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1、小小学学奥奥数数周周期期问问题题教教师师版版 TTA standardization office【TTA 5AB-TTAK 08-TTA 2C】第八讲：周期循环与数表规律第八讲：周期循环与数表规律知识点说明知识点说明周期问题：周期问题：周期现象：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1图形中的周期问题；2数列中的周期问题；3年月日中的周期问题周期性问题的基本解题思路是：周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口
2、。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。观察、逆推等方法找规律，找出周期确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，那么第 18 个数是多少？这个数列的周期是 2，182 9，所以第 18 个数是 2如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，那么第 16 个数是多少？这个数列的周期是 3，1635 1，所以第 16 个数是 1如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算例如：1，2，3，2，3，2，3，那么第 16 个数是多少？这
3、个数列从第二个数开始循环，周期是 2，(161)2 7 1，所以第 16 个数是2板块一、图形中的周期问题板块一、图形中的周期问题【例【例 1 1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：你知道它们所排列的这些小球中，第你知道它们所排列的这些小球中，第 90个是什么球？第个是什么球？第 100个又是什么球呢？个又是什么球呢？【解析】【解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1 个白球；2个黑球，1 个白球；也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1 个白球）
4、再看看 90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个因为90330，正好有 30个周期，第 90个是白球1003331，有 33个周期还多 1个，所以，第 100个是黑球【巩固】【巩固】美美有黑珠、白珠共美美有黑珠、白珠共 102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：上，她是按下面的顺序排列的：那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种
5、颜色在这串珠子中共有多少个吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【解析】【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的我们先算出 102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子因为1024 252，所以最后一个珠子是第 26个周期中的第二个，即为黑色在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有251 26（个）【例【例 2 2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色
6、排列第第 73 颗是什么颜色的颗是什么颜色的第第 10 颗黄珠子是从头起第几颗？颗黄珠子是从头起第几颗？第第 8 颗红珠子与第颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子【解析】【解析】这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5 颗73514(组)3(颗)，第 73颗是第 15组的第 3 颗，所以是蓝色的第 10颗黄珠子前面有完整的9 组，一共有59 45(颗)珠子第 10颗黄珠子是第 l0组的第 2 颗，所以它是从头数的第47颗列式：59 2 45 2 47(颗)第 8颗红珠子与第 11 颗红珠子之间一共有 14
7、颗珠子第 8颗红珠子与第 11颗红珠子之间有完整的两组(第 9、10 组)，共 l0 颗珠子，第 8颗红珠子后面还有 4颗珠子，所以是 14 颗列式：52 4 104 14(颗)【巩固】【巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你”依次排列，第”依次排列，第 2828 个字是什个字是什么字？么字？【巩固】【巩固】【解析】【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期因为285 53，所以 28个字
8、里含有 5 个周期还多 3 个字，即第 28个字就是所列一个周期中的第3 个字，所以第 28个字是“欢”字【巩固】【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏盏彩灯那么第彩灯那么第 73 盏灯是什么颜色的灯盏灯是什么颜色的灯【巩固】【巩固】【解析】【解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，这些编号被 4 除所得的余数
