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1、_等比数列专题基础达标(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.在等比数列an中，a1=12，q=12，an=132，则项数n为()A.3B.4C.5D.6C【解析】由等比数列通项公式可知an=a1qn-1，则132=1212n-1=12n，解得n=5.2.2016重庆五月调研已知等比数列an中，a1+a2=2，a4+a5=274，则a1=()A.15B.45C.43D.32B【解析】设等比数列an的公比为q，则q3=a4+a5a1+a2=278，q=32，则a1+a2=a1+32a1=52a1=2，解得a1=45.3.2016湖北部分重点中学联考等比数列an的前n项和为Sn，若
2、a3=6，S3=03 4xdx，则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12C【解析】S3=03 4xdx=2x203=18，所以当q=1时，符合条件.当q1时，联立方程组a3=6，S3=18，即a1q2=6，a1+a1q+6=18，解得q=-12.所以公比q的值为1或-12.4.2017宁夏银川一中月考已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则(a1+a2)2b1b2的取值范围是()A.RB.(0，4C.4，+)D.(-，04，+)C【解析】由x，a1，a2，y成等差数列得a1+a2=x+y，由x，b1，b2，y成等比数列得b1b
3、2=xy，所以(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=2+yx+xy2+2=4.5.2016江西南昌二中、临川一中四月联考等比数列an中，a3=5，a8=2，则数列lg an的前10项和等于()A.2B.5C.10D.lg 50B【解析】由等比数列的性质知a3a8=a1a10=a2a9=a4a7=a5a6，所以数列lg an的前10项和为lg a1+lg a2+lg a10=lg a1a2a10=lg(a3a8)5=lg(52)5=5.6.2016黄山第二次质检等比数列an满足a2+8a5=0，设Sn是数列1an的前n项和，则S5S2=()A.-11B.-8C.5D.11A【解析】设等比数
4、列an的公比为q，则q3=a5a2=-18，q=-12，则数列1an也是等比数列，且公比为1q=-2，所以S5S2=1-1q51-1q2=33-3=-11.二、填空题(每小题5分，共20分)7.2016常州期末测试已知等比数列an的各项均为正数，且a1+a2=49，a3+a4+a5+a6=40，则a7+a8+a99的值为.117【解析】设等比数列an的公比为q(q0)，则a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(q2+q4)=49(q2+q4)=40，解得q=3.所以a1+a2=a1+a1q=4a1=49，a1=19，则a7+a8+a99=36+37+3899=32+33+34=117.8.20
5、16广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考已知数列an是递减数列，且对任意的正整数n，an=-n2+n恒成立，则实数的取值范围为.(-，3)【解析】an是递减数列，an+1an，an=-n2+n恒成立，即-(n+1)2+(n+1)-n2+n，2n+1对任意nN*恒成立.而2n+1在n=1时取得最小值3，3.9.2016广东华附、省实、广雅、深中四校联考已知数列an为等差数列，首项a1=1，公差d0，若ak1，ak2，ak3，akn，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列kn的通项公式kn=.3n-1+12【解析】由题意可得a1，a2，a5成等比数列，则a22=a1a5，即(a1+d)
6、2=a1(a1+4d)，又d0，所以化简得d=2a1=2，所以等比数列的公比q=a2a1=3，则akn=a1qn-1=a1+(kn-1)d，即3n-1=1+2(kn-1)，解得kn=3n-1-12+1=3n-1+12.10.设an是等比数列，公比q=2，Sn为an的前n项和.记Tn=17Sn-S2nan+1，nN*，设Tn0为数列Tn的最大项，则n0=.4【解析】Tn=17a11-(2)n1-2-a11-(2)2n1-2a1(2)n=11-2(2)2n-17(2)n+16(2)n=11-2(2)n+16(2)n-17，因为(2)n+16(2)n8，当且仅当(2)n=4，即n=4时取等号，所以当
7、n0=4时Tn有最大值.三、解答题(共10分)11.(10分)2016黑龙江绥化一中期中测试设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)由a1=1及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，b1=a2-2a1=3，由于Sn+1=4an+2，则当n2时，有Sn=4an-1+2.-得an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2(an-2an-1)，又bn=an+1-2an，bn=2bn-1，数列bn是首项b1=3，公比为2的等比数列.(2)由(1)
