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1、百度文库-好好学习，天天向上第第 3 3 课时课时等比数列等比数列基础过关基础过关1 1等比数列的定义：()q（q 为不等于零的常数）)2 2等比数列的通项公式：ana1qn1 anamqnm3 3等比数列的前 n 项和公式：Sn(q 1)(q 1)4 4 等比中项：如果 a，b，c 成等比数列，那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项，即 b2（或b）5 5等比数列an的几个重要性质：m，n，p，qN*，若 mnpq，则 Sn是等比数列an的前 n 项和且 Sn0，则 Sn，S2nSn，S3nS2n成数列 若等比数列an的前 n 项和 Sn满足Sn是等差数列，则an的公比 q典型例题典型例题例
2、例 1.1.已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数 n 和公比 q 的值解：解：an是等比数列，a1ana2an1，a1an 66a 2a 64，解得1或1an 64an 2a1an128若 a12，an64，则 2qn 164qn32qa1(1 qn)2(132q)由 Sn126，1 q1 q解得 q2，于是 n6若 a164，an2，则 64qn 12qn1q32由 Sna1(1 q)1 q12n64(11q)321261 q解得 q，n6变式训练变式训练 1 1.已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则 a11解：解：64 或1由-1a1a9 6
3、4 a a 643 7a3a7 20a3a7 20百度文库-好好学习，天天向上a3 4 a 16或3a7 4a716 q2或 q22，a11a7 q2，a1164 或 a11112例例 2.2.设等比数列an的公比为 q(q0)，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前 n 项中数值最大项为 27，求数列的第 2n 项a1(1qn)401q解解：若 q1，则 na140，2na13280 矛盾，q12na(1q)132801q两式相除得：qn81，q12a1又q0，q1，a10 an是递增数列 an27a1qn 1a18112a1解得a11，q3，n4变式训练变式训练 2 2
4、.已知等比数列an前 n 项和 Sn2n1，an2前 n 项和为 Tn，求 Tn的表达式解：解：(1)a12a220，公比 q又S4S2，将 q代入上式得 a11，ana1qn 1()n(2)ana21 a121812121(nN*)111()n 1()41622n5原不等式的解为 n1 或 n3 或 n5例例 3.3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数(ad)2解：解：设这四个数为 ad，a，ad，a(ad)216 ad 依题意有：aaad 12解得：a 4 a 9或d 4d 6 这四个数为 0，
5、4，8，16 或 15，9，3，1变式训练变式训练 3.3.设Sn是等差数列an的前n项和，S636,Sn324,Sn6144(n6)，则n等于（）-2百度文库-好好学习，天天向上A.15B.16C.17D.18答案：答案：D。解析：由Sn 324,Sn6144得an an1 an2 an3 an4 an5180，再由S6 326,a1 an 36,Snn(a1an)324,n 18。2例例 4.4.已知函数 f(x)(x1)2，数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的等比数列(q1)，若 a1f(d1)，a3f(d1)，b1f(q1)，b3f(q1)，(1)求数列an，bn
6、的通项公式；(2)设数列cn对任意的自然数 n 均有：cc1c2n(n 1)an1，求数列cn前 n 项和 Snb1b2bn解：解：(1)a1(d2)2，a3d2，a3a12d即 d2(d2)22d，解之得 d2a10，an2(n1)又 b1(q2)2，b3q2，b3b1q2即 q2(q2)2 q2，解之得 q3b11，bn3n 1(2)Cn(n1)an1nan 4n,cn 4n3n1bnSnC1C2C3Cn4(13231332n3 n 1)设Sn332n3 n 113233Sn131232333n3 n2Sn1332333 n 1n3 n1(3n1)3 nn2Snnn3n13 24Sn2n3
7、n3n1变式训练变式训练 4.4.已知等差数列an的首项 a11，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对任意正整数 n，均有的值解：解：由题意得（a1d）(a113d)(a14d)2(d0)解得 d2，an2n1，bn3n 1当 n1 时，c13 当 n2 时，cc1c2c3n an1，求 c1c2c3c2007b1b2b3bncn3(n 1)故cn 23n1 an1an,cnn1bn23(n 2)-3百度文库-好好学习，天天向上c1c2 c2007 3 23 232 232006 32007归纳小结a1(1qn)1在等比数列的求和公式中，当公比q1 时，适用公式Sn，且要注意n 表示项1q数；当 q1 时，适用公式 Snna1；若 q 的范围未确定时，应对 q1 和 q1 讨论求和2在等比数列中，若公比q 0 且 q1 时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧 妙地(x d)2设这四个数，一般是设为xd，x，xd，再依题意列出方程求 x、d 即可x4a1与 q 是等比数列an中最活跃的两个基本量-4