9、都是 173 4181，即 73 被 4除的余数是 1，因此第 73盏灯是白灯【例【例 3 3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5盏红灯、再接盏红灯、再接 4盏蓝灯、再接盏蓝灯、再接 1盏黄灯，然后盏黄灯，然后又又是是 5盏红灯、盏红灯、4盏蓝灯、盏蓝灯、1盏黄灯、这样排下去问：盏黄灯、这样排下去问：第第 150 盏灯是什么颜色？盏灯是什么颜色？前前 200盏彩灯中有多少盏蓝灯？盏彩灯中有多少盏蓝灯？【解析】【解析】街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 1 盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是54110（盏）灯150(5 41)15，1
10、50盏灯刚好 15个周期，所以第 150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯如果是 200 盏灯，就是200(5 41)20的周期每个周期都有 4盏蓝灯，204 80（盏）前 200 盏彩灯中有 80 盏蓝灯【巩固】【巩固】在一根绳子上依次穿在一根绳子上依次穿 2个红珠、个红珠、2 个白珠、个白珠、5 个黑珠，并按此方式反复，个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第如果从头开始数，直到第 50 颗，那么其中白珠有多少颗？颗，那么其中白珠有多少颗？【巩固】【巩固】【解析】【解析】50(2 25)55522 12（个）【巩固】【巩固】小莉把平时积存下来的小莉把平时积存下来的 200200
11、枚硬币按枚硬币按 3 3 个个 1 1 分，分，2 2 个个 2 2 分，分，1 1 个个 5 5 分的顺序分的顺序排列起来排列起来最后最后 1枚是几分硬币枚是几分硬币这这 200枚硬币一共价值多少钱？枚硬币一共价值多少钱？【解析】【解析】每个周期有3 21 6枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断2006 332，所以最后一枚是1分硬币每个周期中 6 枚硬币共价值13221512（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了12332 398（分），所以，这 200枚硬币一共价值 398分【巩固】【巩固】桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次
12、序排列，一桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共共 19 枚硬币问：最后一个是多少钱的第十四个是多少钱的枚硬币问：最后一个是多少钱的第十四个是多少钱的【解析】【解析】196 31,146 22,所以,第 19枚硬币是一角的,第 14枚硬币是五角的【巩固】【巩固】有有 249朵花，按朵花，按 5 朵红花，朵红花，9 朵黄花，朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这朵是什么颜色的花？这 249 朵花中，什么花最多，什么花最少最少的花比最多朵花中，什么花最多，什么花最少最少的花比最多的花少几朵的花少几朵【解析】【解析】这些花
13、按 5 红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5913 27（朵）花因为24927 96，所以，这 249朵花中含有 9个周期还余下 6 朵花按花的排列规律，这 6 朵花中前 5 朵应是红花，最后一朵应是黄花在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在 249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少少几朵呢？有两种解法：【解析】【解析】（方法 1）249(5913)96红花有：59550（朵）绿花有：139 117（朵）红花比绿花少：11750 67（朵）（方法 2）249(5913)96，一个周期少的：135 8（朵），98 72（朵），余下的 6朵中还有 5 朵红花，所以725 67（朵
14、）.【例【例 4 4】如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组”，第二组是“们，是“们，B”我我们们爱爱科科学学我我们们爱爱科科学学我我写出第写出第 62组是什么？组是什么？如果“爱，如果“爱，C”代表”代表 1991年，那么“科，年，那么“科，D”代表”代表 1992年问年问 2008年对应怎样的年对应怎样的组？组？【解析】【解析】（1）要求第 62 组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个
15、周期625122,627 86，所以第 62组是“们，F”2008是 1991之后的第 17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“DEFGABC”七个字母为一个周期：2008199117（组），175 32177 23，所以 2008 年对应的组为“学，F”【巩固】【巩固】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第奥），第二组为（北林），那么第 50 组是什么？组是什么？【巩固】【巩固】新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运奥林
