc0五、跟踪练习：五、跟踪练习：1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2bx c 0的根为_；（2）方程ax2bxc 3的根为_；（3）方程ax2bxc 4的根为_；（4）不等式ax2bxc 0的解集为_；（不等式ax2bxc 0的解集为_；2.根据图象填空：（1）a_0；（2）b0；（3）c0;（4）b24ac 0;(5)2ab_0；（6）abc0；（7）abc0；5）