8、可得bn=an+1-2an=32n-1，an+12n+1-an2n=34，数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列.an2n=12+34(n-1)=34n-14，an=(3n-1)2n-2.高考冲关(25分钟40分)1.(5分)2016合肥一中模拟设实数列an和bn分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是()A.a2b3C.a3b3B【解析】由an是等差数列，且a1=16，a5=1，得公差da3，A错误；a3=a1+a52=b1+b52b1b5=b3，B正确，C错误；由bn是等比数列，且b1=16，b5=1，得公比q=12或-12，当q=-12时，
9、b2=-8b3=4，D错误.2.(5分)已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-pcn为等比数列，则常数p的值为()A.2B.3C.2或3D.5C【解析】由数列cn+1-pcn为等比数列，得(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)，解得p=2或p=3.3.(5分)2016深圳第一次调研数列an满足an=n2(an-1n2)，2an-1(an-1n2)(n2)，若an为等比数列，则a1的取值范围是.92，+【解析】由题意可得当an为等比数列时，an-1n2，n2恒成立，此时an=2n-1a1，所以2n-1a1(n+1)
10、2，即a1(n+1)22n-1，nN*恒成立，则a1(n+1)22n-1max，nN*.令bn=(n+1)22n-1，则bn+1-bn=(n+2)22n-(n+1)22n-1=2-n22n，所以b1b3，则(bn)max=b2=92，故a192.4.(12分)2016哈尔滨六中期中测试已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2(an-1)，数列bn满足：对任意nN*有a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2.(1)求数列an与数列bn的通项公式；(2)记cn=bnan，数列cn的前n项和为Tn，证明：当n6时，n|2-Tn|1时，an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)，即an=2
11、an-1，所以数列an是首项a1=2，公比q=2的等比数列，通项公式为an=2n(nN*).由题意有a1b1=(1-1)22+2=2，得b1=1.当n2时，anbn=(a1b1+a2b2+anbn)-(a1b1+a2b2+an-1bn-1)=(n-1)2n+1+2-(n-2)2n+2=n2n，所以bn=n，显然b1=1满足该式，故数列bn的通项公式为bn=n(nN*).(2)因为Tn=b1a1+b2a2+bnan=12+222+n2n，所以12Tn=122+223+n2n+1，两式相减得12Tn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-n+12n+1，
12、所以Tn=2-n+22n，即|2-Tn|=n+22n.下证：当n6时，n(n+2)2n1，令f(n)=n(n+2)2n，f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+3)2n+1-n(n+2)2n=3-n22n+1，当n2时，f(n+1)-f(n)0，即当n2时，f(n)单调递减，又f(6)1，所以当n6时，f(n)1，即n(n+2)2n1，即当n6时，n|2-Tn|1.5.(13分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2，1)和B(5，2)，记an=3f(n)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=an2n，Tn=b1+b2+bn，若Tnm(mZ)，求m的最小值；(3
13、)求使不等式1+1a11+1a21+1anp2n+1对一切nN*均成立的最大实数p.【解析】(1)由题意得log3(2a+b)=1，log3(5a+b)=2，解得a=2，b=-1，f(x)=log3(2x-1)，an=3log3(2n-1)=2n-1，nN*.(2)由(1)得bn=2n-12n，Tn=121+322+523+2n-32n-1+2n-12n，12Tn=122+323+2n-52n-1+2n-32n+2n-12n+1.-得12Tn=121+222+223+22n-1+22n-2n-12n+1=121+121+122+12n-2+12n-1-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1.Tn=3-12n-2-2n-12n=3-2n+32n，设f(n)=2n+32n，nN*，则由f(n+1)f(n)=2n+52n+12n+32n=2n+52(2n+3)=12+12n+312+151，得f(n)=2n+32n，nN*随n的增大而减小，T(n)3，又Tn2(n+1)2(n+1)=1.又F(n)0，F(n+1)F(n)，即F(n)随n的增大而增大，F(n)的最小值为F(1)=233，p233，即pmax=233.7_