16、匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会【解析】【解析】要知道第 50 组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第 50个字分别应该是什么第一行“新北京新奥运”是 6个字一个周期，506 82，第50 个字就是北再看第二行“奥林匹克运动会”是 7个字一个周期，507 71，第 50 个字就是奥把第一行和第二行合在一起，第 50组就是“北奥”【例【例 5 5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是 1 1 米，米，A A、B B、C C 三点周围的阴三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只
17、小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在 0 0 号位，过了一会号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于儿，它跃过水洼，飞到关于 A A 点对称的点对称的 1 1 号位；不久，它又飞到关于号位；不久，它又飞到关于 B B 点对称的点对称的 2 2 号号位；接着，它飞到关于位；接着，它飞到关于 C C 点对称的点对称的 3 3 号位，再飞到关于号位，再飞到关于 A A 点对称的点对称的 4 4 号位，如此号位，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，继续，一直对称地飞下去。由此推断，20042004 号位和号位和 0 0 号位之间的距离是多少米
18、？号位之间的距离是多少米？【例【例 6 6】【解析】【解析】0 米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到 0 号位置！2004 是 4 的倍数，所以第 2004 号位和 0 号位之间的距离是 0 米。板块二、数列中的周期问题板块二、数列中的周期问题【例【例 7 7】小和尚在地上写了一列数：小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3你知道他写的第你知道他写的第 81个数是多少吗？个数是多少吗？你能求出这你能求出这 81 个数相加的和是多少吗？个数相加的和是多少吗？【解析】【解析】从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3 依次重复排列，那么每个周期就有5 个数
19、81个数则是 16个周期还多 1 个，第 1个数是 7，所以第 81个数是 7，815161每个周期各个数之和是：7025317再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案17167 279，所以，这 81个数相加的和是 279【巩固】【巩固】根据下面一组数列的规律求出根据下面一组数列的规律求出 5151 是第几个数？是第几个数？【巩固】【巩固】1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、7 7、8 8、9 9、1111、1212、1313、1414、1616、1717【解析】【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，04 共五个数，则可列式为：591=46
20、，即 51 为第 46 个数。【例【例 8 8】444（25个个 4），积的个位数是几？），积的个位数是几？【例【例 9 9】24个个 2相乘，积末位数字是几？相乘，积末位数字是几？【解析】【解析】按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，奇数个 4相乘得数的末位数字是 4，偶数个 4 相乘得数的末位数是6，所以252 121，25个 4 相乘，积的末位数字是 4【解析】【解析】按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，4个一组244 6，所以 24个 2 相乘，积末位数字是 6【巩固】【巩固】紧接着紧接着 1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是
21、它前面两个数字的乘积的个位后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如，数例如，89 72，在，在 9后面写后面写 2，92 18，在，在 2后面写后面写 8得到一串数字：，得到一串数字：，问：这串数字从问：这串数字从 1开始，往右数，第开始，往右数，第 l l999个数字是几？这个数字是几？这 1999个数字的和是多少个数字的和是多少【解析】【解析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：“286884”这 6个数字重复出现，周期是 6第 1999个数字是：因为(19994)6 332 3，所以，第 l999 个数字是 6这 1999个数字的和是：【例【例 10 10】1
22、2个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图从从 1 号同学开始，顺时针传号同学开始，顺时针传 l l00 次，手绢应在谁手中次，手绢应在谁手中从从 1号同学开始，逆时针传号同学开始，逆时针传 l l00次，手绢又在谁手中次，手绢又在谁手中从从 1 号同学开始，先顺时针传号同学开始，先顺时针传 l l56 次，然后从那个同学开始逆时针传次，然后从那个同学开始逆时针传 143次，再顺时针传次，再顺时针传 107 次，最后手绢在谁手中次，最后手绢在谁手中【解析】【解析】因为一圈有 l2 个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1 号开始，顺时针传l00 次，我们先用
23、除法求传了几圈、还余几次10012 8(圈)4(次)从 1号同学顺时针传 4次正好传到 5 号同学手中与第一小题的道理一样，先做除法10012 8(圈)4(次)这 4 次是逆时针传，正好传到 9 号同学手中(如图)先顺时针传 156 次，然后逆时针传 l43 次，相当于顺时针传15614313(次)；再顺时针传 l07 次，与 13 次合并，相当于顺时针传13107 120(次)，1201210(圈)，手绢又回到 l 号同学手中【巩固】【巩固】8个队员围成一圈做传球游戏，从号开始，按顺时针方向向下一个人传个队员围成一圈做传球游戏，从号开始，按顺时针方向向下一个人传球在传球的同时，按顺序报数当报
24、到球在传球的同时，按顺序报数当报到 72 时，球在几号队员手上？时，球在几号队员手上？【巩固】【巩固】【解析】【解析】将 8 名队员看作一组，每组报 8个数，72 个数可以分成几组：728 9组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在 8 号队员手上【巩固】【巩固】如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现在，一只红如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现在，一只红跳蚤从标有数字的圆圈按顺时针方向跳了跳蚤从标有数字的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个圆圈里一只黑步，落在一个圆圈里一只黑跳蚤也从标有数字的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了跳蚤也从标
25、有数字的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步，落在另步，落在另一个圆圈里问：这两个圆圈里数字的乘积是多少一个圆圈里问：这两个圆圈里数字的乘积是多少【巩固】【巩固】【解析】【解析】解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键本题中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12 步就回到了原来的位置，如此循环，周期为 12因为199112 165圆圈因为194912162圈所求的乘积是117 77.【巩固】【巩固】如右图，把如右图，把 1 18 8 八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第5，所以，黑跳蚤跳了
26、 1949步后落到了标有数字 7 的圆11，所以，红跳蚤跳了 1991步后落到了标有数字 11 的一天从一天从 1 1 号开始按顺时针方向前进号开始按顺时针方向前进 329329 个位置，第二天接着按逆个位置，第二天接着按逆时针方向前进时针方向前进 485485 个位置，第三天又顺时针前进个位置，第三天又顺时针前进 329329 个位置，第个位置，第四天再逆时针前进四天再逆时针前进 485485 个位置如此继续下去，问至少经过几天，小球又回个位置如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的到原来的 1 1 号位置？号位置？【巩固】【巩固】【解析】【解析】根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针
27、、逆时针两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进 485-329=156（个）位置.1568=194，就是说，每个周期（2 天）中，小球是逆旋转了 19 周后再逆时针前进 4 个位置.要使小球回到原来的 1 号位，至少应逆时针前进 8 个位置.84=2（个）周期，22=4（天），所以至少要用 4 天，小球才又回到原来“1”号位置.【巩固】【巩固】如右图，有如右图，有 1616 把椅子摆成一个圆圈，依次编上从把椅子摆成一个圆圈，依次编上从 1 1 到到 1616 的号码的号码.现在有现在有一人从第一人从第 1 1 号椅子顺时针前进号椅子顺时针前进 328328 个，再
28、逆时针前进个，再逆时针前进 485485 个，又顺时针前进个，又顺时针前进328328 个，再逆时针前进个，再逆时针前进 485485 个，又顺时针前进个，又顺时针前进 136136 个，这时他到了第几号椅个，这时他到了第几号椅子？子？【巩固】【巩固】【解析】【解析】这个人顺时针前进了 328+328+136=792 个位置，由于 79216=498，所以他走到 9 号位置.又这个人逆时针共退回 485+485=970 个位置，由于 970166010，因此这个人到了第 15(=9+16-10)号椅子.【例【例 11 11】甲、乙两人对一根甲、乙两人对一根 3 3 米长的木棍涂色。首先，甲从木
29、棍的端点开始涂黑米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色色 5 5 厘米，间隔厘米，间隔 5 5 厘米不涂色，再涂厘米不涂色，再涂 5 5 厘米黑色，这样交替做到底。然厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出后，乙从木棍同一端点开始留出 6 6 厘米不涂色，然后涂厘米不涂色，然后涂 6 6 厘米黑色，再厘米黑色，再间隔间隔 6 6 厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？度是多少？【例【例 12 12】【解析】【解析】此题最好画图为同学们示意：在前 30 厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在
30、31-60 厘米内的是：4，2，因此 60 厘米一个周期：（1+3+5+4+2）300/60=75 厘米.【例【例 13 13】右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891891，那么那么 B B 代表多少？代表多少？【例【例 14 14】【解析】【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是：B=891(99)=11.【巩固】【巩固】课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数甲报“课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数
31、甲报“1”，乙”，乙报“报“2”，丙报“”，丙报“3”，丁报“”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多”，这样每人报的数总比前一个人多 1问“问“34”是谁报”是谁报的？“的？“71”是谁报的？”是谁报的？【解析】【解析】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了 34次因为是 4个人在报数，所以报 4 次就要重复一遍，也就是说是以 4为一个周期重复的34 里面有 8个周期还余 2 次，所以“34”应是重复 8遍以后第二个人报的，即乙报的714 173，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的【例【例 15 15】实验室里有一只特别的钟，一圈共有实验室里有一只特别的钟，一圈共有 2020 个格每
32、过个格每过 7 7 分钟，指针跳一分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过次，每跳一次就要跳过 9 9 个格，今天早晨个格，今天早晨 8 8 点整的时候，指针恰好从点整的时候，指针恰好从 0 0跳到跳到 9 9，问：昨天晚上，问：昨天晚上 8 8 点整的时候指针指着几？点整的时候指针指着几？【例【例 16 16】【解析】【解析】昨晚 8 点至今早 8点，共经历6012 720(分钟)，7207 1026，说明从今早 8点整起，7 分钟，7分钟往回数，昨晚 8 点后，第 1 次指针跳是 8 点 6分，直到今早 7 点 53 分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了 102次由于每次跳 9 格，所以共跳了9
33、102918(格)每 20格一圈，91820 4518，因此从“0”位开始，往回倒 45 圈，还要倒回 18 格，正是昨晚8点时指针所指处：2018 2，因此昨晚 8 点整时指针正指着 2【巩固】【巩固】有有A、B、C三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是3:4:5每个每个蜂鸣器每次鸣叫完后停蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒钟又开始鸣叫最初三个蜂鸣器同时开始鸣秒钟又开始鸣叫最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，叫，14分钟后第二次同时开始鸣叫，此时分钟后第二次同时开始鸣叫，此时B蜂鸣器已是第蜂鸣器已是第43次鸣叫次鸣叫了问：最初同时开始鸣叫后的多少秒了问：最初同时开始鸣叫后的多
34、少秒A与与C第一次同时结束鸣叫？第一次同时结束鸣叫？【巩固】【巩固】【解析】【解析】14 分钟即1460840秒，根据题意可知在 840秒内B蜂鸣器已经鸣叫了 42 次，也停了 42 次，那么B蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为84042 20秒，所以B蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：20812秒，那么A蜂鸣器每次鸣叫持续9秒，C蜂鸣器每次鸣叫持续15秒，则A、C两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为9817秒和158 23秒，由于17,23 391，所以经过391秒之后A与C要第二次同时开始鸣叫，由于在此时A与C都停止鸣叫了8秒，所以A与C第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第3918 383秒【
35、例【例 17 17】有一个有一个 111位数，各位数字都是位数，各位数字都是 1，这个数除以，这个数除以 6，余数是几商的末位数字是几，余数是几商的末位数字是几【例【例 18 18】【解析】【解析】我们可以用列表的方法寻求周期被除数中“1”的个数1234567除以 6 后余数的末位数字除以 6 后商的末位数字10513815513815通过表格我们可以发现，余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5）因为111337，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 3；因为(1111)3 362，所以这个数除以 6
36、 后商的末位数字是 8【巩固】【巩固】有一个有一个 1111 位数，各位数字都是位数，各位数字都是 1，这个数除以，这个数除以 6，余数是几商的末位数，余数是几商的末位数字是几字是几【巩固】【巩固】【解析】【解析】余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5），因为111133701，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 1；因为(11111)3 370，所以这个数除以6 后商的末尾数字是 5【例【例 19 19】求求281282929的个位数字的个位数字.128【解析】【解析】由由 128128 4 432
37、32 知，知，28的个位数与的个位数与84的个位数相同，等于的个位数相同，等于 6 6。由。由 2929 2 214141 1 知，知，2929的个位数与的个位数与91的个位数相同，等于的个位数相同，等于 9.9.因为因为 6 69 9，在减法中需向十位，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为借位，所以所求个位数字为 16169 97.7.【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】（367367762762）123123的得数的尾数是几？的得数的尾数是几？算式算式【解析】【解析】这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：7：7，9，3，1，367/4=913，个位数是 3；2：2，4，8
38、，6，762/4=1902，个位数是 4；3：3，9，7，1，123/4=303，个位数是 7；因此个位数：（3+4）7=49.板块三、日期中的周期问题板块三、日期中的周期问题【例【例 20 20】阳历阳历 1978年年 1月月 1日是星期日，阳历日是星期日，阳历 2000年年 1月月 1日是星期几？日是星期几？【例【例 21 21】【解析】【解析】每四年有一个闰年，闰年的年份被4 整除，所以从 1978年至 1999年共有 17个平年，5 个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余 1 是星期一，余 2是星期二，依次类推3651736658035（天），80357 1147（星期）6（天
39、），所以，阳历 2000年 1月 1 日是星期六【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】19991999 年的元旦是星期五，那么据此你知道年的元旦是星期五，那么据此你知道 20052005 年的元旦是星期几吗？年的元旦是星期几吗？【解析】【解析】00、04 是闰年，01、02、03、05 是平年，一共度过了：36562=2192（天），21927=3131，2005 年的元旦是星期六【巩固】【巩固】小童的生日是小童的生日是 6月月 27 日，这一年的日，这一年的 6 月月 1日是星期六，小童的生日是星日是星期六，小童的生日是星期几呢？期几呢？【巩固】【巩固】【解析】【解析】从日历上可以看到，每个星期有
40、 7天，就是以 7天为一个周期不断地重复6 月1 日是星期六，那么再过 7天，即 6 月 8 日，还是星期六；如果再过 14 天，即6 月 15日，还是星期六，所以要知道 6 月 27 日是星期几，首先要求出 6 月 27日是 6 月 1日后的第几天，271 26（天）；因为每个星期都是 7 天，也就是周期为 7，所以267 3（星期）5（天）这样，从 6 月 1日开始经过 3 个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过 5天就是星期四【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】今天是星期三，那么从明天起第今天是星期三，那么从明天起第 365 天是星期几？天是星期几？【解析】【解析】题中所说的第 365
41、天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第 365 天”3657 52（星期）1（天），所以，从明天起，到第365天是星期三【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】20022002 年的年的 6 6 月月 1 1 日是星期六，那么这一年的日是星期六，那么这一年的 1010 月月 1 1 日是星期几呢？日是星期几呢？【解析】【解析】我们只要算出 6 月 1日到 10月 1日要经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规律解答由于 6 月 1日与 10月 1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月一共有多少天因为6 月有 30天，7月有 31天，8月有 31天，9 月有 30天，所以 6月
42、 1日到 10月 1 日要经过的天数：303131301123（天），1237 174，这个周期从周六开始，那么第4 天正好是星期二【巩固】【巩固】2008 年年 3 月月 3 号是星期一，算一算号是星期一，算一算 2008 年年 8月月 8 号奥运会开幕是星期号奥运会开幕是星期几？几？【巩固】【巩固】【解析】【解析】首先我们应该算出 2008年 3月 3 号到 8 月 8号一共有多少天，(312)303130318 159（天）按照 7 天为一个周期，1597 225，这个周期的第一天是星期一，那么第五天就应该是星期五，所以 2008 年 8月 8 号奥运会开幕是星期五【巩固】【巩固】【巩固
43、】【巩固】2008年的年的“六六 一一”儿童节是星期日，儿童节是星期日，2008 年的年的“十十 一一”是星期几？是星期几？【解析】【解析】303131301123（天）1237 174，这个周期从周日开始，那么第 4 天正好是星期三【巩固】【巩固】19981998 年元旦是星期五，年元旦是星期五，l999l999 年元旦是星期几年元旦是星期几 20002000 年元旦是星期几年元旦是星期几 20012001 年年元旦是星期几元旦是星期几【解析】【解析】l998 年是平年，1998年元旦到 l999年元旦共 365天3657 521，即 l998年元旦到1999年元旦要经过 52个星期又 l天
44、，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星期五，再经过 1天便是星期六，因此 l999年元旦是星期六1999年元旦到 2000年元旦也是 365天，也要经过 52周又 l天，故 2000年元旦是星期日因为2000年是闰年，2月份有 29天，故 2000年元旦到 2001年元旦共 366天，3667 522，2000年元旦是星期日，经过 52周还是星期日，再过 2天便是星期二，即 2001年元旦是星期二【巩固】【巩固】图中是图中是 2002 年年 5 月份日历表该月月份日历表该月 8 号是星期几该年号是星期几该年 6 月月 l l 日是星日是星期几该年期几该年 l l0 月月 1 日是星期几
45、日是星期几2004 年年 5 月月 l l 日是星期几日是星期几?【巩固】【巩固】【解析】【解析】一个星期有 7 天，因此 7天为一个周期从表中我们可以看出 l 号号是一个周期，1 号是第一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8 号是第二个循环的第一天，计算天数时为了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法在算该年 6月 1日、10 月 1 日、2004年 5 月 1日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记 2004 年是闰年，共有 366 天该月的 8号是星期三从 5月 1 日到 5 月 31日共 31天，317 43，所以 6月 1 日是星期6
46、，所以 10 月 1日是星六从 5月 1 日到 9 月 30日共 l53 天1537 21期二从 2002年的 5 月 1 日到 2004年的 4月 30日共 731 天7317 104以 2004年 5月 1 日是星期六3，所【例【例 22 22】小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶方方第一次取奶是星期一，那么，他第奶取牛奶方方第一次取奶是星期一，那么，他第 100次取奶是星期几？次取奶是星期几？【例【例 23 23】【解析】【解析】21 天内，每人取奶 7次，方方第
47、8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期1007 142，所以方方第 100次取奶是星期四【巩固】【巩固】甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第甲第 3030 次义诊次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？【巩固】【巩固】【解析】【解析】甲第 30 次义诊是在总次数的第 429+1=117（次），1177=165，从周三往前数 5 天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前 7 次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日义
48、诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第 6 次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过 5 次.【例【例 24 24】在某个月中刚好有在某个月中刚好有 3个星期天的日期是偶数个星期天的日期是偶数(双数双数)，则这个月的，则这个月的 5日是星期几？日是星期几？【例【例 25 25】【解析】【解析】一个星期有 7天，注意 7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同于是在每个月从 l日到 28日这 28 天中，有287 4个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第 3 个日期为偶数的星期天必为30日由此可以推知，这个月的第1个星期天是3047 2日，那么，5 日为星期三所
49、以这个月的 5 日是星期三【巩固】【巩固】已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的的天数多，那么这个月的 5 号是星期几号是星期几【巩固】【巩固】【解析】【解析】这道题表面看无从下手实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是 4或 5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是 5 天，星期三，日都是 4天，用列表法可以得到答案所以这个月的 5 号是星期五【巩固】【巩固】一个月最多有一个月最多有 5 5 个星期日，在一年的个星期日，在一年的 1212 个月中
50、，有个月中，有 5 5 个星期日的月份最个星期日的月份最多有几个月多有几个月【巩固】【巩固】【解析】【解析】1 月 1 日是星期日，全年就有 53 个星期日。每月至少有 4 个星期日，53-412=5，多出 5 个星期日，在 5 个月中即最多有 5 个月有 5 个星期日练习练习1.1.这样的一排图形中第这样的一排图形中第 87 个是什么图形，在个是什么图形，在87 个图形中一共有多少个五角星？个图形中一共有多少个五角星？练习练习2.2.【解析】【解析】87(2 3)172第 87 个图形是圆形172135（个）练习练习3.3.流水线上给小木球涂色的次序是：先流水线上给小木球涂色的次序是：先 5